164
мұндағы, дененің массасы, – барлық сыртқы күштердің қорытындысы,
жəне
– импульс моменті жəне барлық сыртқы күштердің қосынды
моменті – бұлардың екеуі де дененің инерция центрі арқылы өтетін өске
қатысты анықталған.
Ц-жүйесінің жалпы алғанда инерциялық емес екендігіне қарамай,
моментте тек сыртқы өзара əрекеттесу күштерін ғана ескеретінімізді есте
ұстау керек. Мұның себебі, инерция күштерінің қосынды моменті инерция
центріне қатысты да, осы нүкте арқылы өтетін өске қатысты да нөлге тең
болады, сондықтан оны ескермеуге болады.
Сонымен қатар бұрыштық үдеудің, демек,
пен шамаларының да
екі санақ жүйесінде де бірдей болатындығын айта кетелік, себебі Ц− жүйесі
инерциялық К−санақ жүйесіне қатысты ілгерілемелі қозғалыста болады.
(5.34) теңдеуді бастапқы шарттарды ескере отырып, интегралдап, қатты
денеің кез келген уақыттағы қалпын анықтайтын
жəне
тəуелділіктерін табуға болады.
Еркін емес қатты дененің қозғалысын қарастырғанда қозғалыстың
шектелуін анықтайтын қосымша шарттарды да пайдалану керек. Ол
сызықтық жəне бұрыштық үдеулердің арасындағы кинематикалық
байланысты береді.
Mысал. Массасы жəне радиусы біртекті цилиндр сырғанаусыз горизонтпен бұрыш
жасайтын көлбеу жазықтықпен домалап келеді. (5.18-сурет). Цилиндрдің
қозғалыс теңдеуін табу керек.
Шығару
жолы.
Осы
тəріздес
есептерді
шығарудың стандартты жолын келесі түрде
келтіруге болады. Ең бірінше денеге əсер ететін
күштердің түрін жəне олардың қандай жерге
қолданылуын (біздің мысалымызда бұл ауырлық
күші –
,
көлденең жазықтықтан түсетін
реакция
күшін
құраушы
нормал
жəне
үйк
тыныштықтың үйкеліс күші) анықтау.
Цилиндр центрінің орын ауыстыру бағытын
өсінің оң бағыты деп алып,
бұрылу
бұрыштарын таңдайды, (
мен
үдеулерінің
таңбалары бірдей болатындай етіп бұл бағыттарды алдын ала қиыстырып алған
жөн) мысалы, 5.18-суреттің оң жағында көрсетілгендей. Міне, тек осыдан кейін
ғана пен
дің таңдалынып алынған оң бағыттарына проекциясының (5.34)
қозғалыс теңдеуін жазамыз:
sin
үйк
,
үйк
.
5.18-сурет
165
Сонымен қатар сырғанаудың жоқтығы үдеулер арасындағы кинематикалық
байланысты анықтайды:
.
Осы үш теңдеулерді бірге шешу
жəне
үдеулерді, сонымен қатар
үйк
үйкеліс күшін табуға мүмкіндік береді.
Моменттер теңдеулерін
лездік өске қатысты жиі жазады (5.18-
суретке қара). Алайда мұндай жолдың дұрыстығы алдын ала анық емес,
сондықтан лездік өстердің ерекше қасиеттеріне байланысты мұндай
тұжырым дəлелдеуді талап етеді. Дəлелдік үшін (5.12) мен (5.23)
қатынастары пайдалынады. Осы екі өрнектер арқылы келесі теңдеуді
формальді түрде жазуға болады:
g sin ,
мұндағы, Штейнер теоремасына сəйкес келесі өрнекке тең болады:
.
Осы келтіріліп отырған теңдеу тек лездік өске ғана тəн емес сонымен
қатар көлбей жазықтықта жатқан жəне лездік өске параллель кез келген өске
де тəн. Барлық жағдайлар үшін, яғни өстің тұрған орнына тəуелсіз,
(шардың немесе цилиндрдің) тек қана радиус болып келеді.
Қатты дененің жазық қозғалысының кинетикалық энергиясы
Дене қайсыбір К−инерциялық санақ жүйесінде жазық қозғалыста
болсын. Оның осы санақ жүйесіндегі К кинетикалық энергиясын табу үшін
(4.56) формуланы пайдаланамыз. Осы формулаға енетін шамасы біздің
жағдайымызда дененің Ц-жүйесіндегі инерция центріне арқылы өтетін өстен
айналуының кинетикалық энергиясы болып табылады. (5.31) бойынша
/2 , сондықтан бірден жазамыз: оның
,
(5.35)
мұндағы, – дененің инерция центрі арқылы өтетін өске қатысты импульс
моменті ,
– дененің бұрыштық жылдамдығы, − оның массасы,
–
дененің инерция центрінің К − санақ жүйесіндегі жылдамдығы.
Сонымен жазық қозғалысындағы қатты дененің кинетикалық
энергиясы Ц-жүйесіндегі айналу энергиясы мен масса центрінің қозғалысына
байланысты энергиядан құралады.
166
3. Еркін өстер. Инерцияның бас өстері
Егер денені айналмалы қозғалысқа келтіріп, сосын оны өз бетінше
қалдырса, онда айналыс өсі өз бағытын өзгеріссіз қалдыру үшін, оған белгілі
мөлшерде күштер əсер ету керек.
Бұл мəселені төмендегі мысалдың негізінде
қарастырайық. Біртекті шыбықтың
ортасы
айналыс өсіне, шыбық пен өстің арасындағы
бұрыш болатындай етіліп, нықтап бекітілген
болсын (5.19-сурет).
Шыбық
−бұрыштық
жылдамдықпен айналған кезде айналыс өсінің
бағыты өзгермей қалу үшін оған сыртқы күштердің
қандай моментін түсіру керек екендігін табу
керек. (5.12) бойынша бұл момент
d /d .
Сонымен
векторды анықтау үшін, əуелі
шыбықтың импульс моментін, сосын оның уақыт бойынша туындысын
табу керек.
импульс моментін нүктесіне қатысты анықтау əлдеқайда жеңіл.
Шыбықтың нүктеден қашықтықта жатқан массасы
болатын элементін
ойша бөліп алайық. Оның осы нүктеге қатысты импульс моменті
,
, мұндағы, − элементтің жылдамдығы.
вектор шыбыққа
перпендикуляр (5.19-сурет). Жəне оның бағыты
элементін таңдап алуға
тəуелді емес. Сондықтан шыбықтың момент импульсінің қосындысы
вектордың бағытымен бірдей.
Алайда біздің жағдайымызда
вектордың бағыты
вектордың
бағытымен сəйкеспейді.
Сонымен шыбық айналған кезде
вектор да
бұрыштық
жылдамдықпен айналатын болады.
d уақыт аралығында
вектор dM
өсімше алады, оның модуль 5.19-суреттен көрсеткендей
|d |
sin /2
d ,
немесе векторлық түрде
d
d . Соңғы өрнектің екі жағын да d
уақытқа бөліп, келесі өрнекті табамыз:
.
Сонымен айналу өсінің бағытын өзгеріссіз ұстап отыру үшін оған
қандай да бір сыртқы күштердің моментін түсіру керек болғаны (олар
5.19-суретте). Егер
/2 , болса, оны вектордың бағыты вектормен
5.19-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
