Негізгі анықтама.
Анықтамада қысқалық үшін белгілеуін қолданамыз.
=М, алгебралық жүйесінде m1,…,ms М тізбегіндегі (х1,…,хs) формуласының орындалуы:
1. Егер ( ) формуласы t1( )= t2( ) түріндегі атомдық формула болса, онда
[ ] м(t1)[ ] = м(t2)[ ],
2. Егер (х1,…,хs) формуласы Р(t1( ),…,tk( )) түріндегі атомдық формула болса, онда
[ ] алгебралық жүйесінде Р(м(t1)[ ],…, м(tk)[ ])
қатынасы рындалады,
3. Егер = формуласы болса, онда
[ ] [ ],
4. Егер ( ) = ( )( ) болса, онда
[ ] [ ] және [ ],
5. Егер формуласы түрінде болса, онда
[ ] [ ] немесе [ ],
6. Егер = болса, онда
[ ] [ ] немесе [ ]
7. Егер = v(v) болса, онда
[ ] кез келген аМ элементі үшін [a, ].
8. Егер = v(v) болса, онда
[ ] қандай да бір аМ элементі табылып, [a, ] орындалады.
2
|
11-12
|
№11-12 дәріс
Қосу және көбейту ережесі. Комбинаториканың негізгі принципі. Ньютон биномы. Математикалық индукция.
Комбинаториканың негізгі есебі–қайта санау және ақырлы жиын элементтерін тізбектеу.
Егер берілген ақырлы жиын элементтерінің қаншасының берілген бір қасиетке ие екендігін анықтау қажет болса бұл қайта санау есебі, ал берілген қасиетке ие барлық элементтерді анықтау керек болса, бұл тізімдеу есебі Комбиторика есебін дәлелдеуде екі ереже жиі қолданылады. Олар: қосу және көбейту ережелері.
Егер Х n элементтерден тұратын ақырлы жиын болса, Х объектісін Х тен n тәсілмен алуға болады дейді және Х=n болып белгіленеді.
Егер Х1,…,Хn–қос қостан қиылыспайтын жиындар болса, яғни Хi Хj= (ij), онда
- қосу ережесі. (1)
Бұл ережені k=2 үшін былай жазуға болады: Егер х объектісі m тәсілмен таңдалса, ал у басқа n тәсілмен таңдалса, онда "не х, не у" таңдау m+n тәсілмен іске асырылады (х және у элементтерін бір уақытта таңдау болмайды).
Көбейту ережесі. Егер х объектісін m тәсілмен таңдауға болса, және осындай таңдаудан кейін у объектісін өз кезегінде n тәсілмен таңдауға болса, онда реттелген (х, у) жұбын mn тәсілмен таңдауға болады.(х, у – таңдаулары тәуелсіз).
Жалпы жағдайда, егер х1 объектілері n1 тәсілмен таңдалса, одан кейін х2 n2 тәсілмен таңдалса және кез келген 2im-1 үшін х1, х2,…,хi объектілерін таңдағаннан кейін хi+1 объектісін ni+1 тәсілмен таңдауға боллатын болса, онда m объектіден құралған (х1, х2, …, хm) реттелген тізбегі n1 n2… nm тәсілмен таңдалады.
Х={х1, …, хn} жиынынан алынған хi1, …, хir элементтерінің жиынтығы n элементтен алынған r көлемді таңдама деп аталады.
Егер элементтердің орналасу тәртібі берілген болса, таңдама реттеген деп, ал орналасу тәртібіне белгілі бір шарт қойылмаса, таңдама реттелмеген деп аталады.
Таңдамаларда элементтердің қайталануы да, қайталанбауы да мүмкін.
Элементтері қайталануы мүмкін (n, r) - таңдамасы (n, r)-қайталама таңдамасы деп аталады. Ал егер реттелген (n, r) таңдаманың элементтері қос қостап әр түрлі болса, (n, r) қайталанбайтын таңдама немесе жай ғана (n, r)-орналасу деп аталады.
(n, n)-қайталанбайтын орналасу Х жиынын алмастыру деп аталады.
Элементтері қайталануы мүмкін реттелмеген (n, r)-таңдама, қайталанба (n, r)-теру деп аталады. Егер реттелмеген (n, r) таңдаманың элементтері қос қостан әр түрлі болса, онда ол қайталанбайтын (n, r)-теруі немесе жай ғана (n, r) теруі деп аталады. Кез келген (n, r)-теруін n-элементті жиынның r-элементті ішкі жиыны деп қарауға болады.
Қайталама теру саны (n, r)-ді , қайталанбайтын теру- . n-элементті теру саны Pn (яғни Pn= ) болып белгіленеді. Қайталама теру (n, r)-саны ,ал қайталанбайтын теру- .
1-тұжырым. =nr.
Шынында әрбір (n, r)-қайталама теру ұзындығы r-ға тең реттелген тізбек, ал оның әр мүшесі n тәсілдің бірімен таңдалады, бұдан көбейту ережесінен =nn…n=nr.
(Дербес жағдайда бұл өрнек негізі n санау жүйесінде r позицияда жазылған әр түрлі сандардың нешеу екендігін анықтайды.).
2-тұжырым. =n(n-1)(n-2)…(n-r+1)= , rn және =0, r>n болғанда.
Шынында, r элементтен тұратын реттелген тізбектің бірінші мүшесі n тәсілмен таңдалады, екіншісі-(n-1) тәсілмен, соңғысы- (n–r+1) тәсілмен. Жалпыланған көбейту ережесінен ізделінді формуланы аламыз.
Салдар =Pn=n(n-1) … (n–n+1)=n!
3-тұжырым., егер rn, =0 егер r>n.
Шышында да, әр (n, r)-теруін r! әдіспен реттеуге болады, яғни -ді r! рет -ге қарағанда r! рет аз. Бұл формуладан = .
4-тұжырым. .
Шынында да Х={x1,…,xn} жиынының элементтерінен құрылған әрбір қайталанба (n, r)- В теруі үшін,r нөл мен n-1 1-ден тұратын (i-1)-ші және i бірлердің (мұндағы 2 i n-1) арасындағы нөлдердің саны В теруіндегі xi элементтерінің санына тең, ал бірінші бірдің алдындағы нөлдердің саны В-ға енетін xi элементтерінің санына тең болатын ұзындығы (В) болатын векторды сәйкестендіруге болады.
|
4
|
13
|
№13 дәріс
|
Достарыңызбен бөлісу: |
