15 апта, көлемі -2 сағат Дәрістің жоспары

Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

жүктеу 109,19 Kb.

бет	2/3
Дата	22.12.2023
өлшемі	109,19 Kb.
	#44871

1 2 3

15соңғы лекция

Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының дифференциалы жүйеге әсер етуші барлық сыртқы және ішкі күштердің элементарлық жұмыстарының қосындысына тең болады.

Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

Бізге материялық нүктелердің механикалық жүйесі берілсін. Егер механикалық жүйе еркін емес жүйе болса, онда байланыстардан ажырату туралы аксиоманы қолданамыз.

Сонда жүйенің әрбір нүктесіне әсер ететін актив күштермен қатар байланыстар реацияларын түсіреміз де, жүйені еркін жүйе ретінде қарастырамыз. Жүйенің нүктесіне әсер етуші барлық сыртқы күштердің теңәсерлі етушісін деп ал, ондағы ішкі күштердің тең әсерлі күшін, деп белгілейміз. Сонда массасы -ге тең бұл нүктесінің қозғалысының дифференциалдық теңдеуін мынадай түрде жаза аламыз:
. (1)
Бұл теңдеудің әрқайсысын шамасына көбейтіп, өзара қоссақ. Сонда:
. (2)
Бұл соңғы теңдеудің сол жағындағы қосынды:
. (3)
(3) теңдіктің оң жағындағы қосындылар жүйеге әсер ететін сыртқы және ішкі күштердің элементарлық жұмысының қосындыларын көрсетеді. Егер , күштерінің элементар жұмыстарына сәйкес
.
Деп белгілесек, онда (3) теңдігін қайтадан мына түрде жазған болар едік:
. (4)
(3) немесе (4) формуласы механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманың дифференциалдық түрдегі математикалық өрнегін көрсетеді.
Бұл теореман сөзбен былай айтылады: Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының дифференциалы жүйеге әсер етуші барлық сыртқы және ішкі күштердің элементарлық жұмыстарының қосындысына тең болады.
Механикалық жүйе кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы интегралдық түрде де жазуға болады. Ол үшін механикалық жүйенің орналасуының екі жағдайын-алғашқы (бастапқы) және ақырғы (соңғы) жағдайларын қарастырамыз. Жүйенің алғашқы орналасу жағдайына сәйкес кинетикалық энергиясы деп, ал оның ақырғы жағдайындағы кинетикалық энегиясын деп белгілейік. Жүйе өзінің алғашқы орналасу жағдайынан ақырғы орналасу жағдайына ауысып көшкенінде оның нүктесі жолын жүрген болсын. (3) теңдігінің екі жағынан да жүйенің осы екі орналасу аралығына сәйкес шектерде интеграл алайық:
. (5)
немесе
. (6)
Бұл теңдіктегі жүйенің нүктесіндегі сыртқы күштің сол нүктенің траектория бойымен жүрген жолындағы жұмысы. Ал ол траекторияның доғасы бойынша алынған қисық сызықты интегралға тең:
.
Осы сияқты нүктесіндегі ішкі күш жұмысы
. (7)
Сөйтіп, кинетикалық энергияның интегралдық түрдегі өрнегі (5) немесе (6) теңдігімен беріледі. Теорема бұл түрінде былай айтылыды: Механикалық жүйенің бір орналасу жағдайынан екінші бір орналасу жағдайына көшу кезінде жасаған орын ауыстыруындағы кинетикалық энергиясының өзгеруі жүйеге әсер етуші барлық сыртқы және ішкі күштерінің сол орын ауыстырудағы жұмыстарының қосындысына тең болады.
Бұл арада ескеретін бір жағдай бар. Ол-кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теореманың өрнегіне ішкі күштердің қатысатындығы. Жалпы жағдайда жүйенің ішкі күштерінің жұмысы нөлге тең болмайды. Бұдан бұрынғы жалпы теоремалар өрнектеріне ішкі күштер қатыспаған болатын. Жүйенің қозғалыс мөлшері және кинетикалық моменті өзгеріске тек сыртқы күштердің әсерлерінен ғана келетін болса, ал оның кинетикалық энергиясының өзгеруіне ішкі күштер де қатысады.

жүктеу 109,19 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3