Ax0+By0+C=0 (5)
(4)-(5)=> A(x-x0)+B( y-y0)=0 (6)
(x-x0⁄(-B))=( y-y0⁄A) (7)
Салдары1: (7) б-ша ˉb={-B,A} түзу бағ. ˉb
Салдары2: (6) ˉN{A,B}
M0ˉM={ x-x0 ; y-y0}
(ˉN, M0ˉM)=0 => ˉN ┴M0ˉM => ˉN ┴P
Ан: Ax+By+C=0 түзудің жалпы теңдеуі д.а.
ˉN={A,B} о-ң нормаль векторы д.а.
2 нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі
a= ˉM 1ˉM2 ׀׀P={x2-x1; y2-y1}
(3)=(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1) (8)
Кесінділер арқылы жазылған теңдеу
Ax+By+C=0 ; Ax+By=-C /-C
x/(-C/A)+y/(-C/B)=1 =>-C/A=a; -C/B=b
x/a+y/b=1 (9)
x=0 =>y=b
y=0 =>x=a
a,b>0
a,b<0
Бұрыштық коэффициет арқылы түзудің теңдеуі
ˉа={l,m}
(3) (x-x0⁄l)=( y-y0⁄m)
M(x-x0) /l= y-y0
m/l=tgα=k
y=k(x-x0)+y0
y=kx+( y0-kx)
y-kx=b
y=kx+b
x=0 => y=b =>(0,b)ЄP
2 түзудің өзара араласуы
P1: A1 x+B1 y+C1 =0 ˉN1={A1 ,B1}
P2: A2 x+B2 y+C2 =0 ˉN2={A2 ,B2}
P1 ∩ P2 ˉN1 ׀׀⁄ ˉN2
A1/ A2≠ B1/ B2
2) P1׀׀ P2 A1/ A2= B1/ B2≠C1 /C2
3) P1׀׀ P2 A1/ A2=B1/ B2=C1 /C2
Салдары: Параллель түзулердің теңдеулері ұқсас болады. Олардың тек бос мүшесінде ғана айырмашылығы болады.
2 түзудің арасындағы бұрыш
Cosα=(ˉN1,ˉN2)/ ׀ˉN1׀ ׀ˉN2׀
2 түзудің арасындағы бұрыш
2 нормаль арасындағы бұрыш
P1׀׀ P2 A1 x+B1 y+C1 =0 ˉN1={A1 ,B1}
P1׀׀ P2 A2 x+B2 y+C2 =0 ˉN2={A2 ,B2}
Cosα=(ˉN1,ˉN2)/ ׀ˉN1׀ ׀ˉN2=( A1 A2+ B1 B2)/(√ A12+ B12√ A22+ B22)
Cosβ=cos(180-α)=-cosα
P1: y=k1 x+b1
P2: y=k2 x+b2
k1=tgα1
k2=tgα2
tgψ = tg(α2- α1)=( tgα2- tgα1)/(1+ tgα1·tgα2)=( k2- k1)/(1+ k1·k2)
P1 ┴ P2 k2- k1=0 k2=k1
Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық
P: Ax+By+C=0
М0ЄP
d=(׀ Ax0+By0+C ׀)/ (√A2+B2)
α=(пр. ˉM 1ˉM0)=( ˉM 1ˉM0)·(cosψ)= ((ˉM 1ˉM0)· ׀ˉN׀· cosψ)/ ׀ˉN׀= ׀׀ˉM 1ˉM0,ˉN ׀ / ׀ˉN׀ =
=( A(x0-x1)+B( y0-y1))/(N)=( Ax0 +By0 +( -Ax1-By1))/(√ A2+B2)
19. Жазықтықтың теңдеулерінің түрлері. Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш.
Жазықтықтың теңдеулерінің түрлері
Жазықтықта жататын кез-келген 2 коллиниар емес вектор оның бағыттауыш векторлары деп аталады. Жазықтықтың теңдеуін жазу үшін 3 нәрсе к/к.: 1нүкте ж/е 2 бағыттауыш вектор.
жазықтық
, бағыттауыш вектор
,бағыттауыш вектор,
, параллель емес векторлар
- ағымдағы нүкте
- =
( , )- базис
;
-
= - жазықтықтың векторлық, параметрлік теңдеуі
(2) жазықтықтың координаттық, параметр-к теңдеуі.
компланар векторлар болуы қажетті және жеткілікті
( , )=0
=0 (3)
Жазықтықтың жалпы теңдеуі
Теорема: 1) Аффин координат-р жүйесінде кез-келген жазықтықтың теңдеуі кеңістікте бірнеше дәрежелі теңдеумен жазылады.
(4)
2) Кез келген (4) түрдегі теңдеу кеңістікте жазықтықты анықтайды.
Д/у: 1)дәлелдеу үшін (3) пен (4) тің байланысын табу керек.
(3) =>(4) (3)ті 1-қатар бойынша жіктейміз.
=0
=А =В =С
=> Ax+By+Cz+D=0;
2) (4)=>(3) (4) => ал (4) 1 дербес.
Шешімі => (5).
(4)-(5)= (6)
=
(7).
(6)=(7)=>(3) теорема дәлелденді.
Салдары 1. (4) түрлі теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі д.а.
Салдары 2. (6) теңдеу
(6) = ( , ) = 0;
Декарт координаттар жүйесінде (А,В,С) – жазықтықтың нормаль векторы д.а.
Үш нүкте арқылы жазылған жазықтықтың теңдеуі.
бір түзудің бойында жатпайды.
(3)
= 0 (8)
Кесінділер арқылы берілген жазықтықтың теңдеуі
(4) / -D
(9)
= a; = b; = c.
1) x=0 y=0 z=c
2) x=0 z=0 y=b
3) y=0 z=0 x=a
Екі жазықтықтың орналасуы және арасындағы бұрыш.
1 )
2)
3)
Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш –ол нормаль-р-ң арасындағы бұрыш.
Нүктелердін жазықтыққа дейінгі арақашықтығы.
Ax+By+C+D=0;
d-? (арақашықтық)
M(x,y,z)
d= = = =
20. Екінші ретті қисықтардың канондық теңдеулері. Эллипс пен гиперболаның эксцентриситеттері мен директрисалары.
Жоғары математикада екінші дәрежелі теңдеулермен анықталатын сызықтарды екінші pеттi қисықтар деп атайды. Олар негізінен шеңбер, эллипс, гипербола және парабола деп аталады. Бұл қисықтар техника мен ғылым саласында иі кездеседі.
1. Шеңбер. Шеңбердеп аталатын берілген нүктеден бірдей қашықтықта жататын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын шенбер деп атайды.
С(х0,у0) - берілген нукте. Шеңбердің бойынан кез келген
жылжымалы М(х,у) нүктесін алайык. Сонда СМ(х -х0,у-у0),
мұндағы F1 және F2 -фокус деп аталатын берілген центрі С нуктесінде жаткан радиусы R -ге тең шеңбердің канондық теңдеуі.
Егер шеңбердің центрі С координаттардың бас нүктесінде жатса, онда х0 = у0 = 0 .
Сондықтан: х2 +у2 = R2
2. Эллипс. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының қосындысы әрқашанда тұрақты шама болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын эллипс деп атайды. Анықтама бойынша F1M + F2M = 2a
нүктелер,
М{х, у) – эллипстің бойындағы кез келген жылжымалы нүкте,
2а-тұрақты шама
Егер F1F2 = 2с десек, онда F1(-C;0), F2(C;0). Сонда:
Енді осы мәндерді қойсақ:
немесе
Егер а>с болса, онда а2 —с2=b2 болады. Сондықтан эллипстің канондық теңдеуі деп аталатын теңдеуге келеміз:
Мұндағы х пен у эллипстің кез келген жылжымалы нүктесінің координаттары, а – эллипстің үлкен жарты oci, b – онын кіші жарты oci.
Осьтер эллипске симметриялы, ал симметриялы осьтердің қиылысатын нүктесі эллипстің цeнтpi болады.
қатынасын эллипстің эксцентриситеті деп атайды және оны деп белгілейді. Сонымен 6ipгe а > с болғандьқтан l < 1 немесе
Эллипстің үлкен осіне перпендикуляр түзулердің ішінде 6ip түзудің эллипстің кіші осінен қашықтықты d әрқашанда а/l қатынасына тең тұрақты шама болса, онда мұндай түзуді эллипстің директрисасы деп атайды. Директрисалардың тендеу . Эллипс үшін l < 1 болғандьқтан .
Сондықтан эллипстің директрисалары оның сыртында жатады.
Егер a=b болса, онда шеңбер эллипстің дерпбес жағдайы болады. Бұл жағдайда с=0, ендеше шеңбердің эксцентриситеті нөлге тең.
Достарыңызбен бөлісу: |
