1 пєнініњ ОЌу программасы syllabus


-Дәріс тақырыбы. Графтар саны. Ағаштар (2 сағ)



жүктеу 19,56 Mb.
бет26/34
Дата31.05.2018
өлшемі19,56 Mb.
#18555
1   ...   22   23   24   25   26   27   28   29   ...   34

12-Дәріс тақырыбы. Графтар саны. Ағаштар (2 сағ)


Дәріс тақырыбы:

Цикломатикалық сан. Бағытталмаған G(V, E) графы берілсін. υ(G) =m-n+p, Мұндағы m –граф қабырғаларының саны; n – граф төбелерінің саны; p – байланысты компоненттер саны G(V, E) графының цикломатикалық саны деп аталады. Цикломатикалық санының физикалық мағынасы бар: ол графтың тәуелсіз циклдарының санына тең. Электр шынжырларын есептеген кезде цикломатикалық сан тәуелсіз контурлар санын есептеуге қолданылады.

1 Теорема.Егер G1 графы G графының суграфы болса, онда υ(G1)≤ υ(G).

2 Теорема.Байланысты графта цикл болмауы үшін υ(G)= 0 қажетті және жеткілікті.

3 Теорема.Егер G графтың екі байланысты G1және G2 компоненттері бар болса, онда υ(G) = υ(G1) + υ(G2).

4 Теорема.Графта цикл болмауы үшін υ(G)= 0 қажетті және жеткілікті.

Айталық, G(V, E) бағытталмаған граф. G графының S1, S2, …,Sk циклдар жүйесі сызықты тәуелді деп аталады, егер қандай да бір i1, i2, …,ir (1≤ i1 ≤ i2 ≤…≤ ir ≤ k) Si1 ∆ Si2 ∆ …∆ Sik ноль граф болса. Керісінше болса S1, S2, …,Sk циклдары сызықты тәуелсіз циклдар деп аталады. Сызықты-тәуелсіз циклдардың ең көп саны G графындағы тәуелсіз циклдар саны деп аталады.

5Теорема. Графтың цикломатикалық саны оның тәуелсіз циклдарының санына тең.

Хроматикалық сан. Әр төбесіне қандай да бір бояу сәйкестендірілген және сыбайлас төбелер әртүрлі бояулармен боялған граф деп аталады. G графын дұрыс бояуға қажетті бояулардың саны оның хроматикалық саны деп аталады және χ (G) болып белгіленеді.

6 Теорема.G графы ноль-граф болса ғана бір хроматикалы граф болады.

7 Теорема (Кениг теоремасы). Граф бихроматикалы болуы үшін онда тақ ұзындықты қарапайым цикл болмауы қажетті және жеткілікті.

Ағаштар, ағаштардың негізгі қасиеттері.Шексіз бағытталмаған байланысты граф ағаш деп, ал циклсыз байланыссыз граф орман деп аталады. Анықтама бола алатындай G ағашының кейбір қасиеттерін қарастырамыз:

а) G байланысты және циклы жоқ;

б) G циклы жоқ және n-1 қабырғасы бар;

в) G байланысты және n-1 қабырғасы бар;

г) G графында цикл жоқ, бірақ сыбайлас емес төбелер арасында қабырға қосу тек бір ғана циклдың пайда болуына әкеледі;

д) G байланысты, бірақ бұл қасиетін кез келген қабырға алынып тасталса жоғалтады;

е) G графының кез келген төбелер жұбы тек бір ғана шынжырмен байланысқан.

Граф қаңқасы.



8 Теорема.Граф байланысты болса ғана орман болатын суграф болады.

Орман болатын G суграфы қаңқалы ағаш немесе G суграфының қаңқасы деп аталады.

Ең аз қосылу туралы есеп.(Ең аз салмақты қаңқалы ағаш құру.)

Жол тұрғызу есебі түрінде өрнектеуге болатын мына есептің практикалық мағынасы үлкен. Жолдар желісімен қосылуы қажет бірнеше қалалар болсын. Әр екі қаланы қосатын жолдың бағасы белгілі. Мүмкін болатын жолдар желісінің ең арзанын салу қажет болсын. (Жолдардың орнына электр желісін, мұнай құбыры желісі, т.б. алуға болады.



Ең арзан жолдар желісін кескіндейтін граф әрқашан ағаш болады. Себебі, егер цикл бар болса, циклдың бір қабырғасын алып тастауға болар еді, ал төбелер қосылған болып қала берер еді. Есептің математикалық қойылуы. Айталық, бағытталмаған G(V, E) , | V |=n, графының әр қабырғасына осы қабырғаның салмағы болып саналатын қандай да бір μ(e) нақты сан бекітілген болсын. G графында салмағы ең аз, ең кіші қосылу, яғни G графының Т қаңқасын салу керек болсын.

μ(T)=.

Краскал алгоритмін қарастырайық (ең аз салмақты қаңқалы ағаш сызу).

Сызу жұмысын салмағы μ(e1 ) ең аз e1 қабырғасын таңдаудан басталады. Егер мұндай қабырғалар бірнешеу болса, олардың кез келгенін алуға болады. Таңдалған қабырғаға E\{e1} алынған ең аз салмақты е2 қабырғасы е3 ретінде цикл құрмайтын E\{e1,е2} деп алынған ең аз салмақты E\{e1, е2, e3} таңдалады. Қабырға таңдау процесі кез келген қабырға қосу цикл пайда болуына әкеліп соққанға дейін жүргізіледі. Осы граф ең аз салмақты қаңқалы ағаш болып саналады.

Негізгі әдебиет: 1 [161-180]; 2[108-114] .

Қосымша әдебиет: 7[88-130] .

Бақылау сұрақтары:

1.Қандай графтар ағаштар деп аталады?

2.Графтың цикломатикалық санын қандай формуламен есептеуге болады?

3.Графтың хроматикалық саны деп нені айтады?

4.Граф каркасы деген не?



5.Ағаштардың негізгі қасиеттерін атаңыз?

13-Дәріс тақырыбы. Графтардағы маршруттар( 2 сағат)


Егер графтың кез келген 2 төбесін қосатын маршрут бар болса, граф байланысты (мықты байланысты) деп аталады,ондай маршрут болмаса ол байланыспаған граф болады.

Маршруттар Айталық G= Н-граф болсын. Мұндағы a1, a2, … , an+1M

U1 U2, … , UnR

Анықтама: Егер Ui=(ai, ai+1), i=1, 2, …, n (екі көрші төбені қосатын қабырға ) болса



a1, U1, a2, U2, a3, …, Un , an+1 (*) маршрут деп аталады. а1-төбесі маршруттың басы, аn+1-соңы болады. (*) Маршрутты төбелердің тізбегі арқылы беруге болады.Маршрут доғаларының саны оның ұзындығы деп аталады. Айталық, G н-граф болсын. Егер (*) маршрутта қабырғалар [a1a2],…, [anan+1] әртүрлі болса, яғни әр қабырға бірден артық кездеспесе, маршрут шынжыр деп аталады, ал графтың кез келген төбесі 2-ден артық емес қабырғаға инцидентті болса (төбелер әртүрлі ), онда маршрут қарапайым шынжыр деп аталады.

Анықтама. Егер a1=an+1 болса (*) маршруты циклды деп аталады (басы мен соңы бірдей маршрут).

Анықтама. Циклы бар маршрут шынжыр болса цикл деп аталады, ал маршрут қарапайым шынжыр болса қарапайым цикл деп аталады.

Анықтама. Бағытталмаған циклсыз граф ациклды граф деп аталады. Бағытталмаған графтың циклдарының ұзындықтарының ең кішісі құлаш деп аталады (обхват).

Бұл графта (1,2),(1,2,4,7),(3,4,5,6)-қарапайым шынжыр.(1,2,4,7,8,4) -қарапайым емес шынжыр(4-екі рет). (1, 2, 4, 7, 8, 4, 2) – шынжыр емес маршрут; (1, 2, 4, 7, 8, 4, 1) – қрапайым емес цикл;

(1, 2, 4, 1) – қарапайым цикл; Графтың құлашы 3-ке тең. Айталық граф бағытталған болсын. Егер (*) маршруттарындағы доғалар әртүрлі болса, маршрут жол деп аталады.Егер a1=an+1 болса маршрут контур деп аталады. Контур жоқ графтар контурсыз граф деп аталады.





Маршруттың (жолдың) қабырғаларынаң (доғаларының)саны оның ұзындығы деп аталады.

Анықтама. Егер (a, b) жолы бар болса, онда b төбесі а дан жекізетін (достижымый) төбе деп аталады.

Мысал:

  1. Контур бар (1,2,3).

  2. 5-төбеге басқа кез-келген төбеден жетуге болады, ал 5-тен ешқандай басқа төбе жеткізбейді.



Графтың байланыс компоненттері.

Анықтама. Бірдей емес екі төбесі

(,) G маршрутпен қосылған (-басы, -соңы) бағытталмаған G графы байланысты граф деп аталады.

Анықтама: Егер бағытталмаған G графының әртүрлі а,в төбелері үшін (а,в) және



(в,а)маршруттары бар болса,онда G мықты байланысқан граф деп аталады.Мұндай ұғымды мультиграф үшін де енгізуге болады.Мысалдар:


Байланысты граф

Байланысты граф, бірақ мықты байланыс емес.



Байланысты емес граф


Кез келген байланысты бағытталмаған графтар мықты байланысқан граф екендігін байқауға болады.

Маршрутпен байланысты төбелер қарапайым шынжыр мен де байланысқан болады.

Байланыстылық қатынастың эквиваленттік қасиеті бар және ол граф төбелерін өзара қиылыспайтын Vi, i=1, 2, …, k ішкі жиындарға бөлінуін анықтайды. Сондықтан барлық ішкі графтар G(Vi) байланысқан және олар графтың байланыс компоненттері деп аталады..Бағытталған G графы доғалардың бағыты ескерілмесе байланысқан делінеді, ал егер кез келген V1 төбесінен V11 төбесіне жол болса мықты байланысқан болады.

Мысалы, мына суреттегі графта екі {1, 2, 3, 4} және {5, 6, 7} байланыс компонент тері бар. Ал мына төмендегі суреттегі бағытталған графта




{1,2,3},{4}және {5} төбелерімен берілген 3 мықты компоненттері бар. Теорема Кез келген графты қиылыспайтын байланыс компоненттерінің бірігуімен өрнектеуге болады. Графтың байланыс компоненттеріне жіктелуі бір мәнді анықталады. G=Ui G(Vi)




Сонымен, төбелердің байланысты компоненттері мен мықты компоненттер жиыны төбелер жиындарын бөлшектейді, ал байл. компоненттерінің саны бір мәнді анықталады.

Келесі теорема сыбайлас AG матрицасы бойынша G графының маршруттарын зерттеуге мүмкіндік береді.



Теорема егер AG - G графыың іргелестік матрицасы болса, онда матрицасының (i,j)-ші элементі ұзындығы к-ға тең (аi,j) - маршруттарының санын анықтайды.

Салдар. AG++…+ матрицасының (i,j) -ші элементі 0-ге тең болмаса ғана n қуатты G графында ai төбесі ішінде болатын (ai,aj) - маршрут (ai≠aj) бар. Мысалы.

Сыбайлас AG матрицаның көмегімен G графында (1,3) маршрутының бар екендігін анықтаймыз.





(1,3)- элемент 0-ге тең, демек ұзындығы 1-ге тең маршрут жоқ







(1,3)- элемент тағыда 0-ге тең. Ұзындығы 2-ге тең (1,3)- маршруты жоқ

Ұзындығы 3-ге тең (1,3)- маршруттың



саны 1-ге тең




Графтың суретінен бұл маршрут (1, 4, 2, 3) төбелерімен анықталады. Бұл тізбекті іргелестік матрицаны көбейту арқылы алуға болады: матр-ң (1, 3) элементі матр-ң (1, 2) элементімен AG матрицаның (2, 3) элементін көбейткеннен алынады.

Өз кезегінде м-ң (1, 2) элементі AG матрицаның (1, 4) эл-н AG (4,2)-ге көб-нен алынды. Демек 1-ден 3-ке жылжи отыра үшқадамнан кейін (1, 4, 2, 3) маршруты алынады.

матриц-да (4, 2) элементі 3 ке тең, демек, ұзындығы 3 ке тең (4, 2)- маршрутының саны үшеу. Олар: (4, 1, 4, 2), (4, 2, 4, 2), (4, 2, 3, 2)

(Граф төбелерінің арасында ұзындығы к-ға тең маршруттың (жол) бар жоғын анықтайтын алгоритмді қарастырайық:



Айталық, төбелері υ1, υ2, υ3, υ4 бағытталған G графының сыбайлас матрицасы болсын. матрицасын қарастырайық. Жалпы алғанда, орындалатындай к саны бар болса ғана болады, басқаша айтқанда υі төбесімен υк төбесін және υк төбесімен υі төбелерін қосатын қабырға бар. Сондықтан υі төбесінен υj төбесіне апаратын ұзындығы 2-ге тең жол бар.

Теорема. Айталық, G төбелері υ1, υ2, υ3 ... υn және сыбайлас А матрицасы берілген бағытталған граф болсын. мен төбелерінің арасында (1≤к≤n) шарты орындалса ғана ұзындығы к –ға тең жол бар болады.

жүктеу 19,56 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   22   23   24   25   26   27   28   29   ...   34




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау