Информационное письмо

1. Теорема. Теорема түрлері

2. _Қажетті жəне жеткілікті шарттар.

3. Теореманы дəлелдеу.

4. Дəлелдеу түрлері.Тура жəне жанама дəлелдеу.

5. Дəлелдеуді және дедуктивтік əдісі.

6. Математиклық индукция əдісі.

7.Дəлелдеуді қайшылыққа келтіру əдісі.

8.Дəлелдеуге үйрету.

Математикалың пікірдің негізгі түрлері

Математикалық пікірлердін. мақызды түрлерінің, бірі аксиома.

Аксиома деп ешбір дәлелдеусіз қабылданатын сөйлемді айтады.

Ғылымның бірсыпыра алғашқы ұғымдарына анықтама беруге мүмкін болмайтыны сияқты, ғылымның кейбір логикалық тәуелсіз алғашқы сөйлемдерін де дәлелдеу мүмкін емес, себебі бұған дейін аксиома ретінде қабылданған сөйлемдер болмайды. Сонымен бірге, ескеретін бір жай, оқушылар көптеген жағдайда «Аксиомалар дұрыстығы көрнекілік пен тәжірибе арқылы тағайындалған, сондықтан олар дәлелденбейді» деп түсінеді. Олай болса, оқушыларға мұндай түсініктің дұрыс еместігін, кез келген тәжірибе математикалық сөйлемнің, ақиқаттық шарты бола алмайтынына оларды нандыру қажет.

Сондай-ақ, оқушыларға аксиомалардың неғұрлым дәл (дедуктивті) ғылымдарда қолданылатыны, аксиомалар мен алғашқы ұғымдар математикалық теориялардың негізін қалайтынын айту манызды.

Расында, математикалық теорияларды құруға аксиомалардың қажеттігі осыдан екі мың жылдай бұрын Ертедегі Грецияда белгілі болған. Бұған күні бүгінге дейін маңызын жоймаған Евклидтің атақты «Негіздері» куә.

Жекелеген математикалық теориялардын, негізі болатын аксиомаларды ғылыми тұрғыда жан-жақты зерттеу XIX ғасырдың соңы мен XX ғасырдың басында қолға алынды. Бұл кезеңде бір сыпыра ғалымдар математикалық теориялардың тізімін жасаумен шұғылданды.

Белгілі бір ғылымның негізін қалайтын барлық аксиомалар тобын аксиомалар жүйесі дейді. Мәселен, геометрияның «барынша толық әрі қарапайым аксиомалар жүйесін жасағандардың бірі атақты неміс математигі Д. Гильберт еді. Д. Гильберт геометриялық жүйеде алғашқы үш («нүкте», «түзу», «жазықтық») ұғымды және алғашқы үш («жатады», «арасында», «конгруэнтті») қатынасты қарастырады.

Г. В е й л ь бүкіл мектеп геометриясын векторлық кеңістік идеясы негізінде құруды ұсынды.

Көрнекті совет математигі А. Н. Колмогоров бүгінгі таңдағы мектеп геометриясының аксиомалар жүйесін жасады.

Аксиомалар жүйесіне мынадай талаптар қойылады.

1. Аксиомалар жүйесі қайшылықсыз болуы тиіс. Мұның мәні: жүйедегі аксиомалар мен сол аксиомалардың барлық логикалық салдарлары бірін-бірі теріске шығармауы керек.

2. Аксиомалар жүйесі тәуелсіз болуы тиіс. Мұның мәні: жүйедегі кез - келген аксиома басқаларынан шықпауы керек.

3. Аксиомалар жүйесі толық болуы тиіс. Мұның мәні: жүйедегі аксиомалар теорияның негізін қалау үшін жеткілікті болуы керек.

Ұзын саны шектеулі аксиомалардан теорияны кұру әдісін аксиоматикалық әдіс деп, ал теорияны аксиоматикалық теория деп атайды. Бұл теорияның басқа қағидалары оның негізін қалаған аксиомалардың логикалық салдарлары болып табылады. Математика ғылымында геометрияны, арифметиканы, ықтималдықтар теориясын және т. б. құрудың аксиоматикалық әдістері мәлім.

Математикалық пікірдің маңызды бір түрі — постулат. Постулат дегеніміз — белгілі бір ұғым немесе ұғымдардың арасындағы белгілі бір қатынас канағаттандыруға тиісті талаптарды сипаттайтын математикалық сөйлем. Сондықтан постулаттың өзі белгілі бір ұғымның, немесе ұғымдар жүйесі анықтамаларының бөлігі болып табылады.

Мысалы, «жазықтықтағы параллель түзулер» ұғымы екі постулатпен анықталады. Атап айтқанда, а және b түзулері өзара параллель болуы үшін мына қасиеттерді қанағаттандыруы тиіс.

а) а және b түзулері бір жазықтықта жатуы тиіс, яғни a b;

ә) екі түзу бір-бірімен беттесуі немесе мүлдем ортақ нүктелері болмауы тиіс, яғни: а = b\/а/\b = .

Сондай-ақ теңдік қатынасы үш постулатпен анықталады.

Мәселен белгілі бір А жиынында « = » қатынасы орындалуы үшін, мына қасиеттер орындалады:

1) теңдік рефлексивті, яғни V аА:а=а;

2) теңдік симметриялы, яғни а,bA:а=bba

3) теңдік транзитивті, яғни V а, b,cAabbcac.

Математикалық пікірдің тағы бір маңызды түрі — теорема.

Теорема деп ақиқаттығы дәлелдеу арқылы тағайындалатын математикалық сөйлемді айтады.

Әрбір теорема өзінің шартын (Р) және қорытындысын (Q) қамтиды. Мәселен, «Вертикаль бұрыштар тең» теоремасында «Вертикаль бұрыштар» — шарты, ал «тең» — қорытындысы. Осы теоремаға «егер... , онда...» тіркестерін пайдаланып, тұжырымын басқаша, келісімді (силлогизм) түрде беруге болады, яғни «Егер бұрыштар вертикаль болса, онда олар тең болады». Бұл тұжырымның ерекшелігі, теореманың шарты (егер...) мен қорытындысы (онда...) бір-бірінен ерекшеленіп тұрады. Кейбір жағдайларда теореманы «Егер... , онда...» тіркестерінсіз тұжырымдауға болады. Мұндай тұжырымдауды кесімді тұжырымдау дейді. Келсімді тұжырымдау әдетте қысқа, ыңғайлы болып келеді.

Теореманың тұжырымын логикалық тілде былай жазады: Р (шарт)Q (қорытынды).

Ал теореманы дәлелдеу дегеніміз Р шартты ақиқат деп алып, Q қорытындының ақиқаттығын логикалық жолмен көрсету.

Теоремалар тура, кері, қарама-қарсы және кері теоремаға қарама-қарсы теорема түрінде кездеседі. Алғашқы теореманы тура теорема (РQ) деп алсақ, онда берілген теоремаға кері теорема деп тура теореманың шартын қорытындысымен, ал қорытындысын шартымен ауыстырудан шыққан теореманы айтамыз (QP).

Тура теоремаға қарама-қарсы теорема деп оның шарты мен қорытындысын тікелей бекерге шығарудан алынған теореманы атаймыз (РQ).

Қарама-қарсы теоремаға кері теорема деп оның шарты мен корытындысын бекерге шығарудан алынған теореманы айтамыз (QP).

Бұл теоремалардың тұжырымдалуын схема түрінде көрсетейік.

Жалпы алғанда, тура теорема дұрыс болғанда оған кері теорема мен қарама-қарсы теорема әрдайым дұрыс бола бермейді. Келтірілген мысалда, тура теорема дұрыс та, кері теорема жалған. Шынында, тік төртбұрыштың диагональдары тең. Бірақ ол тең бүйірлі трапеция емес. Сондай-ақ мысалдағы қарама-қарсы теорема да жалған, өйткені тік төртбұрыш тең бүйірлі трапеция бола алмайды, бірақ оның диагональдары тең. Ал кері теоремаға қарама-қарсы теорема әрдайым тура теоремамен мәндес болады. Осы сияқты, кері теорема мен қарама-қарсы теорема да мәндес болады.

Кері және қарама-қарсы теоремаларды дәлелдеудің маңызы зор. Сондай-ақ олардың дәлелдеуін игерудің мәні ерекше. Біз кері теореманы дәлелдеудің әр түрлі әдістеріне мысалдар келтірейік.