Жиындарға қолданылатын операциялардың қасиеттері
Айталық U универсумы берілсін. Олай болса А,В,С U төмендегідей қасиеттер орындалады:
, операцияларының ассоциативтігі
A(BC)=(AB)C
A(BC)=(AB)C
2.,операцияларының коммутативтігі
AB=BA;
AB=BA
3. Дистрибутивті заң (үлестіру заңы)
A(BC)=(AB)(AC)
A(BC)=(AB)(AC)
4. Идемпотенттік заң
AA=A; AA=A
5. Жұтылу заңы
A(AB)=A; A(AB)=A
6. Де Морган заңы
 =  
 =  
7. Нөл мен бір заңы, айталық 0⇆, 1⇆U онда
А=A; A=;
A1=1; A1=A;
A  =1; A =
8. Қос терістеу заңы (инволютивность)
 
9. Толықтыру заңы.
  ;  
Жиындарға қолданылатын операциялардың қасиеттерінің дұрыстығына бірнеше тәсілдермен көз жеткізуге болады:
Нақтылы жиындар мен амалдарды орындау арқылы (екі жағынан бірдей нәтиже шығады) ;
Венн диаграммасын сызу арқылы;
Амалдардың анықтамасын пайдалану арқылы.
операциясының ассоциативтігін дәлелдейік:
Дәлелдеуі: Ассоциативті заңды дәлелдеу A (BC) = (AB)C (Теру заңы) ;    болсын.
1-тәсіл. Амалдарды орындайық.  ;Сол жағы :  Оң жағы:  Демек жиындар тең.
2-тәсіл. Диаграммасын салайық:
Диаграммаларының бірдейлігінен жиындар тең деген қорытындыға келеміз.
3-тәсіл. а) 
 ; Бұдан  Енді екінші жағынан,
б) 
 демек,  ; Яғни, A(BC)=(AB)C
1.3 Жабу және бөліктеу
Айталық, {Ai | iI} А жиынының бос емес ішкі жиындары болсын. Ai A
Анықтама Егер A =  болса, яғни А жиынының әр элементі А і жиындарының ең болмаса біреуіне кірсе, онда бос емес {A i | iI} жиыны А жиынының жабуы деп, ал егер ij болғанда A i A j = болса, жабу бөліктеу деп аталады ( I , jI ij = A i A j = ). Басқа сөзбен айтқанда А жиынының бос емес {A i | iI} ішкі жиындары қиылыспаса яғни А-ның әр элементі бос емес А і жиындарының тек біреуіне ғана кіретін болса, онда {A i | iI} жиыны А жиынының бөліктеуі деп аталады. Мысалы, А={1,2,3} болса, онда {{1,2},{2,3},{3,1}} – А жиынын жабады, ал {{1},{2},{3}} – А жиынының бөліктеуі болады.
Жиындардың Декарт көбейтіндісі
х 1...х n n элементтен тұратын реттелген тізбекті (x 1,x 2,…,x n) немесе 1,x2,…,xn> деп белгілеуге болады.Мұндағы дөңгелек, бұрышты жақшалар элементтердің жазылу ретін көрсету үшін ғана қолданылады. Мұндай нөмірлерінің ретіне қарай орналасқан тізбек ұзындығы реттелген тізбек немесе ұзындығы n болатын кортеж деп аталады.  -элемент 1,x2,…,xn> кортежінің і- координатасы деп аталады.
Мысалдар
{a,b,c} және {1,2} жиындарынан ұзындығы 2-ге тең 6 кортеж құруға болады:
(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)
2. Кез-келген әріптерден құралған сөз кортеж, натурал сандардың ондық жүйедегі жазылуы цифрлардан тұратын кортеж т. б.
Кез-келген координаттары әртүрлі реттелген ақырлы жиын кортеж.Ұзындығы 2-ге тең кортеждер реттелген жұптар, ұзындығы 3-ке тең кортеждер реттелген үштіктер, ұзындығы n-ге реттелген n-діктер деп аталады. Жиындар екі элементпен алу амалының көмегімен төмендегі ережеге сәйкес кодталады.
< > ⇋, 1> ⇋x1, 1, x2> ⇌ {{x1},{x1,x2}}, 1,…,xn> ⇌ < 1,x2,…,xn> , xn+1 >
Анықтама Екі кортеж ұзындықтары бірдей, әрі бірдей нөмірлі координаттары тең болса ғана тең болады. Яғни x=(x1,x2,…,xn) , y=(y1,y2,…,yn) кортеждері x1=y1; x2=y2,…xn=yn болғанда ғана тең болады ( x=y ). Мысалы (12, 22 , 32 ) және (   ) кортеждері тең. (1,2,3) және (3,1,2) әртүрлі ; (1,2,3) және (1,2,3,4) әртүрлі; (1,2)(2,1) ал {1,2} және {2,1} жиындары тең. Кортеждердің координаттары жиын, кортеж т. б. болуы мүмкін. Мысалы, ({a,b},c) = ({b,a},c) себебі {a,b}={b,a}, ал ( (a,b ), c ) және ( (b,a), c ) кортеждері тең емес, себебі (a,b)(b,a). Бір де бір координаты жоқ кортеж (ұзындығы 0) бос кортеж деп аталады.
Сонымен жиын мен кортеж ұғымдарының айырмашылығы:
а) жиындардың элементтерінің орны, реті бәрі бір, ал кортеждерде элементтерінің ұзындығы бірдей болып элементтерінің реті басқаша болса тең емес (құрамы бірдей болса да);
б) жиында элементтер әртүрлі, кортежде бірдей бола береді.
Анықтама. А және В жиындарының тура( декарт) көбейтіндісі деп элементтері реттелген (х ,у) жұбынан тұратын жиынды айтамыз.Мұндағы, хА, ал уВ. Декарт көбейтіндісі әр түрлі жиын элементтерінен құралады, А В болып белгіленеді: А В = {(х ,у) | хА және уВ}.
 жиындары үшін Декарт көбейтіндісі?
 =  =  болады.
Егер A1=A2=…=An=A болса, онда A1хA2х,…,хAn жиыны А жиынының n-ші Декарт дәрежесі деп аталады және Аn болып белгіленеді. Анықтама бойынша A0⇌{}
Мысалдар:
1.A={1,2}, B={3,4} берілсін. AхB={ (1,3),(1,4),(2,3),(2,4) }; BхA={ (3,1),(3,2),(4,1),(4,2) };
AхA={ (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) }; Бұл мысалдардан AхBBхA.
2. (Шахмат тақтасы).
A={a,b,c,d,e,f,g,h}; B={1,2,3,4,5,6,7,8} жиындары берілсін. Олай болса әр (х,у) жұбына x,yAхB шахмат тақтасының торлар жиыны сәйкес келеді.
3. [0,1]2 жиыны { (a,b) | 0 a 1, 0 b 1 } ;Бұл жиынға жазықтықтың 1-ден аспайтын теріс емес координаттары бар нүктелер жиыны сәйкес келеді.
4. A={a,b,c}; B={1,2}; AхB={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}; BхA={(1,a),(2,a),(1,b),(2,b),(1,c),(2,c)}; AхB BхA
5. А={1,2,3}; АхА={ (1,1), (1,2), (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1 ) , (3,2) , (3,3) }; 6. ;  ;  - жиындарының Декарт көбейтіндісін табайық.Декарт көбейтіндісінің элементтері әр түрлі жиын элементтерінен алынған жұптардан тұратындығы белгілі.
Оларды кестеге орналастырайық: Бұл кестеде m жол, n бағаннан тұратын элементтер жұбын көреміз.  - саны х-элементтерінің жиыны мен ү элементтерінің жиындарының көбейтіндісіне тең.  (1)
Бұл жиындарды көбейту ережесі. Егер декарт көбейткіштері n жиыннан тұрса, онда (1) төмендегідей жалпылауға болады:
 (2)A х B х C; (A х B) х C; A х (B х C) жиындары да әр түрлі. A х B х C- (a,b,c); (A х B) х C-
( (a,b) , c ) aA, bB, cC; A х (B х C)=(a, (b,c) ); Егер А,В жиындарының бірі бос болса, олардың Декарт көбейтіндісі де бос деп есептеледі. A х = х A = х = ;
Мысал, А={a1,a2,a3}, B={b1,b2,b3} ;   ;
Негізгі әдебиет: 1[5-9]; 2[10-16]
Қосымша әдебиет: 7[9-34]
Бақылау сұрақтары:
Қандай жиынды ішкі жиын деп атайды?
Қандай жиындар тең болады?
Жиындармен орындалатын негізгі операцияларды қандай?
Бірігу,қиылысу,толықтыру операцияларының негізгі қасиеттерін атаңыз.
5. Жиындарды өрнектеудің қандай әдістері бар?
Достарыңызбен бөлісу: |
