176
Осы формуладан 5.20-сурет бойынша келесі өрнекті табамыз:
/
.
суреттің көмегімен вектордың бағытын да табуға болады (
бұрыш).
5.7. Айналмалы қозғалыстың динамикасы. Массасы
жəне радиусы біртекті тұтас
цилиндр үйкеліссіз қозғалмайтын горизонталь О өстен айнала алады (5.30-cypeт).
Цилиндрге бір қабат етіліп ұзындығы жəне массасы
созылмайтын жіңішке жіп тығыздалып оралған. Цилиндрдің
бұрыштық үдеуін жіптің салбырап тұрған
бөлігінің ұзындығына
тəуелді түрде табу керек. Сырғанау жоқ жəне жіптің оралған
бөлігінің ауырлық центрі цилиндрдің өсінде жатыр деп есептеу
керек.
Шығару жолы. О өсіне қатысты моменттер теңдеуін (5.15)
пайдаланамыз. Бұл үшін жүйенің осы өске қатысты
импульс
моменті жəне оған сəйкес
күш моментін табамыз. Импульс
моменті:
ω
/2
ω ,
мұндағы цилиндрдің инерция моментінің
/2 жəне
ω екендігі (жіп
сырғанамайды) ескерілген. Сыртқы ауырлық күштерінің О өсіне қатысты моменті:
g /
шамасын уақыт бойынша дифференциалдап жəне
/ мен
өрнектерін
моменттер теңдеуіне қойып, табамыз:
2 g
2
.
5.8. Тегіс горизонталь жазықтықта радиусы
біртекті диск жатыр. Алдын ала
бұрыштық жылдамдық берілген дəл осындай екінші дискіні осы біртекті дискіге
ақырындап түсіреді. Егер дискілердің арасындағы үйкеліс коэффициенті болса,
қанша уақыттан кейін екі дискі бірдей бұрыштық жылдамдықпен айнала бастайды?
Шығару жолы. Əуелі қалыптасқан бұрыштық жылдамдықты табамыз. Импульс
моментінің сақталу заңынан:
ω
2 ω,
мұндағы, – əрбір жеке дискінің ортақ айналыс өсіне қатысты импульс моменті,
осыдан:
/2.
Енді дискілердің біреуін мысалы төменгі дискінің қозғалысын қарастырайық. Оның
бұрыштық жылдамдығы үйкеліс күшінің
моментінің əсерінен өзгереді.
5.30-cypeт
177
моментін есептеп шығарайық. Бұл үшін дискінің жоғарғы бетінен радиустары
,
d болатын элементар сақинаны бөліп алайық. Осы сақинаға əсер ететін
үйкеліс күштерінің моменті:
d
g/
2 d
2
g/
d ,
мұндағы,
– əрбір дискінің массасы. Осы теңдеуді бойынша 0-ден ге дейін
интегралдап, табамыз:
2
3
g .
(5.30) теңдеуге сай төменгі дискінің бұрыштық жылдамдығын
dω шамасына артуы
уақыт ішінде өтеді.
d
/ dω
3r /4 g dω
Осы теңдеуді бойынша 0-ден
/2 дейін интегралдап, іздеп отырған уақытты
табамыз:
3
/8 g.
5.9. Қатты деннің жазықтық қозғалысы. Біртекті цилиндр горизонталь тақтаның
үстінде жатыр (5.31-сурет). Олардың арасындағы
үйкеліс коэффициенттері . Тақтаға цилиндрдің өсіне
перпендикуляр горизонталь бағытта үдеу беріледі.
Табу керек:
1) Сырғанау жоқ кездегі цилиндр өсінің үдеуін;
2) Сырғанау жоқ болатын кездегі үдеудің
шект
шектік мəнін.
Шығару жолы. 1. жəне
шамаларының оң
бағыттарын 5.31-суретте көрсетілгендей етіп алып, цилидр өсінің қозғалыс теңдеуін
жəне осы өске қатысты моменттер теңдеуін Ц-жүйеде жазамыз:
үйк
,
үйк
,
мұндағы, жəне – цилиндрдің массасы жəне өске қатысты оныңимпульс моменті
сонымен қатар
цилиндрдің радиусы. Цилиндрдің сырғанауының жоқтығы
үдеулердің арасындағы кинематикалық байланысты береді:
.
Осы үш теңдеуден
/3-ні табамыз.
2. Жоғарыдығы теңдеулерден цилиндрдің сырғанаусыз шайқалуын қамтамасыз
ететін
үйк
үйкеліс күшінің мəнін табамыз:
үйк
/3. Бұл күштің максимал
мүмкін мəні
g. Осыдан:
шект
3 g.
5.31-сурет
178
5.10. Радиусы біртекті шар радиусы сфераның
төбесінен сырғанаусыз домалай
бастайды (5.32-сурет). Шардың сфера бетінен ажырағаннан кейінгі бұрыштық
жылдамдығын табу керек.
Шығару жолы. Ең алдымен шардың бұрыштық
жылдамдығының
сферадан
ажырағаннан
кейін
өзгермейтіндігін айта кету керек. Сондықтан бізге оның
ажырар мезеттегі мəнін табу керек.
Шар центрінің ажырар мезеттегі қозғалыс теңдеуін
жазамыз:
/
g cos ,
– шар центрінің ажырар мезеттегі жылдамдығы, -
осыған сəйкес келетін бұрыш (5.32-сурет). жылдамдықты энергияның сақталу
заңынан табамыз:
g
/2
ω /2,
мұндағы, − өзінің центрі арқылы өтетін өсіне қатысты шардың инерция моменті.
Сонымен қатар:
ω ,
1
cos
.
Осы төрт теңдеуден:
ω
10g
17
.
5.11. Конустық маятник. Массасы
жəне ұзындығы
жіңішке біртекті шыбық тұрақты
− бұрыштық
жылдамдықпен өзінің О іліну нүктесінен өтетін
вертикаль өстен айналады (5.33-сурет). Осы кезде
шыбық жартылай ашылу бұрышы болатын конустық
бет сызады. бұрышты, сонымен қатар, О нүктедегі
реакция күшінің модулі мен бағытын табу керек.
Шығару жолы. Шыбықпен бірге вертикаль өстен
айналатын санақ жүйесін қарастырамыз. Бұл санақ
жүйесінде шыбыққа
g ауырлық күші жəне реакция
күшімен қатар центрден тепкіш
цт
инерция күші əсер
етеді. Шыбық осы санақ жүйесінде тыныштықта болады,
яғни тепе-теңдік күйде, демек, барлық күштердің
қорытындысың кез келген нүктеде шыбық осы санақ
жүйесінде тыныштықта болады, яғни тепе-теңдік күйде, демек қорытындысы нөлге
тең болады.
О нүктесіне қатысты моментті тек ауырлық күші жəне центрден тепкіш инерция
күштері ғана тудырады. Осы күштердің моменттерінің теңдігінен:
g sin
цт
.
(1)
цт
мəнін есептеп шығарайық. Шыбықтың О нүктеден қашықтыққа орналасқан
d
элементіне əсер ететін инерция күшінің моменті:
5.32-сурет
5.33-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
