А оқиғасының ықтималдығы
деп (сəйкес
А
жиынына енген)
А
оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар
ықтималдықтарының
p
(
A
)
(
)
i
n
i
A
p
ϖ ∈
=
∑
(9.3)
түріндегі қосындысын айтамыз. Осылайша енгізілген ықтималдық
салыстырмалы жиіліктің қасиеттеріндей қасиеттерге ие болады:
0 ≤
р
(
А
) ≤ 1,
р
(Ω)=1; егер
АВ
= Ø болса,
р
(
А+В
) =
р
(
А
)+
р
(
В
)
Расында, (9.3)-ке сəйкес
(
)
1
0
( )
( ) 1,
i
n
i
i
i
A
p A
p
p
p
ϖ
=
∈
≤
≤
≤
=
Ω =
∑
∑
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( ).
i
i
i
i
i
i
A B
A
B
p A B
p
p
p
p A
p B
ϖ
ϖ
ϖ
∈ +
∈
∈
+
=
=
+
=
+
∑
∑
∑
Соңғы қатынаста бірде-бір элементар оқиға бір мезгілде екі
үйлесімсіз оқиғаға қолайлы бола алмайтындығы қолданылып
отыр. Ықтималдықтар теориясы
р
і
ықтималдықтарын анықтау
тəсілдерін көрсетпейтінін ерекше атап өткен жөн, оларды
практикалық сипаты бар пайымдаулардан іздестіру немесе
статистикалық эксперименттен шығарып алу керек. Мысал
үшін ықтималдықтар теориясының классикалық нұсқасын
қарастырайық. Ол үшін элементар оқиғалар кеңістігі шектеулі
саны бар
п
элементтен тұратын статистикалық экспериментті
қарастырамыз. Осыған қосымша, барлық осы элементар
оқиғалар теңмүмкіндікті, атап айтқанда элементар оқиғалардың
ықтималдықтары
р
(ω
і
) =
р
і
= р
болсын деп ұйғарамыз. Бұдан
1
( ) 1
n
i
i
p
p
np
=
Ω = =
=
∑
немесе
p
=
p
i
=1/
n
.
Мысал
.
Симметриялы тиын-теңгені лақтырғанда елтаңба мен
цифрдың көрінуі теңмүмкінді, олардың ықтималдықтары 0,5-ке
тең.
Мысал
.
Ойын сүйегін лақтырғанда барлық жақтарының
көрінуі теңмүмкінді, олардың ықтималдықтары 1/6-ге тең.
Енді
А
оқиғасына
т
элементар оқиға қолайлы болсын, оларды
əдетте
қолайлы түсім
дейді. Сонда
268
(
)
1
( )
( )
.
i
i
A
ò
ò
p À
p
ò
p À
ï
ï
ï
ϖ ∈
=
= ⋅ =
⇒
=
∑
(9.4)
Сонымен, классикалық нұсқада кездейсоқ
А
оқиғасының
ықтималдығы
А
оқиғасына қолайлы оқиғалар санын барлық
теңмүмкінді жалпы түсім санына бөлгенге тең.
Мысал
.
Жəшікте
т
ақ түсті шар жəне
п
қара түсті шар бар. Ақ
түсті шар алынуының ықтималдығы неге тең?
Шешімі.
Элементар оқиғалардың жалпы саны
т
+
п.
Олардың
барлығы теңмүмкінді, ал олардың арасындағы қолайлысы -
т
.
Демек
р
=
т
/(
т
+
п
)
.
Мүмкіндік (түсім) санын есептеуде комбина-
ториканың кейбір ережелері мен формулаларын жиі қолданады.
Оларды төменде келтіреміз.
Көбейту ережесі.
Егер кейбір
А
жиынынан алынған
a
i
элементін
k
A
тəсілмен таңдауға, ал
В
жиынының
b
j
элементін
k
B
тəсілмен таңдауға болса, онда (
a
i
, b
i
) жиынтығын
k
A
·
k
B
тəсілімен
жасауға болады. Ереже элементтер саны 2-ден асатын жағдайда
да орынды.
Мысал
.
Бірі ақ түсті, екіншісі қызыл қос ойын сүйегі
лақтырылады. Ақ кубикте
а
ұпай, қызыл кубикте
b
ұпай –
элементар оқиғалар. Элементар (
a, b
)
оқиғаларының жалпы саны
36=6·6
.
§4. Комбинаториканың формулалары.
Орналасулар, ауыстырмалар, терулер
Мысал
.
Цифрлары əртүрлі жеті орынды телефон нөмірін
неше тəсілмен теруге болады. 1-ші цифрды 10 тəсілмен теруге
болатыны айқын, екіншісін 9 тəсілмен теруге болады, өйткені бір
цифр алдында пайдаға асты, үшіншісін 8 тəсілмен, төртіншісін
7 тəсілмен, т.т., ..., жетіншісін 4 тəсілмен тере аламыз. Көбейту
ережесіне сəйкес мүмкін болатын нөмірлердің жалпы саны
10·9·8·7·6·5·4 = 604800.
n
түрлі элемент қамтитын кейбір жиыннан белгілі бір ретте
т
элемент алынсын, мүмкін болатын нұсқа санын есептеу үшін
1-ші элементті
n
тəсілмен , екінші элемент
n -
1
тəсілмен, т.т.,
m-
элементті (
n - m+
1)
тəсілмен алуға болатынын байқаймыз.
Мұндай комбинациялар
орналасулар
деп аталады, ал нұсқалар
санын
269
m
n
A
=n
·(
n –
1)·…·(
n - m+
1)
=
)!
(
!
m
n
n
−
деп белгілейді
.
n=m
болғанда
n
элементтен тұратын
ауыстырмалар
жөнінде
сөз болады, ал олардың саны
P
n
= n!
(
n
-факториал)
болады. Егер
n
элемент ішінен алынатын
m
элемент реті маңызды
болмаса, онда
п
элементтен
т
бойынша
m
n
C
теру
саны жөнінде
сөз болады.
m
m
n
m
n
P
C
A
⋅
=
болғандықтан,
!
)!
(
!
1
2
...
)
1
(
)
1
(
...
)
1
(
m
m
n
n
m
m
m
n
n
n
P
A
C
m
m
n
m
n
⋅
−
=
⋅
⋅
−
⋅
+
−
⋅
⋅
−
⋅
=
=
Мысал
:
20 студент ішінен үшеуін неше тəсілмен концертке
жіберуге болады.
Шешім
:
Баратын студенттер қандай ретте алынғаны маңызды
болмағандықтан, нұсқалар саны
3
20
20 19 18
1140
1 2 3
C
⋅ ⋅
=
=
⋅ ⋅
.
Мысал
:
Фирма басқармасындағы 20 мүше арасынан өнеркəсіп,
қаржы, өнім өткізу салаларына жауапты үш вице-президент
вакансия орнын неше тəсілмен басуға болады.
Шешімі
:
Таңдау реті маңызды болғандықтан, нұсқалар саны
3
20
20 19 18
6840
A
=
⋅ ⋅ =
.
Ескерту
: п
-нің үлкен мəндерінде осы формулалар бойынша
нұсқалар санын іздестіру
п
! санын табуға байланысты күрделі
есептеу жүргізуді талап етеді. Мұндайда
Стирлингтің
асимптоталық
деп аталатын
π
π
π
⋅
⋅
⋅
=
e
n
n
2
!
формуласы қолданылады.
Мысал
:
Берілген
К
даналы өнімнің ішінде
L
данасы жарамсыз.
Тексеруге алынған қандай да
K
k
≤
өнімнің ішінде дəл
L
≤
ℓ
өнім
270
жарамсыз болуының ықтималдығы қандай? (Мұндай сынауды
сапа тексерісі
дейді).
Шешімі
:
Сынау
k
үлгісінің кездейсоқ алынуы болып
табылады. Демек сынаудың нəтижелері тең мүмкіндікті жəне
олардың жалпы саны
k
K
C
n
=
.
А
оқиғасы алынған
k
-ның ішінде
дəл
l
өнім жарамсыз болуын білдіреді.
А
оқиғасына себеп
кер
қолайлы оқиғалар саны көбейту ережесіне сəйкес
ℓ
ℓ
L
k
L
K
C
C
A
m
⋅
=
−
−
)
(
болады, мұндағы бірінші көбейткіш жақсы үлгілер алынуындағы
нұсқалар саны болса, екінші көбейткіш жарамсыз үлгілер
алынуындағы нұсқалар саны. Бұдан ізделінді ықтималдық
k
K
l
L
l
k
L
K
C
C
C
n
A
m
A
p
⋅
=
=
−
−
)
(
)
(
.
Жоғарыда келтірілген ықтималдықтың анықтамасы өзінің
қарапайымдылығы жəне көрнектілігін көрсететін айқын
жетістігімен бірге бірқатар кемшілікке ие болады: мұндағы
элементар оқиғалар саны шектеулі немесе саналымды жиын
болуымен қатар, олардың ықтималдықтарының белгілі болуы
талап етіледі. Мұның бəріне қашан да қол жете бермейді,
сондықтан енгізілген анықтама жеткілікті дəрежеде жалпы
бола алмайды. Бүгінгі таңда ықтималдықтар теориясының
аксиоматикалық салынуы жүзеге асуда. Ықтималдықтар
теориясының аксиомаларын тұжырымдап өтейік.
Ω
- кейбір
сынаудағы элементар оқиғалар кеңістігі болсын жəне
Ω
кеңістігінде оқиғалар алгебрасы болып табылатын оқиғалардың
F
жүйесі айырып алынсын. Ол мынаны білдіреді:
Ω
∈
F
;
F
A
∈
→
F
A
∈
; егер
А
мен
F
B
∈
→
А+В
жəне
AB
F
.
Əрбір кездейсоқ
F
A
∈
оқиғасына оның ықтималдығы
болатын
р(А
) саны сəйкес қойылып, төмендегідей қасиеттер
орындалады:
1. Кез келген
A
F
үшін
1
)
(
0
≤
≤
A
p
;
2.
;
1
)
(
=
Ω
p
3. Үйлесімсіз (
AB =
Ø болатындай)
А
жəне
В
үшін
(
)
( )
( ).
p A
B
p A
p B
+
=
+
271
Осы нұсқадағы аксиоматиканы алғаш А. Н. Колмогоров
ұсынған. Ықтималдықтар теориясының дамуындағы оның орны
ерекше. Осылайша енгізілген (
Ω
,
F, р
) үштігі
ықтималдықты
кеңістік
деп аталады. Мұндай көзқарас, сөз етілген аксиомалар
көмегімен, бір оқиғалардың ықтималдықтары арқылы, бастапқы
ықтималдықтарды білмей-ақ, өзге, күрделі оқиғалардың
ықтималдықтарын есептеуге мүмкіндік береді. Мысал ретінде
ықтималдықтар теориясының геометриялық кескіндемесін
қарастырайық. Ол үшін нүктені [0,
l
] кесіндісіне (оның кез келген
нүктесіне түсуі теңмүмкіндікті деп ұйғарып) кездейсоқ лақтыру
сынауын жүргізейік. Осы сынаудағы элементар оқиғалар кеңістігі
- [0,
l
] кесіндісінің барлық нүктелері –
Ω
жиыны элементар
оқиғалар жиынын саналымсыз жəне олардың барлығы бірдей
мүмкіндікті болғандықтан онда кез келген
ω
оқиғасы үшін оның
ықтималдығы
1
)
(
=
ω
p
деп саналады. Атап айтқанда классикалық
анықтама жарамсыз. Мұндайда, лақтырылған нүктенің [0,
l
]
кесіндісінде жататын [
а, b
] кесіндісіне тию оқиғасына (
А
оқиғасы),
сол [
a, b
] кесіндісінің ұзындығына пропорционал келетін санды
сəйкестендіреміз. Атап айтқанда
( )
b a
p A
l
−
=
(9.5)
Мұнда барлық аксиомалардың орындалуына көз жеткізу қиын
емес. Кесінді орнына жазық фигура алып, ықтималдықты
( )
( )
( )
S A
p A
S
=
Ω
(9.6)
қатынасы түрінде анықтауымызға болады, мұндағы
S(А)
мен
S
(
Ω
)
-
сəйкес фигуралардың ауданы. Осы айтқанды үшөлшемді
немесе жоғары өлшемді жағдайларға да жаратуға болады.
Мысал.
Қабырғасы
а
-ға тең шаршы көзді терезенің қабырғасы
b
-ға тең шаршы көзді желдеткіші бар. Ашық желдеткіш арқылы
бөлмеге ұшып түскен доп терезе əйнегін сындырмауының
(
А
оқиғасы) ықтималдығы қандай? Терезе əйнегі сынуының
(
В
оқиғасы) ықтималдығы қандай?
.
)
(
;
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
a
b
a
B
p
a
b
S
A
S
A
p
−
=
=
Ω
=
272
Достарыңызбен бөлісу: |
