№ 2 дәріс. Нақты сандардың маңызды кластары. Нақты сандардың толықтығымен байланысты негізгі қағидалар. Саналымды және саналымсыз жиындар. Тізбек шегінің анықтамасы. Мысалдар.
Е және F жиындары берілсін. Айталық, Е жиынының әрбір элементіне (яғни ) F жиынының белгілі бір y элементі (яғни ) сәйкес қойылсын. Осы сәйкестікті әрібі арқылы белгілейік. Міне осы сәйкестігі Е жиынының F жиынына бейнелеуі деп немесе Е жиынын F жиынына көшіретін функция деп аталады. сәйкестігі әсерінен элементінің элементіне көшуін немесе символдары арқылы жазамыз. Сонда Е жиыны функциясының анықталу аймағы деп аталады.
Айталық, функциясы Е жиынында анықталсын және ол Е жиынын жиынына бейнелесін. символы арқылы барлық болатын функциясының жиынындағы мәндерін белгілейді, әрине . Осы жиыны функциясының мәндер жиыны деп аталады.
Егер болса, онда сюръективтік функция деп аталады. Мысалы, жиындары үшін функциясы сюръективтік болады, ал жиындары үшін дәл осы функция сюръективтік емес.
бейнелеуінде жиынының алғашқы бейнесі деп мәндері жиынында жататын жиынының элементтері жиынын айтады да, оны арқылы белгілейді.
Мысалы, функциясы үшін
жиынының кейбір элементтері функцияның мәні бола бермеуі де мүмкін, сондықтан оның кейбір жиындары үшін бос жиын болуы да немесе бір элементті болуы да мүмкін. Егер әрбір бір элементті үшін бос немесе бір элементті болса, онда функциясы инъективтік деп аталады, яғни Мысалы, сегментінде функциясы инъективтік, ал функциясы инъективтік емес, өйткені
Егер функция сюръективтік және инъективтік болса, онда ол өзара бірмәнді сәйкестік немесе биективтік функция деп аталады.
функциясы анықталған Е жиынын оның анықталу аймағы деп, ал оның жалпы элементінің символы функция аргументі немесе тәуелсіз айнымалы деп, шамасы тәуелді айнымалы деп, ал Е жиынының элементтерінде қабылдайтын функцияның барлық мәндер жиыны функцияның мәндер аймағы деп аталады.
Математиканың әртүрлі салаларында E, F жиындарының табиғатына қарай функцияны бейнелеу, түрлендіру, морфизм, оператор, функционал деп әртүрлі атайды.
Функцияны жоғарыдағы белгілеулерден басқа
түрлерінде де белгілейді.
Егер функциясы функциясының мәндер жиынында анықталған болса, онда мәндері S жиынында жататын формуласы арқылы анықталатын жаңа функциясын түзуге болады. Бұл бейнелеуін және бейнелеулерінің композициясы немесе күрделі функция деп атайды.
Бірнеше функцияның композициясын да осылай анықтауға болады және ол ассоциативтік заңдылыққа бағынған, яғни
Шынында да,
Міне бұл бірнеше сандарды көбейту және қосқандағы сияқты жақшаларды жазбауға мүмкіндік береді.
және композициялары анықталғанымен болуы да мүмкін. Мысалы, екі элементтен тұратын жиыны мен бейнелеулерін қарастырайық. Онда ал демек, .
Егер Е кез-келген, ал F нақты сандар жиыны болса, онда функциясын нақты мәнді немесе сандық функция деп атайды.
Егер және нақты мәнді функциялары Е жиынында анықталған болса, онда осы жиында ережелері бұл функциялардың сәйкес қосындысын, айырымын, көбейтіндісін және бөліндісін анықтайды әрі олар сәйкес және функцияларының қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және бөліндісі деп аталады (соңғы жағдайда ).
Егер А және В жиындарының арасында өзара бірмәнді сәйкестік бар болса, онда А және В жиындарын эквивалентті деп атайды да ~ символы арқылы белгілейді. ~ (рефлексивтігі), егер ~ болса, онда ~ (симметриялығы) және егер ~ , ~ болса, онда ~ (транзитивтігі) қасиеттері орындалады.
арқылы барлық оң бүтін сандар жиынын, яғни 1,2,…натурал қатарын, ал арқылы 1,2,… сандар жиынын белгілейік. Егер белгілі бір үшін ~ болса, онда жиыны ақырлы немесе шектеулі жиын деп, ал кері жағдайда ақырсыз немесе шектеусіз жиын деп аталады. Егер ~ болса, онда жиынын санақты немесе саналымды деп, ал егер шексіз (ақырсыз) және санақсыз болса, онда оны санақтыемес немесе саналымсыз жиын деп атайды.
Біз бұл курста аргументі де, мәні де нақты сан болатын, яғни нақты айнымалының нақты мәнді функцияларын қарастырамыз және қосымша олар туралы ештеңе айтылмаса, қысқаша ғана "функция" деп айта береміз. Нақты айнымалының нақты сандық функциясы, әдетте, жоғарыда айтқанымыздай, формуласы арқылы беріледі, яғни берілген бойынша санын анықтау қажетті амалдарды жалпы қабылданған қысқаша белгілеулер көмегімен жүргізеді. функциясының графигі деп ординатасы мен абсциссасы қатынасы арқылы байланысқан жазықтықтың нүктелер жиынын айтады, яғни функция графигі функцияның геометриялық бейнесі.
Функцияны таблицалық тәсіл арқылы да береді, яғни айнымалысының мәндер жиынына айнымалысының мәндер жиыны сәйкес қойылады ( ). Мұнда функцияның таблицалық мәндерін пайдаланып, айнымалысының әртүрлі екі мәндерінің арасындағы кез-келген мәні үшін функциясының мәнін белгілі бір формула арқылы есептеуге болады деп санайды.
Е аралығында анықталған функциясы оның анықталу аймағының кез-келген екі нүктесі үшін теңсіздігін қанағаттандырса, онда оны кемімейтінфункция деп атайды.
Егер функциясы Е анықталу аймағының кез-келген екі нүктесі үшін теңсіздігін қанағаттандырса, онда оны өспеліфункция деп атайды.
Егер функциясы Е анықталу аймағының кез-келген екі нүктесі үшін теңсіздігін қанағаттандырса, онда оны өспейтінфункция деп атайды.
Егер функциясы Е анықталу аймағының кез-келген екі нүктесі үшін теңсіздігін қанағаттандырса, онда оны кемімелі функция деп атайды.
Е анықталу аймағында кемімелі және өспелі функцияларды бірсарынды немесе монотонды функция деп атайды.
Егер функциясы инъективтік, яғни оның анықталу аймағының кез-келген екі нүктесі үшін , болса, онда кері функциясы анықталған. Егер функция өспелі немесе кемімелі болса, онда оның кері функциясы бар және сәйкес өспелі немесе кемімелі болады:
екені айқын.
Егер функцияның анықталу аймағында нүктесі мен - нүктесі жатса және болса, онда функция жұп деп, ал болса, онда функция тақ деп аталады.
Жұп функция ордината осі арқылы, ал тақ функция бас нүкте арқылы симметриялы. Функция тақ та, жұп та болмауы мүмкін, бірақ кез-келген функцияны жұп және тақ функциялардың қосындысы түрінде бейнелеуге болады:
.
Егер функциясы жиынында анықталған және белгілі бір саны үшін болса, онда функциясын периодты деп, ал ғ0 санын оның периоды деп атайды.
Егер функцияның периоды болса, онда әрбір үшін саны да оның периоды. Егер және сандарының әрқайсысы функциясының периодтары болса, онда сандары да оның периоды болады.
Егер теңдігін қанағаттандыратын ең кіші саны табылса, онда функциясын периодты деп атайды (бірақ функцияның ең кіші оң периоды болмауы да мүмкін, мысалы, ).
Достарыңызбен бөлісу: |
