133
ау.
серп.
0,
немесе:
g
d
g
/2
0 .
Осыдан:
2 g/ .
2. Шарикті Жердің ауырлық өрісі ішінде қарастыруға болады. Мұндай жағдайда
Жердің ауырлық өрісінде шариктің толық механикалық энергиясын қарасытырған
жөн. (4.31)-теңдеуіне сай толық механикалық энергияның өсімшесі ретінде тосын
күштердің жұмысы алынады. Тосын күш ретінде серпімділік күші алынады. Жердің
ауырлық өрісінде толық механикалық энергияияның өсімшесі ретінде шариктің
потенциалдық энергиясы алынады: сондықтан:
∆
0
g
d
/2.
Осыдан
үшін сол нəтиженің өзі шығады.
Айта кету керек, шарикті серпімді күш өрісінде де қарастыруға болар еді. Онда
тосын күш рөлін ауырлық күші атқарар еді. Мұндай жағдайда нəтиже бірдей болып
шығады.
3. Сонымен шарикті екі күштің бiрлескен əсерімен, яғни серпімділік күштің де,
ауырлық күштің əсерлерімен де қарастыруға болады. Сонда осындай өрістің ішінде
тосын күштер болмай, шариктің толық механикалық энергиясы қозғалыс процесінде
өзгеріссіз қалады. Яғни:
∆
∆
∆
0. Шариктің бастапқы күйінен соңғы
күйіне дейін ауысқанында
∆
0, ал олай болса ∆
∆
ау.
∆
серп.
0, немесе:
g
/
.
Алынған нəтиже бастапқы екі жолдың шешулерімен бірдей.
4.5. Массасы m дене Жер бетінен бастапқы жылдамдықсыз екі күштің əсерінен
көтеріледі: көтерілу биіктігі бойынша
2 g 1
түрінде өзгеретін
күштің əсерінен, мұндағы а – оң тұрақты шама жəне
g ауырлық күшінің əсерінен.
-күштің көтерілу биіктігінің бірінші жартысындағы атқарған жұмысын жəне
дененің Жердің ауырлық өрісіндегі потенциалдық энергиясының өсімшесін табу
керек. Ауырлық өрісін біртекті деп есептеу керек.
Шығару жолы. Əуелі тұтас көтерілу биіктігін табамыз. Жолдың басы мен
соңында дененің жұмысы нөлге тең. Сондықтан кинетикалық энергияның өсімшесі
де нөлге тең. Екінші жағынан (4.29) бойынша,
∆ осы жолдағы барлық күштердің
атқаратын жұмыстарының алгебралық қосындысына тең, яғни күштің жəне
ауырлық күшінің атқаратын жұмыстарының алгебралық қосындысына тең болғаны.
∆
0,
0. Жоғары қарай өсінің оң бағыты бағытталғандығын ескере отырып,
жазамыз:
134
g
g
1
2
d
g 1
0.
Осыдан
1/ .
F күштің көтерілу жолының бірінші жартысында атқаратын жұмысы:
d
/
2 g
1
d
/
3 g/4 .
Потенциалдық энергияның өсімшесі:
∆
g /2
g/2 .
4.6. Потенциал мен өрістің кернеулігі. Массасы радиусы болатын біртекті шардың
гравитациялық өрісінің потенциалы мен кернеулігін оның центріне дейінгі
қашықтыққа тəуелді түрде табу керек.
Шығару жолы. Əуелі заттың жұқа біртекті сфералық қабатының тудыратын
потенциалдық өрісін табу керек, Жұқа сфералық қабаттың массасы жəне радиусы
болсын делік. Əуелі
нүктесіндегі
d потенциалын табамыз, оны берілген
қабаттың
d белдігі тудырады (4.24, а). Егер осы белдіктің массасы d жəне оның
нүктелері Р нүктеге дейін - қашықтықта орналасса, онда
d
d / болады.
d
1/2 sin
болатындығын ескеріп, табамыз:
d
sin d
(1)
4.24-сурет
∆
үшін косинустар теоремасынан
2
cos . Осы өрнектен
дифференциалдасақ, онда:
d
sin d .
(2)
(1) теңдікті (2) теңдіктің көмегімен
dφ
1/2
/
d түріне келтіріп, осы
теңдікті тұтас қабат бойынша интегралдаймыз, сонда:
135
сырт.
d
.
(3)
Сонымен, шынында да, біртекті жұқа сфералық қабаттан тысқары Р нүктедегі
потенциал осы қабаттың барлық массасы оның центрінде орналасқандағыдай
болады.
Егер де Р нүкте
қабаттың ішінде орналасса онда жоғарыдағы есептеулер
интегралдағанға дейін күшін сақтайды. Енді тек бойынша интегралдау шектері
ден
-ге дейін болады. Нəтижесінде
ішк.
/
(4)
яғни қабаттың ішіндегі потенциал Р нүктесінің орнына тəуелсіз демек, ол қабаттың
ішінде барлық нүктелерде де бірдей болады.
Р нүктеде кернеулік (4.26) сəйкес,
қабаттан
тыс
қабаттың
ішінде
Жұқа сфералық қабат үшін
жəне
тəуелділік графиктері 4.24, б-суретте
көрсетілген.
Енді алынған нəтижелерді массасы
, ал радиусы болатын біртекті шарға
жалпылайық. Егер Р нүкте шардан тыс болса
, онда (3) формуладан бірден
жазуға болады:
сырт.
/ .
(5)
Егер Р нүкте шар ішінде болса
, онда осы нүктедегі потенциал тең:
ішк.
.
Қосында түрінде өрнектеуге болады, мұндағы
-радиусы шардың потенциалы, ал
− радиустары – дан − -ға дейінгі қабаттың потенциалы. (5) бойынша
.
Қабат тудыратын
потенциал қабат ішіндегі барлық нүктелерде де бірдей.
Ыңғайлы болу үшін
потенциалды қабаттың центрінде жатқан нүкте үшін есептеп
шығарайық:
.
мұндағы,
d
3
/
d - радиустары жəне
d болатын жұқа қабаттың массасы:
,
4.25-сурет
Достарыңызбен бөлісу: |
