Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

320
(
)
(
)
1,96 1
/
1,96 1
/
p
p p n
p
p
p p n
−
−
≤ ≤ +
−
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
теңсіздігі орындалады. Осы формулаға 
п=
100 жəне 
0,13
p
=
ɶ
 
берілгендерін қойғаннан
0,06
0, 2
p
≤ ≤
екені шығады. 
р 
бағасын 0,01-ге дейінгі дəлдікпен алуға қажет 
таңдама 
N 
көлемін табу үшін сол теңсіздіктің өзін 
(
)
1,96 1
/
p p
p p n
− ≤
−
ɶ
ɶ ɶ
түрінде көшіріп жазамыз. Бұдан
(
)
(
)
2 1
/
0,01
40000 1
p p N
N
p p
−
=
⇒
=
−
=
ɶ ɶ
ɶ ɶ
40000 0,87 0,13
4524.
=
⋅
⋅
=
Демек 0,01-ге дейінгі дəлдікпен ақаулық процентін анықтау 
үшін кем дегенде 4 524 бұйымға таңдамалы тексеру жүргізу 
қажет.
Мысал.
 
Сақтандыру компаниясы 
п 
үйдің əрқайсысын 
$
1000-
ға сақтандыру рəсімін жүргізеді. Сақтандырылатын үйдің бір 
жыл ішінде өртке шалдығу ықтималдығы 
р-
ға тең (
р
=0,01).
{
}
0,025
p m K
>
=
болатындай 
K-
ны табу керек, мұндағы 
т – 
бір 
жыл ішінде өртенген үйлер саны. Өртенген 
K
 үйге берілетін 
S 
төлем шамасын тауып, мұндай төлемді қамтамасыз ететін əрбір 
үйден жиналатын 
s 
сомасын табу керек (сонда орта есеппен 
алғанда 50 жылда бір рет компанияның жинаған қаражаты 
жетіспей, меншікті қорларынан ақша алуға немесе тіпті болмай 
бара жатса несие алуға мəжбүр болады). Сақтандырылатын 
үйден 
п 
=1000000, 
п 
=10000, 
п 
=1000 үшін алынатын сомаларды 
салыстырыңыз.
Шешімі
. 
Муавр-Лапластың интегралдық теоремасына 
сəйкес
(
)
(
)
2
2
1
1
2
x
K np
n
p p
p m K
e
dx
π
∞
−
−
−
≥
=
∫
жəне кестелер бойынша

321
(
)
2
2
1,96
1
0,5
1,96
0,025.
2
x
e
dx
Φ
π
∞
−
=
−
=
∫
Демек
(
)
(
)
1,96
1,96
1
0,01
0, 2
.
1
K np
K
np
n
p p
n
n
n
p p
−
=
⇒
=
+
−
≈
+
−
Осыдан төлем үшін
( )
(
)
1000 0,01
0, 2
10
200
S n
n
n
n
n
=
+
=
+
доллар, ал жеке үйден
( )
10 200 /
s n
n
=
+
доллар жиналу керек екені шығады.
Жауабы. 
(
)
1,96
1
0,01
0, 2
K
np
n
p p
n
n
=
+
−
≈
+
;
(
)
1000
10
200
,
1000000
$10, 2,
S
K
n
n
S
=
=
+
=
(
)
(
)
10000
$12,
1000
$16.
S
S
=
=
Сонымен, егер фирмаңыздың клиенттер саны 1000 болса, онда 
$1000 құны бар үйге сақтандыру жарнасы $16 құрап, ал клиенттер 
саны 10000 болғанда $12 құрайды, 1000000 клиент болғанда 
сақтандыру жарнасы тек $10,2 көлемінде алынады. Онда сізге 
сақтандыру төлемін тарату үшін 0,975-ке тең ықтималдықпен 
жиналған қаражат жеткілікті болады (шамамен, 100 жылда 2-3 
рет бұл қаражат сізге жетіспей, өрт қаупі төмен сəтті жыл келуін 
күтіп, несие алуға тура келеді).
§3.
 
Таңдамалық əдіс
3.1.
 
Таңдаманың статистикалық үлестірімі
Дискреттік
 немесе 
үзіліссіз
 Х 
сандық белгісін зерттеу үшін 
бас жиынтықтан көлемі 
п-ге
 тең
 
x
1
, 
x
2
, 
x
3
, ..., 
x
k
,
   таңдамасы 
алынған. 
Х 
белгісінің байқаудан өткен 
х
і 
мəндерін 
варианталар
, 
ал өспелі ретте жазылған варианталар тізбегін 
вариациялық 

322
қатар
 дейді. 
Таңдаманың статистикалық үлестірімі
 
деп 
вариациялық қатардың  
х
і 
варианталар бумасы жəне оларға 
сəйкес 
п
і  
жиіліктерін (барлық жиіліктердің қосындысы таңдама 
көлемі 
п
-ге тең) немесе 
w
i
 
салыстырмалы жиіліктерін (барлық 
салыстырмалы жиіліктердің қосындысы 1-ге тең) айтады. 
Таңдаманың статистикалық үлестірімін интервалдардың жəне 
оларға сəйкес жиіліктердің тізбегі түрінде де беруге болады 
(интервалдың жиілігі ретінде осы интервалға түскен варианталар 
жиіліктерінің қосындысы алынады).
1-мысал.
 
Таңдама жиіліктердің үлестірімі түрінде берілген:
х
і
2
5
7
п
і
1
3
6
Салыстырмалы жиіліктердің үлестірімін табу керек
.
Шешімі.
 
Таңдама көлемін табамыз:
п = 
1 + 3 + 6 = 10.
Салыстырмалы жиіліктерді табамыз:
w
1
= 
1/10 = 0,1;  
w
2 
= 
3/10 = 0,3;  
w
3
= 
6/10 = 0,6.
Салыстырмалы жиіліктердің ізделінді үлестірімін жазамыз:
х
і
2
5
7
w
i
0,1
0,3
0,6
Тексеру
:
  0,1 + 0,3 + 0,6 = 1.
2-мысал
. 
Таңдама жиіліктердің үлестірімі түрінде берілген:
х
і
4
7
8
12
п
і
5
2
3
10
Салыстырмалы жиіліктердің үлестірімін табу керек
.
Жауабы:
х
і
4
7
8
12
w
i
0,25
0,1
0,15
0,5

323
3.2.
 
Үлестірімнің эмпирикалық функциясы
Үлестірімнің эмпирикалық функциясы 
(
таңдаманың 
үлестірім
 
функциясы
)
 деп əрбір 
х 
мəні үшін 
Х < х 
оқиғасының
F*
(
x
)=
n
x
/n
салыстырмалы жиілігін анықтайтын 
F*
(
x
) функциясын айтады. 
Мұндағы 
n
x 
дегеніміз  -  
х-
тен кіші варианталар саны, 
п - 
таңдама 
көлемі. Эмпирикалық функция төмендегідей қасиеттерге ие: 
1) Эмпирикалық функция мəндері [0, 1] кесіндісіне тиісті;
2) 
F*
(
x
) – кемімелі емес функция;
3) егер 
х
1
 – ең кіші варианта, ал 
х
k
 – ең үлкен варианта болса, 
онда 
х 
≤
 х
1 
болғанда 
F*
(
x
) = 0 жəне 
х >
 
х
k
 болғанда 
F*
(
x
) = 1.
3-мысал
. 
Таңдаманың берілген 
х
і
1
4
6
п
i
10
15
25
үлестірімі бойынша эмпирикалық функцияны табу керек
.
Шешімі.
 
Таңдама көлемін табамыз:
п = 
10 + 15 + 25 = 50.
Ең кіші варианта бірге тең, демек
х 
≤ 1 болуында 
F*
(
x
) = 0.
Х < 
4 мəні, атап айтқанда 
х
1 
= 1 мəні 10 рет байқалды, олай болса 
1
 < х 
≤
 
4 болуында 
F*
(
x
) = 10/50 = 0,2.
Х < 
6 мəндері, атап айтқанда 
х
1 
= 1 жəне 
х
2 
= 4 мəндері
10 +15 = 25 рет байқалды, олай болса 
4
 < х 
≤ 6 болуында 
F*
(
x
) = 25/50 = 0,5.
Х = 
6 - ең үлкен варианта болғандықтан, онда  
х 
> 6 болуында 
F*
(
x
) = 1.
Ізделінді эмпирикалық функция төмендегідей жазылады:
                
( )
*
0;
1
0, 2; 1
4
0,5;
4
6
1;
6
x
x
F x
x
x
≤


< ≤

= 
< ≤


>

Функция графигі 45-суретте кескінделген.
болғанда,
болғанда,
болғанда,
болғанда.

324
§4. Полигон жəне гистограмма
4.1.
 
Х белгісінің дискретті үлестірімі
Жиіліктер полигоны
 деп кесінділері (
х
1
, 
п
1
), (
х
2
, 
п
2
), ...,
(
х
k
, 
п
k
) нүктелерін қосатын сынықты айтатын боламыз, мұндағы 
х
і 
-
 
таңдама варианталары, ал 
п
і 
– 
оларға сəйкес жиіліктер. 
Салыстырмалы жиіліктер полигоны
 деп кесінділері
(
х
1
, 
w
1
), (
х
2
, 
w
2
), ..., (
х
k
, 
w
k
) нүктелерін қосатын сынықты айтатын 
боламыз, мұндағы 
х
і 
-
 
таңдама варианталары, ал 
w
і 
– 
оларға сəйкес 
салыстырмалы жиіліктер. 
4.2.
 
Х белгісінің үзіліссіз үлестірімі
 Белгінің үзіліссіз үлестірімі жағдайында, белгінің барлық 
байқалған мəндерін қамтитын интервалды тұтасымен, 
h 
ұзындығы бар кішірек интервалдарға бөлшектеп, 
і-
ші интервалға 
түскен варианталардың 
п
і 
 қосындысын табады.
Жиіліктер гистограммасы
 
деп табаны 
h 
(бөлшектеуден 
шыққан интервал
 
ұзындығы), ал биіктігі 
п
і
/h 
(жиілік тығыздығы) 
болып келетін тіктөртбұрыштардан құрылған басқышты 
фигураны айтады.
                  45-сурет                                                   46-сурет
і-
ші дербес тіктөртбұрыш ауданы
 
i
i
n
h
n
h
=
⋅
 
-  
і-
ші интервалға 
nүскен варианталар жиіліктерінің қосындысына тең. Жиіліктер 
гистограммасының ауданы барлық жиіліктер қосындысына, атап 
айтқанда таңдама көлемі болып келетін 
п 
санына тең.
Салыстырмалы жиіліктер гистограммасы деп табаны 
h -
қа тең 
(
і 
–ші дербес интервал
 
ұзындығы), ал биіктігі 
w
і 
/h 
(cалыстырмалы 
жиілік тығыздығы) болып келетін тіктөртбұрыштардан құрылған 
басқышты фигураны айтады. 

325
і 
-ші дербес тіктөртбұрыш ауданы
 
i
i
w
h
w
h
=
⋅
  
-  
і-
ші интервалға 
түскен варианталардың cалыстырмалы жиілігіне тең.
Салыстырмалы жиіліктер гистограммасының ауданы барлық 
cалыстырмалы жиіліктер қосындысына, атап айтқанда 1-ге тең.
4-мысал
. 
Таңдаманың берілген 
х
і
1
4
5
7
п
і
20
10
14
6
үлестірімі бойынша жиіліктер полигонын салу керек
.
Шешімі
. 
Абсциссалар осінде 
х
і
 варианталарын, ал ординаталар 
осінде оларға сəйкес 
п
і 
жиіліктерін саламыз; (
х
і
, 
п
і
) нүктелерін 
түзу кесінділерімен қосып, ізделінді жиіліктер полигонын аламыз 
(46-сурет).
5-мысал
. 
Таңдаманың берілген 
х
і
2
4
5
7
10
w
i
0,15
0,2
0,1
0,1
0,45
үлестірімі бойынша салыстырмалы жиіліктер полигонын салу 
керек
.
Шешімі.
 
Абсциссалар осінде 
х
і
 варианталарын, ал 
ординаталар осінде оларға сəйкес 
w
i 
салыстырмалы жиіліктерін 
саламыз; (
х
і
, 
w
i
) нүктелерін түзу кесінділерімен қосып, ізделінді 
салыстырмалы жиіліктер полигонын аламыз (47-сурет).
47-сурет

326
6-мысал
. 
Көлемі 
п = 
100 болатын таңдама үлестірімі берілген: 
Интервал 
нөмірі
Дербес
интервал
Интервалдың варианталар 
жиіліктерінің қосындысы
Жиілік 
тығыздығы
і
х
і
 
- 
х
і+
1
п
і
п
і
/h
1
2
3
4
5
1 – 5
5 – 9
9 – 13
13 – 17
17 – 21
10
20
50
12
8
2,5
5
12,5
3
2
Жиіліктер гистограммасын салу керек
.
Шешімі.
 
Абсциссалар осінде ұзындығы 
h = 
4 болып келетін 
интервалдар саламыз. Осы интервалдар үстінен абсциссалар 
осіне параллель жəне одан сəйкес 
п
і
/h 
қашықтықта орналасқан 
кесінділер жүргіземіз. Мəселен, (1; 5) интервалының үстінде 
абсциссалар осіне параллель жəне одан 
п
і
/h 
= 10/4 = 2,5-ке тең
 
қашықтықта орналасқан кесінді саламыз. Ізделінді жиіліктер 
гистограммасы 48-суретте кескінделген.
7-мысал
. 
Берілген таңдама үлестірімі бойынша жиіліктер 
гистограммасын салу керек
. 
а
)
Интервал 
нөмірі
Дербес 
интервал
Интервалдағы варианталар 
жиіліктерінің қосындысы
Жиілік 
тығыздығы
і
х
і
 
- 
х
і+
1
п
і
п
і
/h
1
2
3
4
5
2 – 7
7 – 12
12 – 17
17 – 22
22 – 27
5
10
25
6
4

327
b
)
Интервал 
нөмірі
Дербес 
интервал
Интервалдағы варианталар 
жиіліктерінің қосындысы
Жиілік 
тығыздығы
і
х
і
 
- 
х
і+
1
п
і
п
і
/h
1
2
3
4
5
6
7
3 – 5
5 – 7
7 – 9
9 – 11
11 – 13
13 – 15
15 – 17
4
6
20
40
20
4
6
Нұсқау
. 
Ең алдымен əр интервал үшін 
п
і 
/ h 
болып келетін 
жиілік тығыздығын тауып, соңғы бағанды толтыру керек.
                     
48-сурет                                                49-сурет
8-мысал
. 
Берілген таңдама үлестірімі бойынша салыстырмалы 
жиіліктер гистограммасын салу керек
. 
Интервал 
номері
Дербес 
интервал
Дербес интервалдағы варианталар 
жиіліктерінің қосындысы
і
х
і
 
- 
х
і+
1
п
і
1
2
3
0 – 2
2 – 4
4 – 6
20
30
50
100
i
n
n
=
=
∑

328
Шешімі.
 
Салыстырмалы жиіліктерді табамыз:
w
1
= 
20/100 = 0,2;  
w
2 
= 
30/100 = 0,3;  
w
3
= 
50/100=0,5.
Интервал ұзындығы 
h = 
4 болатынын ескеріп, салыстырмалы 
жиіліктердің тығыздығын табамыз:
w
1
/
h = 
0,2/2 = 0,1;  
w
2
/
h = 
0,3/2 = 0,15;
  
w
3
/
h = 
0,5/2 = 0,25.
 Абсциссалар осінде берілген дербес интервалдарды саламыз. 
Осы интервалдар үстінен абсциссалар осіне параллель етіп жəне 
одан сəйкес салыстырмалы жиілік тығыздығына тең
 
қашықтықта 
орналасқан кесінділер жүргіземіз. Мəселен, (0; 2) интервалының 
үстінде абсциссалар осіне параллель жəне одан 0,1-ге тең
 
қашықтықта орналасқан кесінді саламыз; осыған ұқсас өзге де 
кесінділер салынады. Салыстырмалы жиіліктердің ізделінді 
гистограммасы 49-суретте кескінделген.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: