Алғашқы функцияны үйрету әдістемесі

Интеграл ұғымының тарихы квадратураларды табу есептерімен аса тығыз байланысты. Қандай да болмасын жазық фигураның квадратурасы туралы есептер деп Ежелгі Греция мен Римнің математиктері қазір өзіміз аудандарды есептеп шығаруға берілген есептерге жатқызып жүрген есептерді айтқан-ды. Латын сөзі quadratura деген квадрат пішінге келтіру деп аударылады.

Мына символды Лейбниц (1675 ж) енгізген. Бұл таңба латынның S әрпінің (summa сөзінің бірінші әрпі)өзгерген түрі. Интеграл деген сөздің өзін Я.Бернулли 1690 жылы ойлап шығарған. Шамасы оның шығу тегі латынның integro сөзіне саятын болар, оның мағынасы: бұрынғы қалпына келтіру, орнына түсіру. (Шыныда да , интеграл астындағы функция шығарып алынатын дифференциалдау арқылы итегралдау амалы функцияны қалпына келтіреді.) Интеграл терминінің шығу тегі өзге болуы да мүмкін: integеr деген сөз бүтін дегенді білдіреді.

Я.Бернулли мен Г.Лейбниц хат-хабар алыса жүріп, Я.Бернуллидің ұсынысымен келіскен болатын. Сол 1696 жылы-ақ математиканың жаңа тармағының атауы – интегралдық есептеу(calculus integralis) пайда болды , мұны Я.Бернулли енгізді.

Интегралдық есептеуге қатысты өздерің білетін басқа терминдер біршама кейін пайда болды. Қазір қолданып жүрген алғашқы функция атауы көп ертеректе қарапайым функция дегеннің орнын басты, мұны енгізген Лагранж (1797ж). Латын сөзі primitivus «бастапқы деп аударылады: үшін бастапқы (немесе ең бастапқы, немесе алғашқы), бұл Ғ(х)-ті дифференциалдаудан шығады.

Қазіргі әдебиетте f(x) функциясы үшін барлық функциялардың жиыны да анықталмаған интеграл деп аталады. Бұл ұғымды айырып көрсеткен Лейбниц еді, ол барлық алғашқы функциялардың бір-бірінен айырмашылығы қалауымызша алынатын тұрақты сан екенін аңғарған болатын. Ал анықталған интеграл деп аталады(белгілеулерді енгізген К.Фурье, бірақ интегралдау шектерін Эйлер көрсеткен).

Бұл тақырыпты оқымас бұрын оқушыларға белгілі дәрежелік функция, квадрат түбір, негізгі тригонометриялық функциялардың дифференциалдық формулаларын еске түсірген пайдалы.

Бұл пункттің басында алғашқы функция түсінігін беру үшін механикадан мысал келтірген. Бұл кездейсоқ емес: дифференциалдық және интегралдық есептеулер физикада және механикада маңызды роль атқарады. F функциясы үшін алғашқы функция осы f функциясы анықталатын аралықта берілгеніне, алғашқы F функциясы осы аралықтың әрбір нүктесінде дифференциалданатындығынан оқушылар назарын аудару қажет. Бұл тақырыпты оқывту үшін екі сағат беріледі.

1-сабақта: осы тақырып бойынша теориялық материалдар оқытылады және есептер шығарылады.

2-сабақта: есептер шығарылады және өзіндік жұмыс өткізіледі.

Жаңа материалды түсіндіру үшін механиканың мынадай мысалдарын қолдануға болады:1) (t_1,t₂) уақыт аралығында дене тыныштық күйде болсын , оның жылдамдығы кез келген уақыт моментінде 0-ге тең екендігі белгілі. Оны былай дәлелдеуге болады: Дененің координатасы x(t) тұрақты, сондықтан .

2) Кез-келген уақыт моментінде дене жылдамдығы 0-ге тең екендігі белгілі болсын, онда дене тыныштық күйде болады. Яғни оның координаталары тұрақты. Бір сөзбен айтқанда егер x(t) функциясының туындысы (t_1,t₂) аралығында 0-ге тең болса, онда x(t) тұрақты. Олай болса, «механикалық» түсініктер функцияның тұрақтылық белгілеріне әкеледі.

Осы пунктте келтірілген белгілер жеткілікті емес, бірақ берілген аралықта функция тұрақтылығының қажетті шарттары берілетіндігін түсіну оңай. Қажеттіліктің дәлелдеуі көрініп тұр: Егер болса, онда

түріндегі алғашқы функциядағы С тұрақты сан кез-келген мәнге ие бола алады. Бұл тұрақтыны табу үшін , яғни берілген аралықта f функциясының F алғашқы функциясын табу қажет. F функциясы жөнінде қосымша мәліметтер қажет: Нақты жағдайда алғашқы функция бірмәнді анықталады. Кез-келген екі алғашқы функция графиктері Оу осіне қатысты бір-біріне параллель орналасады: Егер алғашқы функциялар графиктерінің біреуін Оу осіне параллель жылжытсақ, онда осы жазықтықтың берілген нүктесі арқылы өтетін графиктің бір ғана орны табылады. Х₀ нүктесі Ф алғашқы функциясының ізделінді Ф(х₀) мәні және f функциясы үшін F алғашқы функцияның біреуі белгілі болса, алғашқы функция негізгі қасиеті бойынша

Ф(х)=F(x)+C

С-ны табу үшін x=x₀ теңдігін қояйық, онда Ф(х₀)=F(x₀)+C, бұдан С= Ф(х₀)- F(x₀). Жоғарда көрсетілгендей f функциясына алғашқы функция анықталатын аралық интегралдық есептеулерді оқуда маңызды роль атқарады. Мектеп курсында оқытылатын барлық функциялар үшін мұндай аралықтар f функциясының үздіксіздік аралықтарымен сәйкес келеді. функциялары үшін алғашқы функциялар , аралықтарының әрқайсысында анықталады.

Оқытушыға мынаны білген пайдалы: егер осы функциялардың алғашқы функцияларын кең көлемде қарастыру қажет болса, онда олардың әрбіреуіне С тұрақтысын қосып жазуға болады. Мысалы: жиынында берілген функциясы үшін алғашқы функция мынадай формуламен беріледі: F(x)= үшін , мұндағы

Бұл пункті оқытуға 2сағат беріледі.

Бірінші сабақта теориялық материал және есептер шығарылады.

Екінші сабақта есептер шығарылады және өзіндік жұмыс жүргізіледі.

Алғашқы функция табу ережелері туынды есептеу ережелерінен шығады: қосынды туындысы теоремасы, көбейтіндінің туындысы теоремасы және қарапайым жағдайдағы күрделі функциясының туындысы теоремасы, мұндағы - сызықтық функция.

Сабақты түсіндіру схемасын мына түрде жазуға болады: тақтаға екі теңдік жазып, мысалы, сұрау: бұл теңдіктерден өзге және функцияларының алғашқы функцияларын көрсетуге бола ма? Одан кейін Содан кейін функциясының біреуінің алғашқы функциясын сұрау. Бұдан қосындыдан жеке-жеке алғашқы функция табылады деген түсінік қалыптасады, яғни (I-ереже).

(1)-(3) ережелерді дәлелдеу үшін сәйкесінше f(x)+g(x), kf(x) және f(kx+b) алғашқы функцияларының бірін табу керек. Содан кейін алдынғы пункттегі алғашқы функция табудың жалпы теоремасын қолданамыз. 3-ережені қолдану үшін агғашқы функция қай аралықта табылатынын білу маңызды. Мысал қарастырайық: аралығында функциясы үшін алғашқы функция сондықтан 3-ереже бойынша функциясына алғашбұдан1/2.Олай олса 3-ережеден мынаны аламыз: аралығында функциясы функциясының алғашқы функциясы . Егер біз аралығын алатын болсақ, онда аралығында функциясы үшін алғашқы функциясын алған болар едік. Жалпы жағдайда 3-ереже бойынша функциясына алғашқы функция табылу үшін екі сызықтық теңдеуді шешу қажет: Ереже бойынша F функциясы f функциясының алғашқы функциясы болып табылатын аралық осы функциялар берілген формуладан автоматты түрде анықталады. Сонымен жоғарыда көрсетілген мысалда, функциясы g функциясының үздіуксіз және аралықтарының әрқайсыснда функциясының алғашқы функциясы болып табылады.

1-3 ережелерден мынаны ескерген жөн.f-g функциялар айырымының алғашқы функциясы F-G функциясы болады. Мұғалім үшін бірнеше ескертулер келтірейік. Егер F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы болса, онда функциясы функциясы үшін алғашқы функция болады. Дәлелдеу үші күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданып функциясының туындысын тапса жеткілікті.

3-ереже үшін жеке жағдай болып табылады. Онда функциясы функциясы үшін алғашқы функция және 2-ереже бойынша функциясы функциясы үшін алғашқы функция болатындығын көреміз.Математикалық анализ курсында 3-ережені кейде айнымалыны ауыстыру ережесі деп те атайды.

Көбейтіндіні дифференциалдау ережесі бойынша Бұдан f^/g мен fg^/ функциялары үшін алғашқы функцияларының қосындысы f*g болады. Бұдан (f^/g)^/ түріндегі функцияның алғашқы функциясын тапқанда қолдану ыңғайлы.

Мысалы:f(x)=xcosx-

f(x)=x(sinx)^/.Бұдан f функцияның алғашқы функциясы.

F(х )=xsinx-u(x) болады.Мұндағы U(x) функциясы u(x)=x^/sinx функцияның u(x)=sinx

U(x)=-cosx f функцияның жалпы түрдегі алғашқы функциясын аламыз.

F(x)= xsinx+cosx+C

Алынған формуланы анықталған интеграл көмегімен жазған ыңғайлы (математикалық анализ курсында анықталған интеграл түрінде белгіленеді, мысалы, ).Олай болса, 1-3 ережелерді символдық түрде былай жазайық:



мұндағы x=kt+b.

Жоғарыда алынған көбейтіндінің туындысы формуласынан мынаны аламыз:

Математикалық анализ курсында соңғы формула бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл пунктті оқытуға екі сағат бөлінеді.

Бірінші сабақта теориялық материал беріліп,№342, №344,№345 есептер шығарылады.Екінші сабақта осы пунктті қалған есептері шығарылады және өзіндік жұмыс өткізіледі.