Уравнение движения двухкомпонентной композиционной среды

Развитие современной техники неразрывно связано с разработкой и внедрением новых конструкционных материалов, ведущее место среди которых в настоящее время занимают композиционные материалы. Они образованы объемным сочетанием химических разновидных компонентов, которые не растворяются в друг друге (сохраняют свои свойства) в течение всего жизненного цикла изделия из них. Такие материалы получили название - композиционные материалы (КМ). В них сочетаются лучшие свойства различных составляющих фаз – прочность, пластичность, износостойкость, малая плотность и т.п. Причем, сама композиция отличается свойствами, которые не обладает ни один из ее компонентов, взятые в отдельности. Важнейшим из этих свойств являются высокая удельная прочность, жесткость в направление армирования, возможность варьирование их путем выбора тех или иных компонентов, изменением структуры армирования и т.д. Эти достоинства композиционных материалов, а также их экономическая эффективность обусловили их применение в авиа и ракетостроении, в транспорте и других отраслях промышленности [1].

Для исследования физических свойств, нами получены уравнения движения двухкомпонентной композиционной среды.

В данной работе рассматривается элементарный единичный объем. Считается, что длины упругих волн заметно превосходят характерные размеры рассматриваемого единичного объема и, следовательно. размеры составляющих композицию материалов в этом объеме. Исследования удобно вести в обобщенной лагранжевой системе координат, выбрав в качестве независимых координат осредненные по рассматриваемому объему компоненты перемещения наполнителя , и матрицы : ( i =1,2,3). Кинетическая энергия элементарного объема зависит только от этих шести обобщенных переменных. При относительном движении компонент композиционного материала могут происходить потери энергии, обусловленные явлениями типа "вязкого" и механического трений. Пусть кинетическая энергия и энергии диссипации в . элементарном единичном объеме представляются в виде квадратичных форм

где –коэффициенты.

Уравнения Лагранжа теперь могут быть написаны в виде

, (i=1,2,3) (4)

,

где — компоненты обобщенных сил действующих соответственно на наполнитель и связующее рассматриваемого единичного элемента двухкомпонентной среды в направлении оси х. Если в уравнения (4) подставить выражения T, из (1),(2), (3) ,то можно получить

Обобщенные силы определяются градиентами напряжений и объемными силами

поэтому уравнения движения[2] принимают вид

Природа коэффициентов легко устанавливается. Пусть компоненты ( наполнитель и связующее) не перемещаются относительно друг друга, т.е. (8)

Тогда кинетическая энергия всей смеси, определяемая из (1) принимает вид

2T = , (9)

а плотность  элемента системы наполнитель - связующее получается равной

. (10)

Если считать, что в рассматриваемом элементарном объеме только “ ” - ая часть объема занята наполнителем ( -степень наполненности композиции) имеющим плотность ,то масса. наполнителя в композиции будет равна (11) Масса же связующего в композиционном материале будет

где - плотность материала связующего. Из (11), (12) и (10) можно получить

Эта зависимость показывает, что введенные коэффициенты связаны как с плотностями самих составляющих композицию материалов так и их объемным содержанием. При условии (8) уравнения движения (7) можно записать в виде

При этом ни что иное как , т.е. масса наполнителя и связуғэцего в композиционном материале. Таким образом

Из равенства (15) следует

В любом состоянии движения или равновесия можно записать соответствующее уравнения (движения или равновесия) как для всего элементарного объема (модель однородной среды), так и раздельно для каждой из компонент композиционного материала (структурная модель среды). Однако, в отличии от уравнений движения (равновесия) для всего элементарного объема в случае раздельного их написания (у нас для наполнителя и матрицы) должно быть учтено взаимодействие компонентов композиции на границе их раздела посредством обобщенных поверхностных сил. В полученных уравнениях (7) эти силы приняты пропорциональными разности как самих перемещений компонент композиции, так и их скоростей . Параметры при этом имеют смысл параметров "вязкого" и механического трений. Для композиционных материалов, являющихся консолидацией двух и более твердых тел, представляется необходимым учет членов , что и позволило впервые написать уравнения движения в виде (7).

Если в уравнениях состояния учитываются диссипативные силы, то они могут зависит только от скоростей деформаций[3], и никоим образом ни от скоростей перемещений , и ни от самих перемещений , входящих в уравнения (7). Это обстоятельство обуславливает термодинамическую непротиворечивость уравнений состояния и уравнений движения (7).

Полная система уравнений термоупругости для двухкомпонентной среды состоит из уравнений движения (7) записанных относительно компонентов перемещения, и сопряженных с ними уравнений теплопроводности. Используя обобщенные уравнения состояния , а также кинематические соотношения

уравнения движения можно привести к виду

где, і, принимая значения 1,2,3,определяет число уравнений (их шесть), а знак означает приращение перемещения. Дополнив уравнения (18) уравнениями теплопроводности

можно получить замкнутую систему восьми уравнений относительно трех компонент вектора приращения перемещений наполнителя трех компонент вектора приращения перемещения матрицы приращения температуры в материале наполнителя и матрицы .

Деформация элементов двухкомпонентной среды и связанное с ней изменение температуры наполнителя и матрицы обуславливаются действием массовых и поверхностных сил, а также действием тепловых источников и влиянием температуры окружающей среды. Изменение деформации и изменение температуры возникают при действии каждого из указанных возмущений, приложенных раздельно. Действительно, если в теле создается градиент температуры, то при протекании необратимого процесса теплообмена тело деформируется. При этом процесс деформирования идет за счёт уменьшения энтропии . Однако это уменьшение полностью компенсируется производимой в процессе теплообмена энтропией, обуславливая в каждой точке неравенства , >0, которые, в свою очередь, приводят к невосполнимой потере тепловой энергии. И обратно, действие внешних нагрузок или массовых сил, деформируя тело, вызывает вынужденный процесс теплообмена. При этом изменение деформации может рассматриваться как внутренний тепловой источник.

Литература

1.Дж.Сендецки. Механика композиционных материалов-М.: Издательство «Мир»,Т2,¹⁹⁷⁸-568с.

2. Байшагиров Х.Ж., Каримбаев Т.Д. Двухкомпонентная теория упругости неоднородной среды. Монография. – Караганда, 2016-270с.

3.Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц. Теория упругости.- М.: Издательство «Наука», Том VII, 1965.-204с.

Уравнение движения двухкомпонентной композиционный среды

Аннотация

В данной работе решается уравнение Лагранжа для двухкомпонентный среды. В результате получено уравнения движения (7).