Түзу сызықты жүйелердің статикалық және динамикалық сипаттамалары

 

Түзу сызықты деп қозғалысы түзу сызықты алгебралық және дифференциалдық теңдеулермен бейнеленетін жүйелерді атаймыз.

Бұл автаматтық басқару жүйесін жалпы түрде бейнелейтін түзу сызықты дифференциалдық теңдеу.

(1-13) теңдеуінің сол жағы жүйенің еріксіз және еркін қозғалыстарының қосындысы, яғни шығыс айнымалысының у(t) уақыт бойынша өзгеруі. Теңдеудің оң жағы кіріс сигналының өзгеруін сипаттайды және әдетте қандай да бір нақты функцияға f(t) тең. Егер f(t) = 0, яғни оң жақ нольге тең болса, онда бұл жүйенің кірісінде сигнал жоқ және жүйе еркін қозғалатынын білдіреді.

Түзу сызықты жүйеге мысал ретінде 3 мысалда 3 суретте көрсетілген арастырғышты реакторды келтіруге болады.

Түзу сызықты жұйелердің негізгі қасиеттері болып суперпозиция принципі болып табылады. Осы принципті ұстану жүйенің түзу сызықтылығын білдіреді.

Суперпозиция принципінің негізгі жағдайлары:

1) Түзу сызықты жүйелер үшін екі немесе оданда қөп әсерлерге жүйенің реакциясы қосындысы осы әсерлердің әр қайсысына реакция қосындысына тең.

2) Егер кіріс сигналын k есе үлкейтсе немесе кішірейтсе, онда шығу сигналы да сонша есе үлкейеді.

Суперпозиция принципінің түзу сызықты және қисықсызықты жұйелер үшін орындалуы 5 және 6 суреттерде қөрсетілген.

 

5 сурет. Түзу сызықты жүйелер үшін суперпозиция принципі

6 сурет. Қисықсызықты жүйелер үшін суперпозиция принципі

5 суретінен суперпозиция принципі (16) орындалатыны қөрініп тұр, 6 суретте қисықсызықты жүйелер үшін бүл шарт орындалмайды.

2 Түзу сызықты жүйелердің статикалық және динамикалық сипаттамалары

Статикалық сипаттама деп орнатылған режимде кіріс және шығыс айнымалылары арасындағы тәуелділік аталады. Орнатылған режим деп барлық өтпелі процестер өшетін режимді атайды.

Динамикалық сипаттама нысананың уақыт бойынша әрекетін сипаттайды, яғни шығу сигналының уақыт бойынша өзгеруі.

Динамикалық сипаттамалар үш аймақта ұсынылуы мүмкін және сәйкесіше үш бөлімге бөлінеді:

1. Уақыттық сипаттамалары;

2. Комплексті айнымалылардың жазықтықтағы сипаттамасы;

3. Жиіліктік сипаттамалары.

Уақыттық сипаттамалар деп параметрлері уақыт бойынша өзгеретін сипаттамалар аталады. Мұндай сипаттамаларға келесілер жатады:

· Дифференциальдік теңдеу;

· Өтпелі функциялар (үдеу қисығы, импульсті өтпелі функция).

Жазықтықта комплексті айнымалыларды өтпелі функция сипаттайды.

Жиіліктік сипаттамаларға келесілер жатады:

· Амплитуда-фазалық сипаттама;

· Амплитуда-жиіліктік сипаттама;

· Фазалы-жиіліктік сипаттама.

Нысаналардың динамикалық қасиеттерін зерттеу және динамикалық сипаттамаларды алу мақсатында типтік сынаушы сигналдар деп аталатын тесттік сигналдар қолданылады.

Осындай тесттік сигналдарды және нысананың осы сигналдарға әсерін қарастырайық.

1. Бірлік сатылы функция 1(t), бұл Хевисайд функциясы деп аталады.

Нысананың бірлік сатылы функцияға әсері үдеу қисығы y(t) деп аталады.

А - бірлік функция 1(t); Б - бірлік функция 1(t-τ), мұнда τ - кешігу.

7 сурет. Бірлік сатылы функциялар

В - инерциясыз нысананың үдеу қисығы; Г - кешігуі бар үдеу қисығы.

8 сурет. Үдеу қисықтыры

x(t)=1(t) жағдайындағы нысананың динамикасын сипаттайтын теңдеуді шешіп үдеу қисығы теңдеуін алуға болады. Егер (7), (12) дифференциалдық теңдеуде кіріс сигналының x(t) және шығыс сигналының y(t) үйреншікті белгіленулерін қабылдасақ, онда қарапайым нысананың динамикасының дифференциалдық теңдеуі келесі түрде ұсынылады:

Осы теңдеуді шешіп, үдеу қисығы теңдеуін аламыз (8 сурет):

Егер t®∞, онда y(t)→1 немесе y(∞)→1. Егер x(t)=k×1(t), онда үдеу қисығы теңдеуі:

Егер t®∞, онда y(t)→k немесе y(∞)→k,  - нысананың күшейу коэффициенті. k және Т мәндері үдеу қисығы теңдеуінен анықталады. Уақыт тұрақтысы - үдеу қисығының кез-келген нүктесінде абсцисса осіне жанама проекциясы (8 сурет ).

2. Дельта-функция немесе Дирак δ(t) функциясы бұл шексіз аз және шексіз көп амплитуда импульсі. Бұл функция келесідей сипатталады:

А - инерциясыз нысана үшін дельта-функция δ(t); Б - кешігуі бар нысана үшін дельта-функция δ(t-t₁).

9 сурет. Дельта-функцилар

9 (Б) суретте қөрсетілген дельта-функция δ(t-t₁), келесідей сипатталады:

Дельта-функцияның δ(t) негізгі қасиеттері келесілер:

- функция астындағы алаң бірге тең, яғни ;

- қандай да f(t) функциясының t₁ уақыт мезетінде берілген дельта функцияға δ(t-t₁) көбейтіндісінің интегралы сол уақыттағы f(t₁) функциясының мәніне тең:

Нысанының дельта-функцияға δ(t) әсері импульсті-өтпелі функция немесе салмақты функцияh(t) деп аталады.

10 сурет. Импульсті-өтпелі функция

Импульсті-өтпелі функция h(t) теңдеуі x(t)=δ(t) жағдайында нысананың дифференциялдық теңдеуінің (1-19) шешімінен алынуы да мүмкін:

 (25)

Бірлік сатылы функция 1(t) және дельта-функция δ(t) арасындағы байланысты қарастырайық.

11 сурет. Кіріс сигналдары

Қарастырылып жатқан нысаналар түзу сызықты, олар үшін суперпозиция принципі орынды, бұдан, шығыс сигналдары, яғни үдеу қисығы y(t) және импульсті-өтпелі функциясы h(t) да дифференциялдау операторымен байланысты:

12 сурет. Шығыс сигналдары

3. Егер түзу сызықты жүйе кірісіне еркін формадағы сигнал жіберсек, онда жүйенің осы сигналға әсері жинауыш теңдеуімен сипатталады:

 (28)

Бұл теңдеудің мәнін түсіндіру үшін, еркін формадағы кіріс сигналын дельта-функция қосындысымен аппроксимациялаймыз, яғни кіріс сигналын ені шексіз аз қарапайым импульстер қосындысы (бағаналар) түрінде ұсынамыз (1-13 сурет).

13 сурет. Еркін формадағы кіріс сигналы

Τ уақыт мезетін қарастырайық. Нысананың x(τ)-ға әсері келесі түрде жазылуы мүмкін:

t₁ уақыт мезетінде нысананың x(t₁)-ға әсері келесідей:

Суперпозиция принципі (16) бойынша, нысананың осындай бағаналардың әр қайсысына әсері осылардың әр қайсысына әсердің қосындысына тең. Дельта-функцияның (24) екінші қасиетін және суперпозиция принципін қолданып келесіні жазуға болады:

Бұл қөріністі интеграл түрінде жаза отырып, жинауыш теңдеуін аламыз (28).

Кейде жинауыш теңдеуін келесі түрде жазады:

 (32)

6-дәріс. Лаплас түрлендіруі. Негізгі түсініктемелер.
Дәріс сабағының құрылымы:

1. Фурье және Лаплас түрлендірулерінің негізгі принциптері және қасиеттері