Пуассон теңдеуі және оның жалпы шешімі

Пуассон теңдеуі

• 
  — вещественная или комплексная функция
  

декарттық санақ жүйесінде лаплас операторы   түріне озгереді.Яғни,

Электростатикалық өрістегі өткізгіштер. Өткізгіште заряд тасушылар өте аз күштің әсерінен қозғала алады. Сондықтан өткізгіштегі зарядтардың тепе-теңдігі тек төмендегі шарттар орындалғанда ғана байқалады:

1. 
   Өткізгіш ішінің барлық жеріндегі өріс кернеулігі нольге тең болуы керек:
   
   
2. 
   Өткізгіш бетінің әрбір нүктесіндегі өріс кернеулігі бетке нормаль бойымен бағытталған болуы керек:
   
   

Егер өткізетін денеге аздаған q заряд берсек, онда ол тепе-теңдіктің шарттары орындалатындай болып таралады. Дене шегінде толық қамтылған кез келген тұйықталған бетті ойша елестетейік. Зарядтардың тепе-теңдік кезінде өткізгіш ішіндегі кез келген нүктеде өріс болмағандықтан, бет арқылы өтетін электрлік ығысу векторының ағыны нольге тең болады. Гаусс теоремасына сәйкес беттің ішіндегі зарядтардың алгебралық қосындысы да нольге тең болады. Бұл өткізгіштің ішінен қалауымызша жүргізілген кез келген өлшемдегі көлем үшін орынды. Демек, тепе-теңдік кезінде өткізгіштің ішіндегі ешбір жерде артық заряд болуы мүмкін емес, олардың барлығы өткізгіштің бетінде белгілі бір тығыздықпен орналасады.

 Өткізгіштің (жеке оқшау өткізгіштің) электрлік сыйымдылығы – өткізгіштен шексіз қашықтықта орналасқан нүктенің электр потенциалы нөлге тең деп қабылданған және басқа барлық өткізгіштер шексіз қашықтықта орналасқан деп ұйғарған жағдайда (жеке оқшау өкізгіш деп аталады) өткізгіш зарядының (Q) оның электр потенциалы (U) қатынасына тең скаляр шама:

С = Q/U.

Жеке оқшау өткізгіш үшін электр сыйымдылық өткізгіштің өлшемдеріне, пішініне, сондай-ақ оқшаулаушы ортаның диэлектрикөтімділігіне (ɛ_r) тәуелді болады. Екі өткізгіш арасындағы электрлік сыйымдылық (екі өткізгіштің өзара электрлік сыйымдылығы) – өткізгіштер зарядтарының мәндері бірдей, ал таңбалары қарама-қарсы болған жағдайда және басқа барлық өткізгіштер шексіз қашықтықта орналасқан кезде өткізгіштің біріндегі зарядтың абсолюттік мәнінің осы екі өткізгіштің электр потенциалдары айырымыныңқатынасына тең скаляр шама:

С = Q/(ɸ₁–ɸ₂).