74 Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013
Қорыта айтқанда, теңдеулердің сызықты тәуелсіз екінші дербес шешімін табу
тәсілі, студенттерге қонымды да түсінікті әдістемелік нұсқау болуы мүмкін деп ойлаймыз.
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1. Н.М.Матвеев «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений», Москва, 1967
2. Ж. Сүлейменов «Дифференциалдық теңдеулер курсы» Алматы, 1991
3. А.А. Сыдыков «Об одной методике построения общего решения однородных
линейных дифференциальных уравнений второго порядка», «Оқытудың ақпараттық
технологиялары негізінде инновациялық білім беруді жетілдіру жолдары» атты
Халықаралық ғылыми-практикалық конференция. Шымкент, ШӘПУ, 2011
4. А.А. Сыдыков, Ұ.Телемисова «Екінші ретті сызықты біртекті дифференциалдық
теңдеудің жалпы шешімін құрудың бір әдістемесі», Ізденіс №3, 2011
РЕЗЮМЕ
В данной статье показан один способ определения линейно независимого частного
решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с
переменными коэффициентами когда известно одно частное решение.
SUMMARY
The article deals with one way to determine the linearly independent private solutions of
linear homogeneous differential equations of second order with variable coefficients when it is
known one particular solution.
УДК 517.2
ОБОСНОВАНИЕ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА
А.Т.Таупык-магистрант, Б.Ж. Жақашбаев - к.ф.м-н.,
доцент
(г.Алматы, Казгосженпу)
Аннотация: Получены
достаточные условия существование единственности
решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Ключевые слова:Дифференциальные уравнение в частных производных
Обоснование формулы Пуассона для простоты проведем в предположении, что
уравнение теплопроводности – однородное. Мы, не будем пытаться доказывать ни
справедливость предположений об искомом решении, ни законность действий. Вместо
этого непосредственно установим, что формула Пуассона дает, ограниченное решение
задачи Коши для уравнения теплопроводности в единственном предположении, что
начальная функция
непрерывна и ограничена в
пространстве
.
Докажем прежде всего, что формула Пуассона определяет функцию, непрерывную
при
.
В пространстве
переменных
рассмотрим область,
определенную неравенствами
(1)
где
а и
Т - положительные постоянные. Докажем, что входящий в формулу Пуассона
интеграл
Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің Хабаршысы №1(43), 2013
75
(2)
сходится равномерно по
х и в области (1). Возьмем достаточно большое число R и
оценим интеграл
Функция
ограничена;
пусть
.
Далее
. Будем считать, что
. Тогда
и
.
Теперь
и,
следовательно,
. (3)
Интеграл
сходится, поэтому интеграл справа в (3) сколь угодно мал
при достаточно большом; так как он не зависит ни от , ни от , то интеграл (2)
сходится равномерно. Отсюда следует, что функция, определяемая формулой Пуассона,
непрерывна при
.
Докажем, что при
функция
бесконечно дифференцируема по и по
координатам точки и что все производные можно получить, дифференцируя формулу
Пуассона под знаком интеграла.
Рассмотрим, например, производную . Если формально продифференцировать по
правую часть формулы Пуассона,
то получится выражение
.
(4)
Как мы видели, первый интеграл сходится равномерно в области (1). Точно так же
проверяется, что в той же области равномерно сходится и второй интеграл. Отсюда, как
обычно, следует, что производная существует, непрерывна и совпадает с выражением (4).
Существование остальных производных устанавливается аналогично.
Непосредственным дифференцированием доказывается, что функция, определяемая
формулой Пуассона, удовлетворяет уравнению теплопроводности.
Остается доказать, что функция
ограничена и удовлетворяет начальному
условию.
.
Сделаем замену
, тогда формула Пуассона
примет вид
. (5)
По формуле
легко находим
76 Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013
(6)
Теперь из формулы (5) следует, что
и функция
ограничена. Далее по формулам (5) и (6)
(7)
Интеграл в формуле (7) разобьем на два интеграла, взятые по областям
и
,
где - некоторая постоянная. Имеем
Интеграл
сходится, и можно выбрат такое
что при
будет
Зафиксируем какое – нибудь
. Тогда можно найти такое
, чтобы при
и для любого ξ,
было
Теперь
и окончательно
Этим завершено обоснование формулы Пуассона.
За
примем пространство функций, непрерывных и ограниченных в
с
нормой
(8)
Если
, то решения задачи
в пространстве
существует и единственно. Это озночает, что оператор
R, который переводит начальную
функцию в решение, существует и определен на всем пространстве
Далее, из
формулы Пуассона, записанной в виде (5)
,
следует
