Информационное письмо

Дәлелдеудің бірінші тәсілі — кері теореманы тура дәлелдеу.

Берілгені. АтB=CnD

(11-сурет).

Дәлелдеу керек: АВ = СD.

Д ә л е л д е у. АтB=CnD болғандықтан, АВ доғасын

СD доғасына бейнелейтін етіп көшіргенде, А және В нүктелері

сәйкес Q және Р нүктелеріне бейнеленеді жәнe ОА = ОВ = ОС =0D екенін еске алсақ, онда А0В = С0D.Демек, АВ = СD.

Дәлелдеудің екінші тәсілі — қарсы жору.

АВСD (1)

деп ұйғарамыз. Олай болса,

АВ= CD₁ (2)

болатындай D₁ нүктесін салайық. Ал тура теоремадан

(2) және (3) теңдіктерден СD = СD₁, яғни СD кесіндісі өзінің СD₁ бөлігіне тең, бірақ бұлай болуы мүмкін емес.

Сонымен, біз қайшылыққа келдік. Демек, АВ СD деп ұйғаруымыз дұрыс емес. Ендеше, АВ = СD.

Енді кері теореманы дәлелдеудің үшінші тәсілін қарастырайық.

Бұл тәсілде кері теоремамен мәндес қарама-қарсы теореманы,

яғни (QP) (РQ) пайдаланамыз. Екі теореманың да дұрыстығына көз жеткізу үшін олардың біреуін дәлелдеу жеткілікті. Біз қарама-қарсы теореманы дәлелдейік.

Теорема (қарама-қарсы). Егер шеңбердің екі хордасы тең болмаса, онда олар керетін доғалар да тең болмайды.

Дәлелдеу. Теореманың шарты бойынша АВСD. Сондықтан АВ= CD₁ болатындай D₁ нүктесін салайық. Онда алдыңғы теорема бойынша  А т В  С n , сонда мынадай екі жағдай болуы мүмкін:

1) АВ<СD болса, онда  А т B C n D,

2) АВ>СD болса, онда  А т B  C n D.

Олай болса,  А т B  C nD. Дәлелдейтініміз осы еді.

Қарсы жору әдісі теоремаларды дәлелдеуге жиі қолданылатындықтан, оны кейінірек мүмкіндігінше жете қарастырамыз. Теореманы дәлелдеудің бұл әдісі үш сатыдан тұрады.

1. Теореманы дәлелдегенде оның қорытындысын бекерге шығарамыз, яғни дәлелдеуді талап ететін байламдарға қарсы ұйғарамыз. (Біздің мысалда доғаларды керетін хордалар тең емес.)

2. Қабылданған ұйғаруға байланысты логикалық дұрыс ой қорытулар жасай отырып, соңында қайшылыққа келеміз (мысалда кесінді өзінің бөлігіне тең).

3. Логикалық дұрыс талдау жасағанмен қайшылыққа келеміз, олай болса, біздің ұйғаруымыз дұрыс емес деп байлам жасаймыз. Демек, дәлелдеуді талап еткен қорытынды дұрыс (яғни мысалда АВСD деуіміз жалған, олай болса АВ = СD).