Көпмүшілектер теориясының негіздері

Бір айнымалылы көпмүшелік, полином деп математикада келесі функцияны айтады

«Классикалық алгебраның» негізгі мақсаты осындай көпмүшеліктерді және олардың теңдеулерін шешу болып табылған. Осыған байланысты математикадағы негізіг өзгерістер пайда болған: нөлді енгізу, теріс сан, ал сосын комплекс санның пайда болуы, т.б..

Жекеше түрі, бір айнымалылы көпмүшелік келесі шекті қосынды болып табылады

Көпмүшелік коэффициенттері әдетте белгілі бір коммутативті сақинасынан (көбінесе өрістен, мысалы, нақты сандар немесе комплекс сандар өрісінен) алынады. Бұл жағдайда қосу мен көбейту операцияларына қатысты көпмүшеліктер

деп белгіленетін сақина (оның үстіне сақинасында нөл бөлгіштерінсіз ассоциативті-коммутативті сақинадағы алгебраны) құрайды.

• 
  Егер үлкен коэффициенті бірге тең болса көпмүшелік унитарлы немесе келтірілген деп аталады.
  
• 
  түріндегі көпмүшеліктерді бірмүшелік немесе моном деп атайды
  
  • 
    мультииндексіне сәйкес келетін бірмүшелікті бос мүше деп атайды.
    
• 
  Көпмүшелік екі нөл емес мүшесі болса оны екімүшелік немесе бином дейді,
  
• 
  Көпмүшелік үш нөл емес мүшесі болса оны үшмүшелік деп атайды.
  
• 
  (нөл емес) бірмүшеліктің толық дәрежесі деп мына бүтін санды айтады .
  
  • 
    Көпмүшелік дәрежесі деп оның бірмүшеліктерінің ең максималды дәрежесін айтады, нөлдің дәрежесі болмайды
    
• 
  Коэффициенттері нөл болмайтындай мультииндекстер жиынын көпмүшелік игерушісі, ал оның дөңес қабығын - Ньютон көпжағы дейді.
  

1. 
   ортақ көбейткіштерді жақшаның сыртына шығару, мысалы, 2a3b–3ab2 ==ab(2a2–3b),
   
2. 
   Қысқаша көбейту және бөлу формулаларын қолдану, мысалы, 4x2–4xy+y2==(2x–y)2, 8a3–b3==(2a–b)(4a2+2ab+b2);
   
3. 
   қосылғыштарды топтастыру, мысалы, 2ac–4ad+3bc–6bd==2a(c–2d)+3b(c–2d)==(2a+3b)(c–2d).
   
4. 
   Қосылғыштарды бөлшектеу, мысалы, a2+3a+2=a2+2a+a+2= =a(a+2)+(a+2)=(a+1)(a+2).
   

Негізгі теориялық көпше заңдарды баяндаған кезде бір-бірімен тығыз байланысты үш бастапқы түсінікті қолданамыз: жиындар, пікірлер және предикаттар.

Егер а жиыны А жиынының элементі болса, онда бұл фактты келесі түрде жазады: (сәйкесінше кері тұжырым үшін). Атап айтқанда, элементтердің жиынтығы жиынның барлығын анықтайды, сондықтан да оларды белгілеген кезде жиындар мен оның элементтерін әртүрлі бейнелейді, мысалы, жиындарды – бас әріппен, ал элементтерді – кіші әріптермен, немесе жиындарды үстіне жұлдыз қойып белгілейміз. Мәнмәтіннен әрқашанда қай белгілеу тәсілі қолданғаны анық болады.

Барлық жиындар алдын-ала берілген Е жиынтығының элементтерінен тұрады деп санайық, бұл жиынтық өз кезегінде ауқымды жиын деп аталады. Әр нақты жағдайда ауқымды жиындар әртүрлі болуы мүмкін, мысалы, жазықтық нүктелерінің, бүтын сандардың, нақты немесе комплексті функциялардың жиыны және т.с.с.

Кей нәрселер жөнінде баяндалатын және олар жөнінде ақиқат немесе жалған деп айтуға болатын хабарлы сөйлемдерді пікір деп айтамыз. Е ауқымды жиынының кейбір элементіне қатысты сөйлем жиынның қай элементі қарастырылып жатқанына байланысты ақиқат немесе жалған болуы мүмкін. Айнымалы ретінде кейбір жиындардың элементтерінен тұратын мұндай сөйлемдерді предикат деп атайды.

Аксиома 1 (бөлінулер): әртүрлі Е ауқымды жиыны және Е-нің барлық элементтері үшін мағынасы бар әр Р (х) предикаты үшін жалғыз жиыны бар болады, ол Е-нің Р (х) ақиқат болатын элементтерінен тұрады.

Тіршіліктің кванторымен қатар тұтастық кванторы кеңінен қолданылады. жазуы Р (х) пікірі Е ауқымды жиынының барлық элементтері үшін ақиқат болып келеді.