16
жылдамдығы мен үдеуін кез келген уақытта анықтау мүмкіндігі туады. Олай
болса кез келген уақыт үшін v мен а векторларының модульдері мен
бағыттарын да табуға болады.
Мысалы, жылдамдық векторының модулі келесі өрнекпен анықталады:
,
ал v жылдамдық векторының бағытын бағыттауыш косинустар арқылы
анықтауға болады:
cos
/ , cos
/ , cos
/ ,
мұндағы
, , — v векторымен сəйкес түрде Х, Y, Z өстерінің арасындағы
бұрыштар. Осындай формулалар арқылы үдеу векторының модулі мен
бағыты да анықталады.
Сонымен қатар басқа да маңызды мəселелерді: нүктенің траекториясын,
оның жүріп өткен жолының уақытқа тəуелділігін, жылдамдықтың нүкте
орнына тəуелділігін шешуге болады.
Векторлық тəсіл сияқты интегралдау жолымен керісінше сұрақтарды да
шешуге болады, яғни берілген үдеу бойынша нүктенің қозғалыс заңы мен
оның жылдамдығы есептеледі. Біздің жағдайымызда уақыт бойынша
үдеулердің проекциялары табылды. Сонымен қатар үдеуден басқа алғашқы
шарттар берілсе, яғни бастапқы уақыттағы нүктелердің координаттары мен
жылдамдықтарының проекциялары, онда мұндай есептер бірмəнді
шығарылады.
«Табиғи» тəсіл
Нүктенің қозғалыс траекториясы алдын ала белгілі болса ғана бұл тəсіл
қолданылады. А нүктенің орны О санақ басынан таңдап алынған траектория
бойымен алынған қашықтықпен, яғни доғалық координатпен анықталады
(1.3-сурет). l координаттың санақ бағытын өз қалауымызша таңдап аламыз
(суретте сілтемемен көрсеткендей).
Егер нүктенің траекториясы, санақ басы, доғалық l координаттың оң
санақ бағыты жəне нүктенің қозғалыс заңы, l(t) тəуелділігі белгілі болса,
онда нүкте қозғалысы толық анықталғаны.
Сонымен, А нүктенің қозғалысын табиғи тəсілмен анықтау үшін 1)
траектория; 2) траекториядағы санақ центрі; 3) қозғалыс бағыты; 4)
траектория бойымен қозғалыс заңы берілуі керек.
Нүкте жылдамдығы. Қозғалыстағы А нүктемен бірге траектория
бойымен доғалық l координаттың өсу бағытына бағытталған бірлік
векторын енгізейік (1.3-cурет).
17
1.3-сурет
1.4-сурет
Сонда айнымалы вектор l шамасына тəуелді. А нүктенің v
жылдамдығы траекторияға жанама бойымен бағытталған, сондықтан оны
былайша өрнектеуге болады:
(1.5)
мұндағы,
d /d - τ вектор бағытының v векторға проекциясы,
—
алгебралық шама.
Сонымен қатар,
| |
| |
.
Нүкте үдеуі. (1.5) өрнегін уақыт бойынша дифференциалдаймыз:
,
(1.6)
Осы өрнектің соңғы мүшесін түрлендіреміз:
. (1.7)
Енді вектордың dl бөлігіндегі өсімшесін анықтаймыз (1.4-сурет). Ал
2 нүкте 1 нүктеге ұмтылған кезде олардың арасындағы траектория бөлігінің
центрі қайсыбір О нүктесінде болатын шеңбердің доғасына ұмтылады.
Траекторияның О нүктесін оның осы нүктедегі қисықтық центрі, ал сəйкес
шеңбердің радиусы траекторияның тура осы нүктедегі қисықтық радиусы
деп атайды.
1.4-суретте көрсеткендей бұрыш
δα
|d |/ρ
|d |/ осыдан:
|d /d |
1/ρ,
болып, одан əрі
0 ұмтылғанда
шығады. Траекторияның 1
нүктесінен қисықтық центріне қарай бағытталған жəне оған перпендикуляр
болатын n бірлік векторды енгізіп, соңғы теңдікті векторлық түрде жазамыз.
18
|d /d |
/ρ.
(1.8)
Енді (1.8) -ді (1.7)-ге қойып, осы алынған өрнекті (1.6)-ға қоямыз. Сонда
.
(1.9)
мұндағы, бірінші мүше тангенциалдық үдеу деп, ал екінші мүше нормал
(центрге тартқыш) үдеу деп аталады. Сонымен нүктенің толық а үдеуін
тангенциалдық жəне нормал үдеулердің қосындысы түрінде жазуға болады.
1.9-суретте көрсетілгендей а векторының
мен
орттарына
проекциялары тең болады:
d /d ,
/ρ,
(1.10)
нүктенің толық үдеуінің модулі:
/ρ .
мұндағы,
– уақыт бойынша алынған жылдамдық модулінің туындысы.
Мысал. А нүктесі радиусы болатын доғаның бойымен қозғалады (1.5-сурет). Оның
жылдамдығы доғалық l координат
√ заңына тəуелді, мұндағы k – тұрақты
шама. Нүктенің толық үдеуі мен жылдамдық векторы арасындағы α бұрышты l
координаталық функция түрінде табу керек.
Шығару жолы. Суреттен көріп отырғандай
α бұрышты
/ формуласы арқылы
табуға болады. Енді
жəне
шамаларын
табайық. Нормал үдеуін келесі формуламен
табамы:
/
/ ,
Біздің жағдайымыз үшін
, сондықтан
тангенциалды үдеу тең:
,
-ның l-дан тəуелділігін ескере отырып, келесі өрнекті аламыз:
2√
√
2
.
Осыдан
2 / .
1.5-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
