Дәріс 13 Циклдік кодтардың генеративті және тексеру матрицалары
Циклдік кодтар сызықтық блок кодтарының жиынтығын құрайды және сызықтық блок кодтарының жалпы ерекшеліктерінен басқа, олардың белгілі бір қасиеттері мен сипаттау әдістері бар. Алдымен циклдік кодтың генерациялық матрицасын қарастырыңыз. Теорема 3 сәйкес (12 дәрісті қараңыз), циклдік кодтың әр көпмүшелігі жұмыс түрінде ұсынылуы мүмкін
. (13.1)
(13.1)-дің әрбір қосылымы g(X) генеративті көпмүшенің жылжуын көрсетеді, оған сәйкес вектор
, (13.2)
13.1-Кесте
сондықтан V(X) көпмүшеге сәйкес келетін V код векторы ақпараттық вектордың көбейтіндісі түрінде, ал G генератор матрицасына ұсынылуы мүмкін
, (13.3)
мұнда G матрицасы пайда болады
. (13.4)
Мысал: циклдік (7,4)-Хэмминг кодының туындатушы (генеративті) және тексеру матрицасы.
туындатушы көпмүшесін қолдана отырып, (7,4)-кодының жүйелік емес циклдік кодының туындатушы матрицасын аламыз
. (13.5)
туындатушы көпмүшесімен пайда болған кодтық векторлық кеңістік
Жоғарыда айтылғандай, генеративті көпмүшеден құралған кодтық векторлық кеңістік (7,4)-Хамминг кодының сызықтық векторлық кеңістігімен сәйкес келеді, сондықтан (13.5) өрнектен G матрицасын жүйелік емес формадағы Хэмминг циклдік кодының генеративті матрицасы ретінде қарастыруға болады.
Қарапайым матрицалық түрлендірулер арқылы (13.5) g генеративті матрицасы жүйелі түрге келтірілуі мүмкін. G матрицасының әр жолы кодтық сөз болғандықтан, кез-келген жолды осы жолдың қосындысымен басқа жолмен ауыстыру кодтық векторлық кеңістікті өзгертпейді (тек ақпараттық және кодтық векторлар арасындағы сәйкестік жүйесі өзгереді). Біз (13.5) алдымен үшінші және төртінші жолдарды бірінші жолдағы мәндерге қосындысымен, содан кейін алынған төртінші жолды бірінші жолдағы мәндерге қосындысымен алмастырамыз. Нәтижесінде (12.2)өрнекпен сәйкес келетін жүйелі циклдік хэмминг кодының генеративті матрицасын аламыз
. (13.6)
u = (1 0 0 1) ақпараттық векторын алайық. Оның кодтық векторы
. (13.7)
бұрын алынған (12.2) жүйелік циклдік кодтың кодтық векторына және 13.1-кестеге сәйкес келеді.
Циклдік жүйелік (7,4)-кодтың тексеру матрицасы G (13.6) матрицасынан бұрын қарастырылған ресми ережелерге сәйкес алынуы мүмкін. Мұнда біз тек циклдік кодтардың қасиеттеріне сүйене отырып, тексеру коэффициентін алғымыз келеді және тексеру матрицасын құрғымыз келеді. Ол үшін g(X) генеративті көпмүшені қалдықсыз бөлетін 5-теоремасын(12 дәріс) қолданамыз. Сондықтан келесідей жазуға болады
. (13.8)
Кодтық көпмүшені келесі түрде ұсынуға болады
v(X) = а(Х) g(Х), (13.9)
(13.8) ескеріп, келесі көбейтіндіні жүзеге асырамыз
. (9.10)
a(Х) көпмүшесінің дәрежесі k – 1-ден аспайтындықтан, (13.10) теңдіктің оң жақ бөлігінде мүшелері қосындылар ретінде болмайды . v(X) а(Х) көбейтіндісінің коэффициенттері үшін осы Шартты қолдана отырып, n-k тексеру теңдіктерін жазуға болады
(13.11)
Бұл теңдіктерді матрицалық түрде жазуға болады. Тексеру матрицасын енгізу
. (13.12)
синдромды декодтау үшін белгілі матрицалық теңдеуді аламыз
. (13.13)
Анықтама. циклдік(n, k)-C кодының r = n – k дәрежесіндегі g(X) генеративті көпмүшесі берілсін, бұл жағдайда k дәрежедегі h(X) көпмүшелігі болатындай тексеруші көпмүшелік деп аталады.
Көпмүшелік, h(X) тексеруші көпмүшелік өзара кері, яғни көпмүшелік, С кодына қосарлы, (n , n – k) -кодының туындатушы көпмүшелігі болып табылады, қосарлы Код с.
келесі түрде ұсынамыз:
. (9.14)
мұндағы және
. (9.15)
(9.14) теңдікке k сызықтық тәуелсіз код көпмүшелері сәйкес келеді
. (9.16)
(9.16) сәйкес келетін генеративті матрица
. (9.17)
Жоғарыда айтылғандай, жүйелік кодтың тексеру матрицасы (9.17)-ден келесі түрінде қалыптасады
. (9.18)
13.2-Кесте. генеративті матрицаны жүйелі түрде анықтау.
Мысал: жүйелі циклдік (7,4)-Хэмминг кодының генеративті матрицасы.
Біз бұрыннан белгілі генеративті көпмүшеге сәйкес жүйелік циклдік (7,4) кодтың генеративті матрицасын табамыз . Осы мақсатта алдымен (13.14) сәйкес ыдырату және і = 0,1,2,3 үшін(13.16) ден vi(X) негізгі кодтық Көпмүшелерді анықтаймыз (13.2-кесте).
Генеративті матрица негізгі кодтық көпмүшелер арқылы тікелей құрылады және (13.7) толығымен сәйкес келеді
. (9.19)
Достарыңызбен бөлісу: |
