Қарапайым тригонометриялық теңдеулер

Жауабы:
Біртекті теңдеулер
acosx+bsinx=0 asin²x+bcos²x+dsinxcosx=0; asin³x+bsinxcos²x+dsin²xcosx=0 және т.б. түріндегі теңдеулердң қарастырайық. acosx+bsinx=0 теңдеуінің сол жақ бөлігіндегі әрбір қосылғыш sinx пен cosx-ке қатысты бірінші дәрежелі, оң жақ бөлігі 0-ге тең. Мұндай теңдеулерді sinx пеен cosx-ке қатысты бірінші дәрежелі біртекті теңдеулер дейді. asin²+bcos²x+dsinxcosx=0 теңдеуінің сол жақ бөлігіндегі әрбір қосылғыш sinx пен cosx-ке қатысты екінші дәрежелі, оң жақ бөлігі 0-ге тең. Мұндай теңдеулерді sinx пен cosx-ке қатысты екінші дәрежелі біртекті теңдеулер дейді. asin²+bsincos²x+dsin²cosx=0 теңдеуінің сол жақ бөлігіндегі әрбір қосылғыш sinx пен cosx-ке қатысты үшінші дәрежелі, оң жақ бөлігі 0-ге тең. Мұндай теңдеулерді sinx пен cosx-ке қатысты үшінші дәрежелі біртекті теңдеулер дейді.
Анықтама. Сол жақ бөлігіндегі sinx пен cosx-ке қатысты барлық мүшелерінің дәреже көрсеткіштерінің қосындысы бірдей, оң жақ бөлігі 0-ге тең болатын теңдеу sinx пен cosx-ке қатысты біртекті тригонометриялық теңдеу деп аталады.
Кез-келген біртекті тригонеметриялық теңдеуді алгебралық теңдеуге келтіру үшін мына түрлендірулер қолданылады: Алгоритм. 1)Теңдеудің екі жақ бөлігін -ге ( -ге), мұндағы n теңдеудің дәрежесі, бөліп, сол жақ бөлігінде tgx-ке (ctgx-ке) қатысты берілген теңдеуге мәндес теңдеу алу; 2) алмастыру жасап, мысалы, tgx-ті (ctgx-ті) y арқылы белгілеп, алгебралық теңдеу алу.
4-мысал. Біртекті sin²x+2cos²x+3sinxcosx=0 теңдеуін шешейік. Шешуі. Теңдеудің екі жақ бөлігін -ге бөлеміз.Сонда берілген теңдеуге мәндес tg²x+3tgx+2=0 теңдеуін аламыз. Расында, , мұндай болмаған жағдайда sinx=0 және cosx=0 болады, бұл мүмкін емес, себебі sin²x+cos²x=1. tgx-ті y арқылы өрнектесек, y²+3y+2=0 алгебралық теңдеуі шығады. Соңғы теңдеудің шешімі -1 және -2 сандары болады. tgx=y алмастыруын қолданып x-тің мәндерін табайық:
Сонда
Жауабы:
Алмастыру тәсілі арқылы теңдеулерді шешу
аsinx+bcosx=c теңдеуі қосымша бұрыш енгізу тісілімен шығарылады.
Бұл тәсіл теңсіздігін қолдануға негізделген. болғандықтан, , (1)
алмастыруларын қолданамыз. asinx+bcosx=c теңдігінің сол жақ бөлігіндегі өрнегін жақшаның алдына шығарамыз:
(2)
Егер болса,онда (2) теңдеудің шешімі бар.Демек, формуласын және (1)алмастыруды қолданып аламыз. Ендеше,
5-мысал. теңдеуін қосымша аргумент енгізу тәсілімен шешейік. Шешуі. Берілген теңдеуде . Сондықтан .Онда болғандықтан, Сонда
Жауабы:
6-мысал