Предикаттар логикасының формуласының ұғымы

3.4 Предикаттар логикасының формуласының ұғымы

Предикаттар логикасында келесі символдарды пайдаланамыз:

1. 
   p, q, r, … символдары – 1– ақиқат немесе 0 – жалған екі мәнді қабылдайтын айнымалы тұжырымдар;
   
2. 
   x, y, z, … – кейбір М жиынына тиісті мәндерді қабылдайтын пәндік айнымалылар;
   

3. 
   P(·), Q(·), F(·), … - бір орынды предикаттық айнымалылар;
   

P⁰(·), Q⁰(·,·, …,·) – тұрақты предикаттардың символдары.

4. 
   Логикалық амалдардың символдары:
   
5. 
   Кванторлық амалдардың символдары:
   
6. 
   Көмекші символдар: жақшалар, үтірлер.
   

1. 
   Кез келген тұжырым (қарапайым) формула болады.
   
2. 
   Егер F(·,·, …,·) – n-орынды предикатты айнымалы немесе тұрақты предикат, ал x₁, x₂,…, x_n – пәндік айнымалылар немесе пәндік тұрақтылар болса, онда F(x₁, x₂,…, x_n) – формула. Мұндай формула қарапайым деп аталады, бұл формулада пәндік айнымалылар бос, кванторлармен байланбаған болады.
   
3. 
   Егер А және В – формулалар (бұл формулаларға айнымалылар бір түрде кіреді – бос немесе байланған), онда сөздер – формулалар.
   
4. 
   Егер А – формула болса, онда да – формула, А формуладан формулаға өтуде пәндік айнымалылардың ену түрі өзгермейді.
   
5. 
   Егер А(х) – формула (бұл формулаға х пәндік айнымалы бос болып енеді), онда және сөздер де формулалар.
   
6. 
   1 – 5 бөлімдерде айтылған сөздерден басқа сөздер формула болмайды.
   

Мысалы, сөзі формула емес. Мұнда үшінші бөлімнің шарты бұзылған: формулаға х айнымалы байланған болып, ал Р(х) формулаға бос болып енеді.

Предикаттар логикасы формуласы анықтамасынан тұжырымдар алгебрасының әрбір формуласы предикаттар логикасының формуласы болатыны түсінікті.
Предикаттар логикасының формуласының мәні
Формуланың логикалық мәні жайлы бұл формулаға кіретін предикаттардың М анықталу аймағы берілгенде ғана айтуға болады. Формуланың логикалық мәні үш түрлі айнымалылардың мәндеріне тәуелді: 1) формулаға енетін айнымалы тұжырымдардың мәндеріне, 2) М жиынына тиісті бос пәндік айнымалылардың мәндеріне, 3) предикатты айнымалылардың мәндеріне.

Осы үш түрлі айнымалылардың анық мәндерінде предикаттар логикасының формуласы ақиқат немесе жалған мән қабылдайтын тұжырым болады.

Мысал ретінде келесі формуланы қарастырамыз:

, (1)

Бұл формулада екі орынды Р(x, y) предикаты MM жиынында анықталған, мұнда M={0,1,2,…,n,…}, яғни MM=NN.

В формулу (1) формулаға кіретін P(x,y) айнымалы предикаттың үш x,y,z пәндік айнымалыларынан екеуі – у және z кванторлармен байланған, ал үшіншісі х – бос.

P(x,y) предикаттың мәнін бекітеміз: P⁰(x,y)= «x0=5 мәнінен кіші мәндерінде P⁰(x⁰,y) предикаты “жалған” мәнін, ал импликация барлық үшін “ақиқат” мәнін қабылдайды, яғни тұжырымы ақиқат.