Газдардың кинетикалық теориясының негізгі теңдеуі

Газдардың қалыпты жағдайлардағы (яғни температурадағы және қысымдағы) тығыздығы сұйықтардың тығыздығынан мың еседей кем болады. Газ молекулаларының бір-бірінен ара қашықтығы өздерінің өлшемдерінен ондаған еседей үлкен. Сондықтан газды бірінен-бірі барынша алыс орналасқан молекулалар жиыны деп есептеуге болады.

Молекулалардың ыдыс қабырғаларына соғуының нәтижесінде пайда болатын қысымды есептеп шығарайық. Қырының ұзындығы куб тәрізді ыдыс алып (2.3-сурет), оның ішінде ретсіз қозғалып жүрген молекула бар делік; жоғарыда айтқанымыздай молекулалардың өз көлемін ескермейміз. Молекулалардың қозғалысы бейберекет, хаосты болғандықтан, қарама-қарсы қабырғалар арасында барлық молекуланың бөлігі қозғалып жүр деп есептеуге болады.

Мысалы, алдыңғы қабырғаға қарай перпендикуляр жылдамдықпен ұшқан жеке молекула қабырғаға соғылған кезде серпіліп, кейін қарай ұшады, осының нәтижесінде оның қозғалыс мөлшері шамасына өзгереді. Қозғалыс мөлшерінің бұл өзгерісі соғылу кезінде қабырға тарапынан молекулаға әсер ететін күш импульсының шамасын анықтайды:

мұндағы соғу күші, ал соғудың ұзақтығы.

Ньютонның үшінші заңы бойынша қабырғаға сан жағынан ке тең күш әсер етеді. Молекула соғылған қабырғадан серпіліп, қарама-қарсы қабырғаға ұшады, бұл қабырғадан да серпіліп кетіп, бір уақыттың ішінде қайтадан бірінші қабырғаға қайтып келеді. Молекуланың осындай қос соғылуының арасындағы уақытта қабырғаға әсер ететін орташа күш делініп, бұл күштің импульсы сан жағынан соғылу уақытында әсер ететін күштің импульсына тең болу керек деген шарт бойынша анықталады, сондықтан:

(2.18)

мұндағы тең. Мұны (2.18) қойсақ, мынау шығады:

Бұл бір молекуланың соғу күшінің уақыт жағынан алғандағы орташа мәні, әр түрлі молекулалар түрліше жылдамдықпен қозғалады да, молекулалардың алдыңғы қабырғаны жалпы соғу күші мынаған тең болады:

мұндағы алдыңғы және артқы қабырғалардың арасында қозғалып жүретін молекулалардың саны. тұрақты шама болғандықтан, оны жақшаның сыртына шығарып, теңдеудің оң жағы қа көбейтіп, бөлсек мынау шығады:

мұндағы - өрнегі молекулалардың жылдамдықтары квадратының орташа мәнін, басқаша айтқанда орташа квадраттың жылдамдықтың квадратын анықтайды. Бұдан

Алдыңғы және артқы қабырғалардың арасында қозғалатын молекулалардың саны, жоғарыда айтылғандай, молекулалардың жалпы санының бөлігіне тең деп есептеуге болады, сонда

Бұл теңдіктің оң жағын да, сол жағын да шамасына бөлсек, мынадай теңдік шығады:

мұндағы куб қабырғасының ауданы, олай болса қабырғаға түсетін қысым, ал кубтың көлемі, сондықтан көлем бірлігіндегі молекулалардың санына тең болады, осыларды ескеріп, (2.19) былай жазуға болады:

Сонымен, газдың ыдыс қабырғасына түсіретін қысымы көлем бірлігіндегі молекулалардың санымен, молекуланың массасымен анықталады. (2.20) формуласын оң жағын 2-ге көбейтіп және бөліп, оны басқа бір түрге келтіруге болады:

ал бір молекуланың іргерілемелі қозғалысының орташа кинетикалық энергиясының тең екенін ескерсек,

яғни газдың қысымын оның молекулаларының ілгерлемелі қозғалысының орташа кинетикалық энергиясымен де өрнектеуге болады.

(2.20) немесе оған эквивалент (2.21а) теңдеуі газдардың кинетикалық теориясының негізгі теңдеуі деп аталады. (2.21а) формуласының оң жағын да, сол жағын да газдың бір молінің көлеміне көбейтсек және екенін яғни газдың бір моль мөлшеріндегі молекулалардың саны Авогадро санына тең екенін ескерсек, мынаны аламыз:

ал (мұндағы газдың Кельвин шкаласымен алынған температурасы, газ тұрақтысы), олай болса,

Бұл өрнек молекулалардың іргерілемелі қозғалысының орташа кинетикалық энергиясын газды сипаттайтын макроскопиялық шамалармен: оның қысымымен, көлемімен және температурасымен байланыстырады. (2.22) формуласынан шамасын табуға болады:

мұндағы мен тұрақты шамалар болғандықтан, олардың қатынасы шамасы да тұрақты болады. Бұл шама Больцман тұрақтысы деп аталады, оның сан мәні мынаған тең:

(2.23) формуласына Больцман тұрақтысын қойсақ, мынау шығады:

(2.23) және (2.24) формулалары молекулалардың ілгерілемелі қозғалысының орташа кинетикалық энергиясы тек температураға байланысты екенін, сонымен қатар оның абсолют температураға тура пропорционал болатынын көрсетеді.