-Дәріс. Сәйкестік және оның қасиеттері Функциялар мен бейнелеулер (2 сағ)

2-Дәріс. Сәйкестік және оның қасиеттері Функциялар мен бейнелеулер (2 сағ)

G  AхB Егер (a,b)G болса,G сәйкестігінде b a-ға сәйкес деп айтады. _G={a|(a,b)G} G сәйкестігінің анықталу облысы, ал _G={b|(a,b)G} мәндер жиыны деп аталады.

Анықтама

Егер А мен В жиындарының арасында өзара бір мәнді сәйкестік болса, онда олардың қуаттары тең және олар тең қуатты жиындар |A|=|B| деп аталады.Бұл фактілер жиынды санамай-ақ,олардың тең қуаттылығын анықтауға болатындығын көрсетеді. Қуаты белгілі немесе оңай санауға болатын басқа жиынмен өзара бір мәнділігін дәлелдеу арқылы жиын элементтерін санамай-ақ оның қуатын анықтауға болады. N натурал сандар жиыны мен тең қуатты жиындар саналымды жиын деп аталады.

R нақты сандар жиынымен тең қуатты сандар континуальды деп аталады.

1- мысал. Айталық , G (x-3)²+(y-2)²≤1 қатынасын қанағат тандыратын барлық (х,у) нақты санды сандар жиыны болсын. G={(x,y)|x,y үшін (x-3)²+(y-2)²≤1} сәйкестігінің графикалық кескіні центрі (3,2) нүктесінде болатын ,радиусы 1-ге тең дөңгелек. Бұл 3.2 суреттегідей G дөңгелегі R мен R арасындағы сәйкестік ( яғни ОХ өсі мен ОУ өстерінің арасындағы сәйкестік).

а) 2, 3, 4 сандарының образы мен прообраздарын табу керек.

Шешуі: 2  _G G сәйкестігіндегі образы жалғыз ғана 2_G , 3-ң G сәйкестігіндегі образы [1,3] кесіндісіндегі барлық нақты сандар жиыны , 4-ң образы 2. G сәйкестігінің мәндер жиыны _G алын ған (2_G ) 2 санының G сәйкестігіндегі прообразы [2,4]_G ; 3_G G сәйкестігіндегі прообразы 3_G. 4_G – G сәйкестігінде прообраздары жоқ

б) 1) [2,3] _G сандарының образы осы [2,4] кесіндідегі барлық образдарының бірігуі, яғни [1,3]_G;

2) Осыған ұқсас [2,4] кесіндісінің G сәйкестігіндегі образы [1,3];

3) [2,3] кесіндісінің прообразы [2,4] ; [2,4]_G прообразы [2,4];

Егер G сәйкестігі нақты сандар жиынында анықталған десек, яғни GRхR онда

1) G – толық анықталмаған себебі ,_GR (_GR)

2) Сюръективті емес себебі , _GR (_GR)

3) Функционалды (бір мәнді) емес, себебі [2,4]=_G үшін (2 мен 4-тен басқа) образдар жалғыз емес.

4) Өзара бір мәнді болудың қажетті шарттары (1,2,3 шарттар) орындалмағандықтан сәйкестік өзара бір мәнді емес.

Шешуі: Егер G нақты сандар жиынында берілген сәйкестік (GRхR ) болса,онда:

1) G толық анықталмаған сәйкестік, себебі _G =[2,∞)R;

2) Сюръективті емес, себебі анықталу облысы _G =R₊=[0,∞] нөлмен қоса алғанда барлық нақты сандар жиыны.

3) Функционалды, себебі  x_G, _G – анықталу облысынан алынған

әрбір х-ке бір ғана y_G сәйкес (х-ң бір ғана образы бар).4) Өзара бір мәнді емес, себебі толық анықталмаған және сюръективті емес.

• 
  сюръективті , себебі анықталу облысы G = R₊;
  
• 
  функциональды;
  
• 
  Өзара бір мәнді емес, себебі толық анықталмаған .
  

• 
  в толық анықталған;
  
• 
  сюръективті;
  
• 
  функциональды;
  
• 
  Өзара бір мәнді ,себебі алдыңғы аталған қасиеттерге қоса, анықталу облысынан алынған кез –келген yG үшін бір ғана прообраз бар.
  

f және g функциялары тең болады, егер төмендегі шарттар орындалса:

• 
  Олардың анықталу облыстары біреу -ол Ажиыны;
  
• 
  Кез-келген а  A үшін f(a) = g (a).
  

Кері сәйкестікте образ бен прообраздың орындары ауысып келетіндіктен f функциясына кері функция болу үшін f : AB f функциясының мәндер жиынының әрбір b _f элементінің жалғыз ғана образы болу керек. Бұдан f : AB функциясы өзінің анықталу облысы мен мәндер облысының өзара бір мәнді сәйкестігі болса ғана оған кері функция болатындығы көрінеді.

Егер h(x) = g(f(x)), мұндағы, хА.орындалса h: А ® С функциясы f және g функцияларының композициясы деп аталады және f(g) белгіленеді.

Көбіне h функциясы f ті g –ң орнына қойғаннан алынды деп айтады.Көп орынды f: А^т ® В, g: Вⁿ® С функциясы үшін f ті g –ға қоюдың әртүрлі варианттары бар. Нәтижесінде әртүрлі типтегі функциялар алынады. Мысалы, т = 3 және п = 4 үшін h = g (x₁, f(у₁,у₂, у₃), х₃, х₄) функциясында 6 аргумент бар ал оның типі В ´ А³ ´ В2 ® С. Аргументтерін басқаша атап f1,...,fn функцияларын бір-біріне қойғаннан алынған функция f1,...,fn функцияларының суперпозициясы деп аталады. Бұл суперпозицияны және функционалдық белгі мен аргументтердің символдарын сипаттайтын өрнек формула деп аталады.

• 
  График түрінде;
  
• 
  Кесте;
  
• 
  Функцияны басқа функциялардың суперпозициясы түрінде сипаттайтын формула түрінде;
  

Қосымша әдебиет: 7[9-34]

Бақылау сұрақтары:

1. 
   Сәйкестік,бейнелеу,функциональды бейнелеу дегеніміз не?
   
2. 
   Қандай бейнелеулер инъективті, сюръективті, биективті деп аталады?
   
3. 
   Кері функция бар болудың қажетті және жеткілікті шарты?