5-Дәріс тақырыбы. Математикалық логика элементтері (2-сағ)
Дәріс конспектісі.
Математикалық логика жоғары математиканың бір (бөлімі) саласы болып табылады. Математикалық логиканың заңдары мен әдістері арқылы түрлі процестерге, жүйелерге, қүбылыстарға зерттеулер жүргізуге болады. Математикалық логиканың негізгі обьектілерінің бірі түжырымдар.
1.Тұжырымдар мен тұжырымдар формасы.
Анықтама.Тұжырымдар деп деп ақиқаттығы немесе жалғандығы туралы айтуға болатын хабарлы сөйлемді айтамыз. Бүкіл ғылыми білімдер (физика, химия, биологияның заңдары мен құбылыстары, математика т.б) күнделікті өмірде болып жатқан оқиғалар, экономика мен басқару процесінде туындайтын түрлі ситуациялар тұжырымдар түрінде формальданады.
Сұраулы, лепті не болмаса мағнасыз сөйлемдер тұжырым бола алмайды. Тұжырымдарға мысалдар: «2 жерде 2-төрт» , «Біз 20 –шы ғасырда өмір сүріп жатырмыз», «Қосылғыштардың орны ауысқаннан қосынды өзгермейді» , «Астана- Қазақстаның астанасы», «Теңге-Қазақстан валютасы» , «Бүгін сейсенбі», «Егер жаңбыр жауып тұрса қол шатыр алыңыз» т.б тұжырымдар. «Математика- қызықты пән немесе қуырдақ дәмді тамақ» деген сөйлемдер де тұжырым емес, себебі бірдей пікір жоқ. «Бөлменің ауданы 20 м2», «Қар жауып тұр»,«а2=4» деген сөйлемдер түжырым емес , 1- сөйлемде нақтылы қандай бөлме екендігі көрсетілуі керек, екінші сөйлемде қайда қар жауып тұрғанын көрсететін қосымша сөз керек, үшінші сөйлем а=  (а-тұжырымдылық айнымалысы ) болғандықтан тұжырым бола алмайды. Бұл сөйлемдермен амалдар орындау үшін олардың әрқайысысының ақиқаттық мәнін білу керек.
Анықтама Құрамына ең болмаса бір айнымалы бар және айнымалылардың орнына мәндерін қойғанда тұжырымға айналатын сөйлем тұжырымдылық форма деп аталады.
Мысалы, Сан 7-ге бөлінеді ; 3х<2; Ол қара торы; Сан,х ол сөздерінің орнына белгілі бір мәндер қойылса , сөйлем тұжырымға айналады.
Т ұжырымдар логикасының негізгі логикалық байланыстырушылары.
Табиғи қарапайым сөйлемдерден құрмалас сөйлемдер құру үшін “ және “, “ немесе “, “егер … онда “, “ сонда … тек сонда ғана “ сияқты шылаулар қолданылатындығы белгілі. Тұжырымдартеориясында да элементар тұжырымдардан күрделі тұжырымдар құрастыруға болады. Айталық P,Q логикалық тұжырымдар болсын. Оларға кестедегідей логикалық байланыстар қолданылады: Логикалық байланыстырушылар арқылы құрылған құрама тұжырымдардың ақиқат не жалғандығы , оның құрамына кіретін қарапайым тұжырымдардың ақиқаттық мәндерімен анықталады.
Тұжырымдарға қолданылатын амалдар
1.Анықтама. Терістеу (инверциясы) А- ның инверсиясы деп А жалған болса мәні ақиқат, ақиқат болса жалған болатын тұжырымды айтады.  болып белгіленеді, А емес , А деген дүрыс емес болып оқылады Мысалы,
1. «3-2 ге тең» тұжырымын А десек, «3-2 ге тең емес» тұжырымын - дейміз.
|
|
2. Кез келген шеңберге іштей үшбүрыш сызуға болады легенді -А десек,кез келген шеңберге іштей үшбүрыш сызуға болады деу дұрыс емес-.
Конъюнкция мен дизъюнкция.Айталық, А мен В кез-келген тұжырымдар болсын. Тұжырымның ақиқат белгісін а әрпімен, жалған белгісін ж әрпімен белгілейік.
2.Анықтама А мен В тұжырымдарының коньюнкциясы деп (логикалық көбейтінді немесе «және» операциясы) А мен В екеуі де ақиқат болса мәні ақиқат, әйтпесе (екеуі де жалған болса )жалған болатын тұжырымды айтамыз.
|
|
Конъюнкция  ,& белгілерімен белгіленеді. А & В; А В; А В.
3.Анықтама А мен В дизъюнкциясы деп мәні А мен В тұжырымының екеуі де жалған болғанда
мәні жалған, ал қалған жағдайларда ақиқат болатын тұжырымды айтамыз. Дизъюнкция  белгісімен белгіленеді. А В; А немесе В – болып оқылады. Сонымен «және», «немесе» логикалық байланыстырушылар арқылы байланысқан тұжырымдар құрама тұжырым дар болады. «Және», «немесе» логикалық байланыстырушылар арқылы жаңа құрама тұжырымдар алуды
|
|
логикалық операция дейміз. Арифметикалық операцияларда операция және оның нәтижелері әртүрлі аталады: қосылғыш, қосынды,көбейтінді. А логикалық операцияларда операнд пен нәтиже бірдей аталады.Сонымен конъюнкция мен дизъюнкция анықтамасын құрама тұжырымның қайсысына болса да қолдануға болады.
N тұжырымның конъюнкциясы деп  түріндегі сөйлем құрамындағы барлық тұжырымдар ақиқат болғанда ғана ақиқат болатын сөйлемді айтамыз.
N тұжырымның дизъюнкциясы деп  түріндегі сөйлем құрамындағы барлық тұжырымдар жалған болған сөйлемді айтамыз.
Импликация және эквиваленция
4.Анықтама Импликация (логика). Екі А мен В тұжырымдарының импликациясы деп А – ақиқат , В жалған болғанда мәні жалған, ал қалған жағдайда ақиқат болатын тұжырымды
|
айтамыз.Операция  (Егер… онда) белгімен белгіленеді. А В, А  В ( егер А болса, онда В) (А дан В) болып оқылады.Мұнда А – тұжырымының алғы шарты деп ал В қорытындысы деп аталады.
5.Анықтама. Эквиваленция А мен В түжырымының ақиқаттық мәндері
|
|
|
|
бірдей болғанда, мәндері ақиқат, әр түрлі болғанда (А,В) жалған болатын тұжырым эквивалентті тұжырым деп аталады. Белгілеулері: А В; А В; А В; А эквивалентті В-ға ; Егер тек В болғанда А ; А мен В бір мәнді, А мен В сонда ғана ақиқат, егер А,В түжырымдары ның екеуі де не ақиқат, не жалған болса. болып оқылады.
|
|
|
6.Анықтама. 2-нің модулі бойынша қосу. Бір мәнді емес тұжырым. («немесе»-ні терістеу,антиэквиваленция, 2 –ң модулі бойынша қосу). А- мен В- ң ақиқаттық мәндері бірдей болмаса мәні ақиқат, керісінше бірдей болса жалған болатын тұжырым бір мәнді емес тұжырым деп аталады. А  В, А В,А В болып белгіленеді ( не А, не В болып оқылады).
|
|
Шеффер штрихы және Пирс стрелкасы
7.Анықтама А ВШеффер штрихы деп аталады  (антиконъюнкция).
|
|
8. Анықтама. А В – Пирс стрелкасы (антидизъюнкция)  
|
|
Логика алгебрасы.
Логика алгебрасы математикалық логиканың бір бөлімі. Логика алгебрасында күрделі логикалық тұжырымдардың (логикалық формулалардың) құрылымы және алгебралық әдістердің көмегімен олардың ақиқаттығын анықтау әдістері қарастырылады.
Бұл бөлімде негізінен логика алгебралық формулаларын қарастыратын боламыз.
Формулалар әріптерден, логикалық операциядан және жақшадан тұрады. Әріптер тек “ақиқат”, “жалған “ деген екі мәннің бірін ғана қабылдай алатын логикалық айнымалылар. Операция белгілері логикалық амалдарды белгілейді. Әр формула логикалық функцияны береді, ал функция өз кезегінде 2 мәннің бірін қабылдайды (0,1). Логика алгебрасы дегеніміз өзінің барлық мүмкін операцияларымен бірге қарастырылатын {0,1} жиынынан құралған алгебра.
Тұжырымдар логикасының тілі Айталық Х,У және Z орындарына кез – келген тұжырымды қоюға болатын айнымалылар болсын. Мұндай айнымалылар тұжырымдылық айнымалылары деп аталады. Тұжырымдылық айнымалылар мен логикалық операциялар символдарының көмегімен кез – келген тұжырымды формальдандыруға, яғни формуламен алмастыруға болады.
Мысалы, мына тұжырымды егер 100 2-ге және 5ке бөлінсе, онда 100 10ға бөлінеді деген тұжырым берілсін: Х : 100 2-ге бөлінеді; У : 100 5-ке бөлінеді; Z : 100 10-ға бөлінеді
Бұл тұжырымды ( ХУ)Z формуласы арқылы кескіндеуге болады.
Енді тұжырымдар логикасының формуласы ұғымын ттолықтырайық. Ол үшін тұжырымдар логикасында қолданылатын алфавит ұғымын енгізейік.
X,Y,Z, x ,y,z (і- натурал сан) (x ,x ,…,x ) тұжырымдылық айнымалылары;
а,ж – ақиқат, жалған логикалық тұрақтларды белгілейтін символдар;
 - логикалық операциялар символдары;
( , ) - логикасы операциясының ажыратушы;
Достарыңызбен бөлісу: |
