19
§ 1.2. Қатты дененің кинематикасы
Механикалық қозғалыс – салыстырмалы. Бір дененің басқа денелерге
қатысты қозғалысы əртүрлі болады. Дененің қозғалысын сипаттау үшін,
қозғалыс қай денеге қатысты қарастырылатынын белгілеу қажет. Бұл денені
санақ денесі деп атайды. Санақ денесі уақыт – санақ жүйесін құрап, ол
қозғалған дененің кез келген уақыттағы орнын анықтауға мүмкіндік береді.
Қатты денемен əртүрлі қозғалыстарды кеңістік – уақыттық тұрпатта
сипаттайтын санақ жүйелері тығыз байланысты. Сондықтан, қатты
денелердің қозғалысын сипаттау үшін оларға сəйкес əртүрлі санақ
жүйелерінің қозғалыстарын да зерттеу маңызды мəселе болып табылады.
Жалпы алғанда қатты дене қозғалысының бес түрін ажыратуға болады:
1) ілгерiлемелі, 2) тұрақты өсті айналу, 3) жазық параллель қозғалыс, 4)
жылжымайтын нүктені айнала қозғалу жəне 5) еркін қозғалыс. Қозғалыстың
алғашқы екі түрі (ілгерiлемелі жəне тұрақты өсті айналу) қатты дененің
негізгі қозғалыстарының бірі болып табылады. Қатты дененің қалған
қозғалыстарын негізгі қозғалыстардың біріне немесе олардың жиынғына
келтіруге болады. Қатты денелерге сай қозғалыстардың алғашқы үш түрін
қарастырамыз.
Ілгерiлемелі қозғалыс
Қатты дененің мұндай қозғалысы кезінде денемен байланысты кез
келген түзу өзінің бастапқы қалпына параллель болып қалады. Мысалы,
жолдың түзу бөлігі бойымен қозғалатын кез келген транспорт түрі жəне т.с.с.
Ілгерiлемелі қозғалыс кезінде қатты дененің барлық нүктелері бірдей
уақыт аралығында бірдей орын ауыстырады. Сондықтан дененің барлық
нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулері берілген уақыт аралығында
бірдей. Бұл жағдай қатты дененің ілгерiлемелі қозғалысын, дененің жеке
нүктесінің қозғалысын зерттеуге, яғни нүктенің кинематикасын зерттеуге
мүмкіндік береді.
Сонымен егер қатты дененің кез келген нүктесінің r(t) радиус-
векторының уақытқа тəуелділігі мен нүктенің бастапқы сəттегі орны белгілі
болса, онда қатты дененің ілгерiлемелі қозғалысын толық сипаттауға болады.
Тұрақты өсті айналу
Қатты дене берілген санақ жүйесінде тұрақты ОО' өсін айнала dt
уақыты ішінде шексіз аз бұрыш жасасын. Осыған сəйкес бұрылыс бұрышын
dφвектормен сипаттаймыз, оның модулі бұрылу бұрышына тең, ал бағыты
20
ОО' өсімен бірдей түседі, əр бұрылу бағыты dφ векторға қатысты оң бұранда
ережесіне сəйкес келеді (1.6-сурет).
Енді қатты дененің кез келген А нүктесінің осындай бұрылыс кезіндегі
қарапайым орын ауыстыруын анықтайық. А нүктенің орнын айналыс өсіндегі
О нүктеден жүргізілген r радиус-векторымен
береміз. Сонда r радиус-вектор ұшының
сызықтық орын ауыстыруы dφ бұрылу бұрышына
|d |
sin d ,
немесе векторлық түрде (1.11) қатынасына
байланысты болады (1.6-сурет).
d
d , .
(1.11)
Бұл теңдік шексіз аз dφ бұрылыстар үшін
ғана орындалады. Басқаша айтқанда, тек шексіз
кішкентай бұрылыстарды ғана вектор
деп қарастыруға болады.
Сонымен қатар, біздің енгізген
d векторымыз векторлардың ең негізгі
заңына – векторлардың қосылу заңына – бағынып, оны қанағаттандыра
алады. Шынында да егер қатты дене жылжымайтын О нүктесі арқылы өтетін
əртүрлі өс арқылы екі элементар
d
жəне
d
бұрылысын жасасын делік.
Онда дененің кез келген А нүктесінің
d қорытынды орын ауыстыруын
келесі формула арқылы табуға болады. (О нүктесіне салыстырғандағы
радиус-векторы
тең болады).
d
dr
dr
d
,
d
,
, ,
мұндағы
d
d
d
.
1.12
Осы екі бұрылыстар
d
мен d
О нүктесі арқылы өтетін,
d
векторымен дəл келетін жəне
d
d
d
бұрышпен осы өсті
айналатын бір бұрылысқа эквивалентті.
Егер r радиус-вектор, v жылдамдық, a үдеу тəрізді шамаларды
қарастырған кезде олардың бағыттары бірден белгілі болса, бұл тəрізді
1.6-
суретте көрсеткендей
∆ бұрышқа түпкі бұрылыс жасау үшін А нүктесінің сызықтық орын
ауыстыруы келесі өрнекпен анықталады:
|∆ |
sin · 2 sin ∆ /2
Осы өрнектен
∆ -ді∆ мен -векторларының көбейтіндісі түрінде қарастырудың мүмкіндігі жоқ
екені көрініп тұр. Мұндай тұжырым тек өте шексіз аз
∆ бұрылысына сай жəне - радиус-
векторды осы шектерде өзгермейді деп санауға болады.
1.6-сурет
21
векторлар айналыс бағытына тəуелді емес. Бірінші түрдегі векторлар –
полярлық деп, ал екінші түрдегі векторларды dφ аксиалдық деп аталады.
радиус-вектор, v жылдамдық, a үдеу сияқтыайналыс бағытына тəуелді
шамаларды қарастырғанда олар үшін белгілі бір бағыттарды таңдау мəселесі
ешқандай қиыншылық жасамайды. Оның себебі бұл сұрақтар осы шамалар
үшін өзінен өзі шешілген. Осындай векторлар полярлы векторлар деп
аталады. Оларға қарағанда dφ векторлардың бағыттары тəуелді түрде айналу
бағыттарымен байланысқан, мұндай векторларды аксиалды векторлар деп
атайды.
Енді бұрыштық жылдамдық жəне бұрыштық үдеу векторларын
енгізейік.
ω бұрыштық жылдамдық векторы келесі өрнекпен анықталады:
d /d ,
(1.13)
мұндағы, dt дененің dφ бұрышқа бұрылуға жіберетін уақыты. Ал ω векторы
бағыты жағынан dφ векторымен бірдей түседі жəне аксиал вектор болып
табылады. ω вектордың уақыт бойынша өзгерісі β бұрыштық үдеумен
сипатталады:
=d
/d .
(1.14)
Ал d вектордың бағыты вектор тəрізді вектор да аксиал вектор
болып табылады.
СИ жүйесінде бұрыштық жылдамдықтың өлшем бірлігі ретінде радиан
секунды, ал бұрыштық үдеу үшін радиан секундының квадраты алынады.
Əсіресе қатты денелердің күрделі қозғалысын зерттеген кезде бұрыштық
жылдамдық пен бұрыштық үдеулерді векторлар түрінде ұсыну өте тиімді.
Мұның өзі күрделі қозғалыстарды ықшамдап анализдеу үшін жəне оған
сəйкес тиісті есептерді шығаруға жақсы мүмкіншілік береді.
Бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу өрнектерін Z айналыс өсіне
проекциялар түрінде жазамыз, өстің оң бағытын
φ координаттың - бұрылу
бұрышының оң санақ бағытымен, оң бұранда ережесімен байланыстырамыз
(1.7-сурет). Сонда
ω жəне β векторлардың Z өсіне ω жəне β, проекциялары
келесі формулалармен анықталады:
ω
d /d .
(1.15)
β
dω /d
(1.16)
Достарыңызбен бөлісу: |
