237
койып, соңғы теңдеудi келесі түрдe жазамыз:
/
(8.5)
Осы теңдеу релятивистiк динамиканың негiзiгi теңдеуі болып
табылады. Динамиканың негiзгi теңдеуі міне осындай түрде ғанa epкін
бөлшектің импульсының сақталуын бередi жəне баяу қозғалыстaр кезіңде
(
) ньютон динамикасының негiзгi теңдеуінің түрін қабылдайды
(
).
Сонымен қатар, динамика теңдеуі міне осындай түрде ғанa Лоренц
түрлендiрулеріне қатысты инвариантты болады. Демек Эйнштейннің са-
лыстырмалылық принципін қанағаттандырады. Тағы да салыстырмалылық
теориясында күштің түрлiше
инерциялық санақ жүйелеріне қатысты
инвариантты болмайтындығын айта кету керек.
Релятивистiк динамиканың негiзгi теңдеуінен мынандай күтпеген қор-
тыңды шығады: бөлшектiң
үдеу векторы жалпы алғанда бағыты
бойынша күшпен бiрдей түспейдi. Мұны көрсету үшін (8.5)-тi мына түрде
жазайық
d
/ d
,
мұндағы, т - бөлшектің релятивистiк массасы. Уақыт бойынша
дифференциалдап, келесі өрнекті аламыз:
d /d
d /d
(8.6)
Бұл
өрнек 8.4-суретте
график
түріңде
көрсетiлген. Сөйтiп, шынындада
үдеу векторы
жалпы алғанда Ғ күш векторына коллинеар емес.
үдеу бағыты жағынан вектормен тек екі жағдайда
ғанa бiрдей түceдi:
1)
(көлденең күш); осы кезде жылдамдық
векторы модулi жағынан өзгермейдi, яғни
const, ал ( 8.5) теңдеу түрін қабылдайды:
/ 1
/
осыдан үдеу:
/
1
/
Ньютондық механикада күштер абсолютті, ал салыстырмалылық теорияда жарық санақ жүйесіне
қатысты вектордың бағытына перпендикуляр күштердің проекциялары əртүрлі жүйелерде əртүрлі
болады. Осы проекциялар берілген моментте тыныштықта жатқан бөлшектер жүйесінде өзінің
еңүлкен мəніне ие болады:
,
1
/
.
8.4-сурет
238
2)
|| (бойлық күш). Бұл жағдайда (8.5) теңдеудi скаляр түріңде жазуға
болады; оның сол жағын уақыт бойынша дифференциалдап, аламыз:
1
/
/
1
/
/
d
d
осыдан үдеу (векторлық түрде):
/
1
/
/
Екі жағдайда да бiрдей күш пен
жылдамдық кезіңде, көлденең
күш бөлшекке бойлық күшке қарағанда көбiрек үдеу бередi.
Егер
релятивистiк импульстың уақытқа тəуелдiлік түрі белгiлi
болса, онда релятивистiк динамиканың негiзгi теңдеуi бөлшекке əсер ететін
күшінің заңын таба алады. Сонымен қатар осы теңдеу арқылы, егер əсер
етушi күш пен бастапқы шарттар, яғни бөлшектің бастапқы мезеттегi
жылдамдығы мен оның
қалпы белгiлi болса, онда бөлшектің
қозғалыс заңын табуға мүмкіңдiк бередi.
(8.5) теңдеудің қолданылуына мысал ретіңде 8.1-8.3 есептер келтiрiлген.
§ 8.3. Масса мен энергияның өзəра байланыс заңы
Релятивистік бөлшектердің кинетикалық энергиясы
Бұл шаманы классикалық механикадағы тəрiздi əдіспен, яғни өсімшесi
бөлшекке əсер ететін күштің жұмысына тең болатын шама ретіңде
анықтаймыз. Əуелi күштің əcepiнен
d
dt элементар орын ауыстыратын
бөлшектің кинетикалық энергиясының
d өсімшесін табамыз:
d
d
Релятивистiк динамиканың (8.4) негiзгi теңдеуiнe сай
d
d
d
d , мұндағы т – релятивистiк масса. Сондықтан
d
d ·
d
d
d
мұнда
d
d екендігi ескeрілген. Бұл өрнекті массаның жылдамдыққа
тəуелдiлiгінің (8.2) формуласын пайдалана отырып, ықшамдауға болады.
Осы формуланы квадраттап, келесі түргe келтiремiз:
Осы өрнекті жəне с шамаларының тұрақты екенін ескере отырып,
дифференциалдаймыз:
239
2
d
2
d
2
d
Егер eндi осы теңдiктi
2 бөлсек, онда оның оң жағы d өрнекпен
бipдей түседi. Осыдан:
d
d
(8.7)
Сонымен бөлшектің кинетикалық энергиясының өсімшесi оның
релятивистік массасының өсімшесіне тең жəне тыныштықтағы бөлшектің
кинетикалық энергиясы нөлге, ал oның массасы
тыныштық массасы-
на тең болып шығады. Сондықтан (8. 7)-i интегралдап аламыз:
(8.8)
немесе
1 ,
(8.9)
мұндағы,
/ . Міне, осы бөлшектің релятивистiк кинетикалық
энергиясының өрнегі болып табылады. Оның классикалық
/2 өрнектен
күшті айырмашылығы бар. Ендi осы өрнектің кіші жылдамдықтар кезіңде
(
1) классикалық өрнекке өтетіңдiгін көрсетейiк. Бұл үшін Ньютонның
биномының формуласын пайдаланамыз, ол бойынша:
1
1
1
/
1
1
2
3
8
1 кезіңде осы қатардың алғашқы екі мүшесiмен шектелуге болады,
сонда
/2
/2
Сонымен
үлкен
жылдамдықтар
кезіңде
бөлшектің кинетикалық энергиясы
/2 өрнектен
ерекше болатын (8.9) формуламен анықталады (8.9)-
ды
/2 түріндe жазуға болмайтыңдығынa назар
аударайық, мұндағы т – релятивистiк масса.
8.5-суретте
л
релятивистiк жəне
н
классикалық кинетикалық энергиялардың
ға
тəуелдiлiгінің графиктерi келтiрiлген. Олардың
apacындағы айырмашылық жарық жылдамдығымен
шамалас жылдамдықтар ayмaғына дa жақсы
бiлінедi.
Мысал. Тыныштық массасы т бөлшектің жылдамдығын 0,6-дан 0,8с-ке дейін арттыру
үшін қандай жұмыс атқару керек? Алынған нəтиженi классикалық формуламен
есептелген нəтижемен салыстыру керек.
8.5-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
