2. Лаплас түрлендірулерінің негізгі теоремалары
3. Масштаб теоремасы
4. Кешігу теоремасы
5. Жинақтау теоремасы
6. Функцияның соңғы мәні туралы теорема
7. Функцияның алғашқы мәні туралы теорема
1. Фурье және Лаплас түрлендірулерінің негізгі принциптері және қасиеттері
Басқару теориясында түзу сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу, нысаналар динамикалық қасиеттерін зерттеу үшін операциондық есептеу атымен белгілі қолданбалы талдау теориясы қолданылады. Операциондық есептеу негізінде Лаплас және Фурье функциональдық түрлендірулері жатыр. Бұл жағдайда заттық айнымалыны комплексті айнымалы функциясына түрлендіру жүргізіледі.
Комплексті санның алгебралық жазылуы нақты және жорамал бөліктерінің қосындысы ретінде ұсынылады:
  (1)
1 сурет. Комплексті айнымалылар жазықтығы
Комплексті сан жазылуының тригонометриялық формасы:
 (2)
Эйлер формуласы түрінде жазылуы:
 (3)
Мұнда:  -модуль,
 - фаза.
f(t) функциясы үшін мән берейік.
2 сурет. f(t) функциясы
f(t) функциясын Cosωt бойынша Фурье қатарына жіктейік:
 (4)
f(t) әр түріне (2 сурет) өзінің аν коэффициенттер тібегі сәйкес келеді.
f(t) функциясының Cosωt бойынша Фурье қатарына жіктелуіндегі коэффициенттер тізбегі
3 сурет.
аν коэффициенттер тізбегін келесі түрде табамыз:
 (5)
f(t) функциясынв Sinωt бойынша Фурье қатарына жіктейміз:
 (6)
bν коэффициенттері де f(t) функциясының нақты түріне тәуелді (2 сурет), оларды тізбек түрінде қөрсетейік.
4 сурет. f(t) функциясының Sinωt бойынша Фурье қатарына жіктелуіндегі коэффициенттер тізбегі
bν коэффициенттері келесі формуламен анықталады:
 (7)
f(t) функциясын аν және bν коэффициенттеріне тәуелділігі ретінде жазайық:
 (8)
Мұндағы: ω=νω0, ω0 - дискретті шама, ω - үздіксіз шама.
Фурьенің тікелей түрлендіру формуласы немесе функцияның комплексті спектрі:
 (9)
Фурье түрлендіруін қолдану үшін, f(t) функциясы Дирихле шарттары деп аталатын екі шартты қанағаттандыруы керек:
1. f(t) функциясы функцияның қолданылу интервалында 1 түріндегі ажыраулардың соңғы санына ие болуы қажет. 1 түріндегі ажырау функция туындысы шексіздікке тең болғанда  орын алады, 2 түріндегі ажырау егер f(t) функцисы t→0 жағдайында шексіздікке тең болса  .
5 сурет. 1 түріндегі ажырау
Егер f(t) функциясы С нүктесінің оң және сол жағында соңғы шектерге ие болса, онда С нүктесі 1 түріндегі ажырау нүктесі деп аталады.
2. f(t) функциясының абсолютті интегралдану шарты. 0 және ∞ аралығындағы f(t) функциясы модулінің интегралы соңғы шамаға тең болуы керек:
 (10)
Бұл айтарлықтай ауыр талап. Мысалы, келесі функцияны қарастырайық:
6 сурет.
Бұл функция Дирихле шарттарын қанағаттандырмайды. t→∞ болғанда шексіз интервалда қисық астындағы жазықтық та шексіз болады. Бұл функцияны интегралдауға болмайды.
Жаңа функция енгіземіз.
V(t) = f(t)· e-αt (11)
Мұнда: α - өшу коэффициенті.
Бұл функция Дирихле шарттарын қанағаттандырады, өйткені t→∞ жағдайындағы өшіп бара жатқан құраушы есебіненфункция кішірейеді және нольге ұмтылады.
7 сурет. Жаңа комплексті айнымалы V(t) функциясы.
8 сурет. V(t) функциясының өшіп бара жатқан құраушысы
Ескі f(t) функциясын жаңаға ауыстырамыз:
 (12)
α өшу коэффициенті есепке алына отырып P=α+iω комплексті айнымалысы алынды. Тікелей Лапласа түрлендіруінің теңдеуін аламыз:
 (13)
Лаплас түрлендіруінің Фурье түрлендіруінен артықшылығы Лаплас бойынша функцияның айтарлықтай кең классын түрлендіруге болады. Басқаша айтқанда Фурье және Лаплас операторлары алынады.
Оператор - бір функция жиынының екіншісіне сәйкестігін орнататын математикалық әрекет.
Кейбір түпнұсқа функцияға f(t) оператормен әрекет ету арқылы біз басқа көрініс функциясын F(P) аламыз.
Операторлардың белгіленулері келесідей:
Тікелей Фурье операторы: F[f(t)]=F(iω)
Тікелей Лаплас операторы: L[f(t)]=F(P)
Кері Фурье операторы: F-1[F(iω)]=f(t)
Кері Лаплас операторы: L-1[F(P)]=f(t)
F - Фурье операторының белгісі,
L - Лаплас операторының белгісі,
f(t) - түпнұсқа,
F(P) - көрініс.
Лаплас бойынша кері түрлендіру теңдеуі:
 (14)
с - f(t) функциясының үйлесімділік абсциссасы.
F(P) функциясы комплексті айнымалы функциясы болып табылады, мұндағы комплексті айнымалы Р екі айнымалының функциясы болып табылады.
 (15)
Бұл функцияны геометриялық түрде көрсету мүмкін емес. Комплексті айнымалы Р жазықтығының комплексті функция F(P) жазықтығында кескінделіу пайда болады.
9 сурет. Комплексті сан жазықтығының комплексті функция жазықтығында кескінделуі.
Практикада тікелей және кері Лаплас түрлендірулерінің интегралдық теңдеулерін шешудің орнына түпнұсқажәне қөрініс аралығындағы сәйкестіктаблицасын қолданады.
Лаплас түрлендірулерінің негізгі қасиеті болып түзу сызықтылық табылады, яғни Лаплас түрлендіруі - түзу сызықты операция.
(16)
Достарыңызбен бөлісу: | 
