-ДӘРІС Тақырыбы: Компьютерлік модельдеу түрлері

аќпараттыќ модельді ұсыну формалары туралы

қарастыру
Компьютерлік модельдердің ақпараттық модельдерден сапалық айырмасы жоқ. Компьютерлік модельдеуді өзіндік ерекшеліктеріне орай ақпараттық модельдеудің ерекше түрі деп айтуға болады.

Компьютерлік модель (computer model) –

1) таңдалынған программалыќ ортаға бейімделінген аќпараттыќ модельді ұсыну формасы;

2) программалыќ ортаның ќұралдарымен жасалынған модель[1].

Компьютерлік модельдерге байланысты бастапқы жұмыстар гидрав-лика, жылу алмасу, қатты дененің механикасы т.с.с есептер тобын шешуде жүргізілді.

Модельдеу ЭЕМ мүмкіндіктері, жұмыс істеу принциптері мен математикалық модельдердің адаптациясы болатын күрделі теңдеулер жүйесінің сандық шешімін бейнелейді. Физикадағы компьютерлік модельдердің табыстары химия, электроэнергетика, биология есептерін шешуде де кең таралды. Компьютерлік модельдеу негізінде шешілетін есептердің күрделілігі ЭЕМ-нің мүмкіндіктеріне байланысты шектеледі.

Модельдеудің компьютерлік түрлері қазіргі кезде де кеңінен қолданыс табуда. Компьютерлік модельдеудің мүмкіндіктерін кеңейтіп, қолдану тәсілдерін жеңілдететін ішкі бағдарламалар мен сандық математика тәсілдерінің формаларымен толықтырылған функциялардың кітапхана-лары бар. Сондай-ақ, “компьютерлік модельдеу” түсінігі ХХ ғасырдың 50-ші жылдары биологиядағы күрделі жүйелерді автоматтандырылған экономикалық-ұйымдастырылған басқару жүйесін құруда жүйелік талдаумен жиі ќолданған.

Күрделі жүйелерді талдаудағы компьютерлік модельдеу зерттелетін объектінің математикалық-логикалық күйін модельдеу, объектінің қызметтік алгоритміне айналатын, компьютерлерге арналған бағдар-ламаларды комплексті түрде дайындайтын имитациялық модельдеу болып табылады.

Кез-келген объект күйін имитациялауға болады, бірақ имитациялық модельдеу бәрінен бұрын таңдалған басқару стратегиясына тәуелді күрделі жүйелердің алдағы уақыттағы күйін болжаудың зерттелуін қарастырады.

Графикалық интерфейстер мен қолданбалы бағдарламалардың графикалық пакеттерінің дамуының негізінде объектінің сыртқы түрі мен құрылымын компьютерлік модельдеу кең таралды.

Қазіргі кезде компьютерлік модель ретінде:

- өзара байланысты компьютерлік суреттердің, кестелердің, схемалардың, диаграммалардың, графиканың, анимациялық фраг-менттердің, гипертекстердің көмегімен сипатталған объектінің шартты бейнесі айтылады. Бұл түрдегі компьютерлік модельдер құрылымдық-функционалдық деп аталады;

- түрлі факторлардағы объектіге әсер ету шарттарының функциялану процесін имитациялауды реттелген есептеулер мен графикалық бейнелеулер нәтижесін шығаруға мүмкіндік беретін жеке бағдарламалар комплекстері аталады.

Мұндай модельдер имитациялық компьютерлік модельдер деп аталады.

Имитациялық компьютерлік модельдеу модель бойынша модельдеуші жүйенің сандық және сапалық функциялану нәтижесін алуға негізделген. Модельдерді талдау нәтижесінде алынған сапалық қорытындылар күрделі жүйенің: құрамы, даму динамикасы, орнықтылығы, бүтіндігі сияқты бұрын белгісіз болып келген қасиеттерін ашуға мүмкіндік береді. Сандық қорытындылар негізінен жүйені сипаттайтын болашақ және бұрыннан белгілі параметрлердің мәндерін түсіндіруде болжамдық сипатты иеленеді.

Компьютерлік модельдеудің пәні ақпараттық есептеу желісі, технологиялық процесс болуы мүмкін.

Компьютерлік модельдеудің мақсаты – экономикалық, әлеуметтік, ұйымдастырушылық/техникалық сипатта шешім дайындап, қабылдауға пайдаланылуы мүмкін мәліметтер алу.

Компьютерлік математикалық модельдеу информатика пәнімен технологиялық жағынан байланысады. Компьютерлер мен ақпаратты өңдеудің сәйкес технологияларын пайдалану экологтардың, экономистердің, физиктердің және т.б. қызметтерінің ажырамас бөлігі.

Төменде келтірілген анықтамалар модельдер мен олардың айырмашылық ерекшеліктерін нақтылай түсінуге көмектеседі.

Табиғи (физикалық, заттық-энергетикалық) модельдеу – модель мен модельдеуші объект өзара нақты объектілерді немесе бірдей/түрлі физикалық процестерінің табиғатын бейнелейтін модельдеу.

Программалыќ модельдеу (Program document modification) –

1) ќұрылғының немесе жүйенің іс-әрекетін программаның көмегімен

модельдеу;

2) программалыќ жасаќтаманың жұмысын модельдеу [1].

- объект және объекті элементтерінің қасиеттеріне, параметрлеріне, сыртқы әсерлердің күйін сипаттаумен анықталатын математикалық қатыстар (формулалар, теңсіздіктер, теңдеулер, логикалық қатыстар) тілінде жазылған жиынтық;

9-сурет. Математикалық модельдеу процесінің жалпы схемасы

Математикалық модельдер химия, биология, экология, гуманитарлық және әлеуметтік ғылым салалары үшін дәстүрлі модель түрі болып табылады.

Статистикалық модельдер уақыт мезетіне тәуелсіз жасалатын өзгерістерге орай объектілердегі тыныштық пен тепе-теңдік күйін бейнелейді. Бұл модельдерде уақыт параметрі болмайды.

Модель құру нәтижесінде анықталған қатынастарда негізгі объектімен сәйкес келетін жаңа объект құрылады. Жаңа объектінің модельдеу объектісі болу мүмкіндігі бар. Демек, әрбір объекті түрлі модельдерге ие. Нәтижесінде кейбірі басқа объектілердің модельдері болатын объектілердің шексіз жиыны алынады. Осы жиын мен оның элементтері арасындағы қасиеттерді қарастырамыз.

Теория жүзінде объектілер мен модельдер жиынында:

• 
  объект пен басқа объект арасында;
  
• 
  объект пен оның моделі арасында;
  
• 
  объект пен басқа объект моделінің арасында;
  
• 
  модель мен модельденуші объект арасында;
  
• 
  модель мен басқа объект арасында;
  
• 
  модель мен объектінің басқа моделінің арасында
  
• 
  модель мен басқа объектінің моделінің арасында
  

Объект пен оның модельдері арасындағы қатынастары қасиеттер арқылы сипатталады.

Модельдің ең басты қасиеті модельдеу мақсатына байланысты кейбір қатынастардың модельдеу объектісіне ұқсастығы болып табылады.

Математикада ұқсастық қатынасы симметриялық, рефлексивтік, транзитивтік қасиеттермен өрнектеледі.

Кез-келген зерттеу объектісін кейбір қасиеттерде бір бүтінді бейнелейтін өзара байланысты элементтер тобынан құралған жүйе ретінде қарастыруға болады.

Бір жүйенің әрбір элементіне басқа жүйенің єрбір элементі сәйкестенетін (және керісінше) өзара бірмәнді сәйкестігі бар екі жүйе изоморфты деп аталады.

Бір жүйенің әрбір элементіне басқа жүйенің элементі сәйкестенетін (керісінше емес) өзара бірмәнді сәйкестігі бар екі жүйе гомоморфты деп аталады.

Модельдеуге қатысты келесі жүйелердің изоморфтылығы мен гомоморфтылығы туралы айтуға болады:

- модельдер мен модельденуші объект;

- бір объектінің түрлі модельдері.

Құрастырылымды объектілер ретінде әлеуметтік және табиғи объектілерден басқа адамның құруындағы объектілер аталады.

Изоморфты (гомоморфты) модельдер тек құрастырылымды объектілерден тұрады. Кейбір модельдердің объектіге изоморфты модель болатындығы туралы тұжырымдар объектіні үйренуден ақпаратты жоғалтпай модельді оқып үйренуге өтуге, модель бойынша объектіні бірмәнді қалпына келтіруге мүмкіндік береді.

Бір объектінің бір-біріне изоморфты екі түрлі моделі объект туралы бірдей ақпарат береді.

сапалық бағалау түрлерін қарастыру

Кез-келген құралдың шектелген қолданылу аясы бар.

Модельдердің сандық, сапалық сипаттамалары:

- моделін оқып үйрену негізінде жасалған модельдеу объектісінің күйі бағасын дәл болжауға;

- модельдеу мақсатына сәйкес берілген модельдің қолданылу шегін анықтауға қажет.

Құрылған модельдерді:

• 
  модельдің сыртқы түрін түпнұсқаға сай көрнекі құру;
  
• 
  модельденуші объекті құрылымын толықтай бейнелеу ;
  
• 
  модельденуші объект күйі туралы көбірек болжамдар жасауға
  

Бұл жетілдірулер модельдеу мақсаты тұрғысынан өзін-өзі ақтауы тиіс.

Құрылым – элементтер жиыны мен олардың арасындағы байланыс. Модельденуші объект құрылымын толықтай бейнелеуді жетілдіру қарастырылатын элементтер санын ұлғайту, олардың арасындағы қатынастар мен қатынастардың параметрлерін нақтылаумен сәйкестенеді.

Ақпараттық модельдердің негізгі сандық бағаларының бірі оның күрделілігі.

Құрылымның күрделілігін оның ең кіші сипаттамасының ұзындығы ретінде түсіну керек (А.Н.Колмогоров бойыншы күрделілік).

Алгоритмнің күрделілігі оны орындауға жұмсалатын уақыт пен қажетті ресурстар (ЭЕМ, оның жады көлемі, қажетті аппараттық/ бағдарламалық жабдықтар) арқылы анықталады.

Құрастырылымды емес объектінің негізгі күрделілік бағасы оның шексіз көп элементтерінің болуымен байланысты. Элементтердің мұндай жиыны дискретті әрі үзіліссіз ұйымдастырылуы мүмкін.

Құрастырылымды емес объектілер негізінен сапалық жағынан бағаланады.

Егер объект күйі белгілі заңдылықтарға бағынып, бастапқы шарттармен бірмәнді анықталса, сәйкес детерминациялық модельдер белгілі физикалық, математикалық, экономикалық заңдар негізінде оның болжамдылығы тұрғысынан сандық бағалануы мүмкін.

Детерминациялық модельдер ортасынан күйі модельденуші объект күйі сияқты бастапқы шарттардың өзгеруіне сәйкес орнықты модельдер бөлінеді.

Модельденуші объектіге түрлі кездейсоқ әсерлердің ықпалын ескеріп, объект күйінің ықтимал (стохастикалық, индетерминациялық) моделін құру қажет. Ықтимал модельдің сандық бағасын ықтималдық теориясы мен математикалық статистика негізінде алуға болады.

Индетерминациялық модельдер орта мән (математикалық күтім), орта мәннің орташа ауытқуы (дисперсия) сияқты көрсеткіштермен сипатталады.

Модельдерді келесі параметрлер бойынша сандық бағалауға болады:

объектінің сыртқы түрін модельдеуде:

- физика-химиялық сипаттамалардан (өлшемі, салмағы, түсі т.с.с.) берілетін дәлдік (өлшеу қателігі);

• 
  пропорцияны, масштабты сақтау;
  

• 
  бейнеленетін элементтер мен олардың өзара байланыстарының
  

- элементтер салмағы мен олардың арасындағы байланысты бейнелеу дәлдігі (дөңгелектеу қателігі);

• 
  объект құрылымын деталдау (ірілендіру);
  

- элементтер санының орташа мәні мен бұл мәннен орташа ауытқуы (дисперсия);

• 
  орта бағалардың дәлдігі (сенімділік аралығы);
  

- объект қатысатын себеп-салдарлық байланыстарды ескеру дәлдігі

(есептеу қателігі);

- дискретті модельдер (дербес жағдайда сандық) көмегімен үзіліссіз процестерді модельдеуде дискреттеу қадамдары (кванттық уақыт периоды);

• 
  модельдеу процесінің уақыт параметрі бойынша бейнеленуінің пропорционалдылығы (теңөлшемділігі);
  

- модельденуші объект күйі параметрлері таратылымының ықтимал заңдары;

• 
  объектінің бақыланатын күйі мен оның моделі арасындағы айырымның статистикалық мәнділік деңгейі.
  

• 
  модель мен объектінің ұқсастық алмасу дәрежесі (жоғары, орта,
  

• 
  модель бойынша объектіні тану дәрежесі (танылды, тануға болады,
  

• 
  модель бойынша объект күйін алдын-ала болжау дәрежесі.
  

Егер біз математикалық модельдеуді компьютерде атқаратын болсақ, машина есептеу барысында зерттеушіні қызықтыратын кез –келген мәліметті бере алады. Бұл мәліметтердің сенімділігі құрылған модельмен анықталады. Осы себеппен қолданбалы зерттеулерде ешқандай толық түрдегі, басқа сөзбен айтсақ, өндірістік есептеулерді құрылған программа көмегімен бірден орындауға болмайды. Ол үшін алдымен тесттік есептеулер кезеңін өткізу керек. Олар программаны түзету үшін ғана емес, алгоритмді құру мен оны программалық іске қосу барысында жіберілген қателерді тауып, түзетуге арналған.

Бұл алдын –ала есептеулерде математикалық модель де сынақтан өтеді, оның құбылысты қаншалықты дұрыс сипаттайтынын, шын өмірдегі жағдайға қаншалықты сәйкес келетінін анықтайды. Ол үшін бір қатар сенімді өлшеу нәтижелері бар бақылау тәжірибелерін қайта есептеп, жауабын алынған нәтижелермен салыстырады.

Бұл жағдайлар параметрлерінің кіші шамалары үшін орындалады, яғни, толыққанды зерттеулер жүргізген кезде пайда болатын қиындықтар тумайды. Осы нәтижелерді есептеу, нәтижелерімен салыстыру арқылы математикалық модельді анықтауға, модель көмегімен алынатын болжамның дұрыстығына көз жеткізуге болады.

Бұл кезде модельде алынған нәтижелердің зерттелуші обектіге сәйкестігі талданады. Модель негізінде зерттеуші есептеу тәжірибелері көмегімен модель негізінде қойылған сұрақтарға жауап алып, тиісті талдаулар жасайды. Талдау барысында гипотезалық модель мен есептеу алгоритмі сәтті таңдап алынады ма деген сұраққа жауап беріледі. Егер модель зерттелетін обектіге сәйкес келмесе, модель құрудың бастапқы сатысында –ақ маңызды нәрселерді елемей кеткетніміз. Бұл жағдайға модельді анықтап, жетілдіруге тура келеді. Егер оның негізіндегі мүмкіншілігі жоқтығы анықталса, алғашқы берілген жағдайлар қайта қаралып, жаңа модель құрылады. Мысалы, алынған модель таңдалатын параметрлерді болса да анықталған параметрді есепке алу үшін барлық кезеңдерді қайталау керек. Зерттелетін объектіні жеткілікті дәрежеде толық және таңдап алынған критерийлер бойынша қажет етілген дәлдікпен сипаттаса, модеь құрылып, аяқталады деп есептеуге болады.

Осындай ұзақ қиын жұмыстардан соң ғана есептеу тәжірибесінде болжам жасау кезеңі келеді. Модель көмегімен әлі тәжірибе жасалмаған немесе тәжірибе жасау тіпті мүмкін емес жағдайлардағы зерттеуші объектінің мінез –құлқы болжамдалады. Яғни, болжам жасауға дайын модель алынды, немесе модель зерттелетін құбылысқа адекватты -модель арқылы жасалған болжам тәжірибе нәтижелерімен сәйкес келеді деп айтуға болады.

құралы және оқытудың объектісі ның ретінде қарстыру

Компьютерлік модельдеу жаңа, әрі қиын тақырып болып табылады. Мұнда көптеген күрделі ұғымдар бар, сондықтан да әдістемелік нұсқауда аса абстрактілі анықтамалардын гөрі модель, компьютерлік модель, жүйе, элемент деген ұғымдарды модельдердің негізгі қасиеттерін ескере отырып мысалдар арқылы көрсетуге болады.

Компьютерлік модельдеуді физика, география, биология курсында кең пайдаланудың бірінші себебі техникалық жағдайларға байланысты болса, екінші бір себебі қауіпсіздік ойымен. Сонымен қатар, компьютерлік модельдеу эксперимент жүргізу барысында нақтылы объектіге қарағанда үлкен икемділік қамтамассыз етуге, уақыт жүрісін баяаулатып немесе тездетіп, өрісті қысып немесе кеңейтіп, әрекеттерді қайталап немесе өзгертіп, процеске кездейсоқ оқиғалар ендіруге мүмкіндік туғызады.

Компьютерлік модельдеудің негізгі ұғым, әдістері мен танысу оқушылардың өздеріне таныс бағдарламалық құралдарды жүргізу арқылы жүргізіледі. Оқытылатын модельдер ақпараттың көлемі жағынан қарапайым. Барлық қажетті ақпаратты компьютерге сабақ барысында ендіруге болады, қосымша алгоритмдер мен берілгендерді даярдау мүлдем қажет етілмейді.

Оку процесіне компьютерді енгізу тәжіибесі негізгі 3 қиындықты шығаруға көмектеседі. ЭЕМ көмегімен оқыту теориясы, компьютерлік оқыту технологиясы, оқытушы программаларды жобалау әдістемесі. Бірінші топтың мәселелерінің шешуі ЭЕМ арқылы оқыту жұмысын басқару процесімен тікелей байланысты болатын оқыту жұмысының негізгі құраущыларының жаңа анализіне сүйену керек. Теория мен практиканың жүзеге асуының арасындағы байланыс ретінде оқыту технолногиясы алынады. Сонымен қатар көптеген психоогиялық, мәселелер туындайды олардың қатарында оқыту процесіндегі компьютердің орны, автоматтандырылған оқу, курстарын жүзеге асырудағы мұғалімнің рөлі, пайдаланушы мен компьтер арасындағы қарым –қатынас, қолданушы мен ЭЕМ диалогын ерекшеліктері оқытуды компьютерлендіруде негізгі звено ретінде оқыту программалрын жобалаудың әдістемесі.

Автоматты түрде компьютерді басқаруды құрастырушылардың пікірінше, компьютерлендіруде керекті ерекшеліктерді есепке алу керек. Оқу орындағы АБЖ –ды құрастыру облысында және дербес жағдайда компютелік технологияға тікелей назар аударуға бағыталған оқытудың автоматтандыру жүйесінде жүргізілетін ғылыми зерттеулер компью-терде жұмыс істейтіндердің психофизиологиялық сипаттамаларын жиі еске алмайды. Компьютерлерді әр түрлі сфераларда келісімсіз және жұмыстың біріңғай координациясын қолдану компьютеризацияның көптеген концепциялардың туындауына әкелді. Оқу орындарының оқыту процесінің моделін УСУ–да, компьютерлендірудің идеясы және тәсілдеріне негіздене құру ең алдымен адамның психологисын зерттеуге есепке алуға бағытталуы керек. Ең алдымен оқушылардың өздерінің еңбегінің нәтижелеріне деген қызығушылығын орнықтыру. Дәстүрлі оқытудың жүйелерінің бір кемшілігі белгілі бір дисциплина бойынша ойлаудың зерттеудің жалпыланған тәсім, ойлаудың моделін құрудың , одан оны оқу процесіне есептеу техникасын пайдаланудың тәжірибесі көрсеткендей компьютерлендіру адамның психикасына күшті әсер етеді және осы әсердің психологиялық салдарын тұрақты түрде зерттеу керек. Оқытудың компьютерлік технологиясы жеке тұлғаның психофи-зиологиялық ерекшелігін тануға, әсіресе ашық шығармашылық қабіле-тіне деген қызығушылықты арттырады.

ЭЕМ –ны қолданудың бірінші сатыларында жаңа «формалданатын» және «формалданбайтын» алгоримдер деген термин пайда болады. Ойлаудың алгоритмдік моделі ЭЕМ –да жүзеге асуы мүмкін, бірақ шығармашылықтың табиғатына қатысты ол қатаң алгоримге келтірілмейді, керісінше, бұрын оқылған және меңгерілген алгоримдік процедуралардан ерекшелінетін ойлау тәсілінде көрініс береді. Оқыту процесінің моделін құрастыруда сценарийлердің көптеген түрлерімен көрінетін ЭЕМ –мен оқушының диалогының шығармашылық емес формаларын есепке алу керек. Танымдық іс -әрекетті ойлаудың алгоритм тәрізді және шығармашылық табиғаты бойынша бақару ЭЕМ –ң көмегімен мамандарды кәсіби даярлаудың сапасын арттыруына қол жеткізуге болады, соның ішінде ауыл шаруашылығында да АБЖ шеңберінде адамдық зерттеудің кешенді психофизиологиялық ішкіжүйелерін құру перспективті болды. Тестілеудің көмегімен тұлғаның психофизиолгиялық ерекшеліктерін айқындалады. Оқу процесі қуаныш әкелу керек, жеңіл болу керек, оқушылар кәсіби түрде дайын болу керек. Ол үшін оқу материалын қайтадан қарастырып және оның көмегімен дұрыс анықтау, білімдердің меңгерілуін оперативті бақылауып құру қажет. Жоғарыда көрсетілген мәселелерді шешу компьютерлік технологияға негізделген оқу процесін модельдеуге көшуге мүмкіндік береді.

Егер дайын модель таза компьютерлік болмаса, яғни абстрактылы, онда онымен оқыту жұмысының мақсаты -түпнұсқаны модельмен байланыстыратын нақтылық туралы білімдерді модельден алу.

Мұндағы оқытудың негізгі әдісі (поисково -иследовательский) іздемелі –зерттеу әдісі болып табылады, әсіресе мұндай зерттеу мүмкін емес және нактылық жағдайында орындалуы қиын болғанда. Мысалға , алатын болсақ жерде қала отырып Айдың тарту күшін жағдайындағы дененің құлауымен тәжірибе жасау мүмкін емес.

Ой жұмысы операциялары ішінен модельге кезекті тәжірибе жасау кезіндегі нәтижелерді талқылаудағы конкретизация мен модельге келесі тәжірибе үшін бастапқы берілгендерді таңдаудан кейінгі абстаркця кезектестігін ерекшелеп кетейік.

Егер модель информатиканың оқыту мақсаттарына қызмет етсе, онда онымен жұмыс істеудің қорытындысында оқушының ойлауыда өзгереді. Бұнда алғашында модельдеу туралы айтпауға да болады. Компьютер экранында компьютерлік модеьдеудің, орнында шынайы робот тұрмағандығын ол байқамауыда мүмкін.
Модельдеуді оқыту

Қоғамның қарқынды ақпараттану дәуірінде адамның жан –жақты дамуы үшін ақпаратты жинақтай білудің, болжамдар мен қорытындылар жасай білудің маңызды роль атқаратындығы көпшілікке түсінікті болып келе жатыр.

Әсіресе, информатика курсының жалпы білімділік функцияларына, оқыту мен тәрбиелеудің басты міндеттерін атқару барысындағы потенциалдық мүмкіндіктеріне өзгеше назар аударылуда. Осыған байланысты оқыту процесіне білімгердің білімпаздық дағдыларын, білгендерін өз беттерінше жүйелеп және ақпараттық кеңістікте қажетті бағытты анықтап үйренуін, шығармашылық тұрғыда ойлана білуін қалыптастыруға, дамытуға тікелей ықпал ететін проектілік әдістің ролі артып отыр. Проектілік әдістің пайда болуы , дамуы, мақсат -мазмұндары және оны информатиканы оқыту процесінде қолдану технологиясы туралы мәселелер жұмыстарында қарастырылған болатын.

«Математикалық модельдеу» бөлімі бойынша ұсынылатын проектілерді орындауға кіріпес бұрын «модельдегі» шарттылықты, яғни нақты процессті немесе құбылысты сипаттау үшін қолданылатын кез –келген модельдің «жуықтаушылық» ролін айқындап көрсетуі қажет.

Оқу проектісі негізінен біртіндеп рет-ретімен орындалатын тапсырмалардан тұрады. Олар жаңа материалды меңгерту, бұған дейін алған біліктілігін машықтарын жинақтап қолдану, шығармашылық ізденістер жүргізу, теориялық білімдерін бекіту және т.б. тапсырмалар түрінде анықталуы мүмкін.

Біздің қарастыратын жағдайымыз бәріміз үйренуге және білуге тиіс стандартты жағдай.

Компьютер көмегімен кез келген есепті шешу мына төмендегі бір –бірінен тәуелсіз бірақта бір–бірімен логикалық байланысқан кезеңдерден тұрады:

1 Есептің қойылуы:

а) Есептің мамұнын түсіну;

ә) Есеке талдау жүргізу, оның мақсаты;

• 
  Бастапқы берілгендерді анықтау;
  
• 
  Аралық шамаларды анықтау,
  
• 
  Есептің шешімінің нелер болатындығын анықтау;
  
• 
  Қандай шарттардың орындалуына есептің нақты шешімдері болатындығын анықтау
  

Мектеп курсында негізінен есептің математикалық моделін құру қарастырылады. Есептің моделі мына мәселелерді оң шешуге мүмкіндік береді.

а) берілгендерді толықтығына анықтауға;

ә) берілгендердің структураларын анықтауға;

б) есептің шешілуінің сандық әдісін анықтауға;

3. Есепті шешудің тиімді тәсілін таңдау.

Бір есепті шешудің бірнеше әдісі бар болуы мүмкін. Есептің қойылуы ерекшелігіне сәйкес белгілі бір сандық әдістердің (тәсілдердің ішінен ең тиімдісін таңдай білуіміз керек).

Сонғы екі кезең компьютердің өз жұмысын тиімді түрде ұйымдастыруға және жүргізуге мүмкіндік береді.

4. Жазылған алгоритм негізінде есепті шешудің пргграммасы құрылады, яғни есептің шешілуінің компьютерлік моделі жасалады.
7-ДӘРІС

Тақырыбы: Математикалық модельдеу. Математикалық модельдің құрылуы.

Мақсаты:
Математикалық модельдерді қолданып есептерді аналитикалық жолмен де шығаруға болады. Бірақ көп жағдайда есептеудің сандық әдістері қолданылатындықтан компьютерде модельдеудің маңызы зор.

1-суретте есепті математикалық модельдеу жолымен шешу процессінің қадамдары көрсетілген.

1-сурет
Бірінші қадамда модельдеудің мақсатын анықтау үшін келесілерді ескеру қажет:

1. 
   нақты объектінің (процесстің) табиғатын, оның құрылымын, негізгі қасиеттерін, табиғаттың басқа объектілерімен өзара әсерін түсіну үшін модель қажет;
   
2. 
   объектіні немесе процесті басқара білу үшін және қойылған мақсатты және шарттарды ескеріп, басқарудың ең тиімді тәсілдерін анықтау үшін модель қажет;
   
3. 
   объектіге әсер ету тәсілдері мен формаларының тура және қосалқы нәтижелерін талдау үшін модель қажет.
   

Объектіге басқа әсердің салдарларын болжау физикалық процесстер үшін аса қиын мәселе болмаса, биология-экономикалық, әлеуметтік жүйелерде бұл мәселенің шешілуі өте күрделі, кейде мүлде шешілмейтіндей болады.

Объектіні тек түсіну үшін құрылған модельдерді дескриптивті, басқаруға арналған модельді оптимизациялау, болжауға арналғанды болжаушы модельдер деп атайды.

Одан басқа ойын, имитациялық, статистикалық және басқа модельдер түрлерін келтіруге болады.

Математикалық модель ұғымын түсіндірейік. Объектіге немесе процесске әсер ететін шамалардың тізімін және модельдеу нәтижесінде алынатын шамалардың тізімін құрайық. Алғашқы шамаларды x₁, x₂,…,x_n алынатын шамаларды y₁,y₂,…,y_n деп белгілейік. Онда объектіні немесе процессті символды түрде былай сипаттауға болады.

Y_j=F_j(x₁,x₂,…,x_n), (j=1,2,..,k) (1.1)

Мұндағы F_j нәтижеге жету мақсатында алғашқы шамаларға қолданылатын амалдарды сипаттайды. F_j(x₁,x₂,…,x_n) жазуы кейбір қарапайым жағдай үшін функция ұғымымен бірдей болғанымен функция ұғымынан кең мағынада қолданылады.

Алғашқы шамалардың мәні көп жағдайда мысалы классикалық механикада дәлме-дәл беріледі. Алғашқы шамалардың мәні дәл емес қандайда бір дәрежелі ықтималдықпен берілуі де мүмкін. Мұндай процесстерді кездейсоқ процесстерге жатқызамыз.

Модельдеудің маңызды сатысы алғашқы параметрлерді соңғы парметрлерге әсер етуінің дәрежесіне қарай топтау. Модельдеудегі табыс, мақсатқа жетудің жылдамдығы мен тиімділігі маңызды факторлардың қаншалықты дұрыс ерекшеленгеніне байланысты. Екінші қадамда модельдің математикалық сипатталуын жасау. Бұл қадамда абстракциялық тұжырымнан математикалық тұжырымға көшу талап етіледі. Осы кезеңде модель математикалық теңдеулер, теңсіздіктер, теңдеулер немесе теңсіздіктер жүйесі түрінде, дифференциалдық теңдеулер мен теңдеулер жүйесі түрінде жазылады.

Математикалық модель құрылып болғаннан кейін оны зерттеудің математикалық тәсілін таңдайды. Егер ЭЕМ-ге арналған тәсіл таңдалса сәйкес программасы жазылады немесе бұрынғы дайын программа қолданылады. Программаны құрып болғаннан кейін оны тестілеу есебі енгізу қажет. Программадағы синтаксистік қателермен семантикалық қателер жойылып болғаннан кейін де жауаптың қанағаттанарлық екендігін тексеру маңызды. Программаның берілгендеріне әр түрлі мәндер бере отырып нәтижені талдау қажет.

Алынған сандық мәндерді эксперимент нәтижелерімен салыстырып модельдің қаншалықты дәлдікпен шын объектіге сәйкес келетінін, яғни адекваттылығын тексеру қажет. Модель немесе процесс адекватты болмаса алдыңғы қадамдардың біреуіне қайта ораламыз.

Қазіргі кезде компъютерлік математикалық модельдеудің жетістіктері абстрактілі, «көрінбейтінді» ғылыми графиканың көмегімен көрнектілеуге болады. Мысалға математикалық моделі бар болса қатты денені қыздыру кезіндегі температураның таралуын компьютерлік графиканың көмегімен оңай бақылауға болады. Сол сияқты басқа планета бетінің құрылымын, жер асты металлдарының таралуын тағы басқа көптеген мысалдарды келтіре отырып математикалық модельдеудің маңыздылығын айтуға болады.

Қорытылған металл беті айналмалы станның рольгангі бойынша үлкен жылдамдықпен қозғалады. Егер де оның жолында кедіргі кездесіп қалса не болады?

Кенеттен атмосфераға улы газдың шашылуы пайда болды. Солтүстік қатты желінде қауіпті бұлт қалай өзін ұстайды? Ал егер де орташа шығыс немесе әлсіз оңтүстік болса? Егер сол уақытта жаңбыр немесе қар жауса жауса орта қалай өзгереді? Үлкен жылу электростанциясын қаланың жанына салу қажет пе? Егер салса, онда үлкен аудандардан ары шығыста немесе батыста. Немесе экологиялық ахуалды болдыртпау үшін мүлдем құрылыстан бас тарту керек.

Адамзат шығармашылық үрдісінде көптеген сұрақтар туындайды. Ал жауапты алу үшін шынайы зерттеудің көмегімен, бұдан үлкен ақша пайда болатын немесе адам өміріне қатты қауіп төндіруі мүмкін. Ал басқа зерттеуге мүмкін емес объектілермен, мысалы, жер астында немесе алыс ғаламшарда орналасқандармен қалай болуға болады? Мысал үшін, Күн тереңдігінде немесе Күн жүйесінің планетасында қандай үрдістер пайда болады? Механикалық өңдеуде материал дайындауы өзін қалай ұстайды? Металлургиялық комбинатта айналу станында ерітілген металл бөлшегін қарау немесе қолмен ұстап көру мүмкін емес. Мұнда специалистке қоршаған шақта оқудың негізі формасы- математикалық модельдеу көмекке келеді.

Математикалық модельдеу- бұл қатынастар формула, теңдеу, теңсіздіктер және т.б. объект немесе құбылыстың шынайы қасиетін анықтайтын математикалық қатынастар.құбылысты сипаттау үшін оның ең шынайы қасиеттерін, заңдылықтарын, ішкі байланыстарын, құбылыс мінездемесінің басқа ролін көрсету қажет. Қажетті деген фактордарды ерекшелеп, ұдайы заттығын алуға болады. Компьютерде эффектілі математикалық модельді алгоритмдік модельддің есептеуіш бақылауға сәйкес келмейді, егер де модельде шыңдықта ең қажетті мәселелер қарастырылмайтынын шыңдауға болады. Сонымен, есептің шешімі үшін математикалық модельді құру үшін:

1. 
   Математикалық модельде негізделетін болжауды ерекшелеу;
   
2. 
   Шыққан берілгендер мен қорытындыны анықтау;
   
3. 
   Қорытындыны шыққан берілгендермен байланыстыратын математикалық байланысты жазу.
   

Есептеуіш техника негізін, алгоритмдеуді, программалауды, және компьютерлік модельді құру технологиясын білу өзінің мамандық аймағында есептеуіш техниканың мүмкіндіктерін қолданылатын маман дайындаудың ең негізі кілті болып табылады. Қызықты және қажетті практикалық қолданбалы есептерді шешу үшін жаратылыстану ғылымдарында алған білімін қолдану қажет. Бұл ЭЕМ маман, инженер, ғалымның, шығармашылық потенциалды күштейтін зерттеушінің дәл және үлкен құралы мақсатты түрде құрастырылады. «компьютерлік модельдеу» терминімен есептеуіш бақылауды жазған А.А.Самарскиймен тығыз байланысты. Технологияның зерттеуі қарастырылған объектінің ЭЕМ математикалық модельдеудің көмегімен анализ құруда негізделген.

Зерттеу объектісі ретінде материалдық дене (сұйық, қатты, деформациялық, газ тәсілді) сияқты әртүрлі үрдістер және физикалық құбылыстар түрінде түсіндіріледі. Есептеу бақылауының бірінші деңгейінде көптеген қасиеттердің тәжірибелері, берілген уақыт мезетіндегі көңіл аударылған объект қаралады. Металл қысымының өңдеу процессінің анализін жасағанда, химиялық реакциясы және электрлік қасиеті қарастырылады; ғарыштық ақпараттың жер атмосферасында емес жылжу моделін құрастырғанда ақпараттың мықтылық қасиетін ескермей- ақ классикалық механиканың теңдеуін қолдануға болады; заттың химиялық құбылуларын қарастырғанда материалдың классикалық, мықтылық қасиеттерін зерттеулерінің еш маңызы жоқ.
Математикалық модельдің құрылуы .

Математикалық модель объектінің жағдайын сипаттайтын, ондағы символдар мен операциялар арқылы берілген бірінші бөлім заңдылықтарындағы белгіленген жазбаға негізделген (формалданған). Жалпы алғанда математикалық модель мынадай теңдіктерден: (алгебралық, қарапайым дифференциялдық немесе интегралдық интегро – дифференциялдық), бастапқы және шекті шарт теңсіздіктерінен құралады. Бұл бөлімде шешімдердің болуы, берілген мәндерге қарамастан шешімдердің қалыптылығы құрылған. Егер берілген теңдіктердің шешімдері айқын болмаса, онда есептеуіш техника көмегімен жуық шешімдерді дискреттік жолдармен табуға болады. Шешім табуға арналған әдістерді қарастыру бөлімінде: теңдіктердің аппроксимацияланған ретін анықтау, сандық нәтижелердің шартын табу, берілген есп нәтижелерінің дұрыс болуын қажет етеді. Программалау бөлімінде есептеуіш машина арнайы кодтау тілінде жазылған есеп шешіледі. Модульдік, құрылымдық, программалық программалау бар. Алынған нәтижелерді талдау бөлімінде, шешімдерді алу үрдісі адамдардың жоғары дамыған интеллектуалдық қасиетін қажет етеді.

Яғни, бұл бөлімде үлкен көлемдегі сандық ақпарат кесте, график изосызық арқылы беріледі. Бөлімнің негізгі мақсаты- компьютерлік модельдеудің берілгендерінің нәтижелеріне сәйкес келуі. Матаматикалық модельдеудің мақсаты- объектілерінің функциялық сипаттамасы емес, оның қалыпсыз жағдайларындағы болжамы. Компьютерлік модельдеуді қолданудың негізгі бағыттарының бірі- объектке ішкі әсер ететін тиімді нұсқаларды іздеу. Функциялаудың мақсаты жоғарғы көрсеткіштерін өлшеу, яғни максималды өңдірушілік,минималды бағасы, жоғарғы кіріс және аз көлемдегі шығыс.

Математикалық моделдеуде объектінің зерттелуі математика тілінде жасалған модельді құрастырудан басталады. Математикалық моделдеу ретінде Ньютонның математикалық құралдар арқылы мехиканың негізгі заңдылықтарын ашуы.

1 мысал.Бірқалыпты қозғалу динамикасы. Ньютонның ІІ заңы бойынша:

m*(d*V/d*t)=m*(d²*x/d*t²)=F(m=const)

мұндағы m- дененің массасы, х – жол, v- жылдамдық,

F- денеге түскен күш, t – уақыт.

Бұл теңдік бірқалыпты қозғалыстың математикалық моделі. Күш F - өзгермейді, бірақ координатқа, жылдамдыққа, уақытқа т.б байланысты болуы мүмкін, яғни оңай жағдайларда ғана шешілетін дифференциалдық теңдеу. Жалпы сандық әдіс жақын теңдеулер алу үшін құрылған:

^V~F(x,V,t,…)^t/m;

^x~V^

V_n+1=V_n+F(x,V,t…)^t/m;

Егер t=0 болғанда, х,у бастапқы мәндері берілсе, онда бұл формулалар x,v-ны ^t уақыт аралығында табуға және т.с.с. сондықтан келесі уақытты табу x_n+1, V_n+1 тең болады t_n+1=t_n+^t

Бірақ бұл үрдіс тым ұзаққа созылады, сондықтан есептеуіш машинаны қолданамыз.

Есепте егер F жылдамдыққа байланысты үйкеліс күші F_tp , онда математикалық тәуелділікті білу қажет. F_tp (V). Оны былай анықтауға болады: Жылдамдық аз болғанда күш жылдамдыққа пропорционал болады, егер жылдамдық артса, онда сызықтық тәуелділік байқалмайды.

F_tp=AV+BV³
2 мысал. Ресурстарды тасымалдау есебі.

Шектеулі мөлшердегі ресурстардан максимальды кіріс алу үшін әр төрт типтен Прод1, Прод2, Прод3, Прод4 қандай мөлшерде өнім өндіру қажет . Берілген өнім типтерді дайындау үшін 3 түрлі ресурс қажет: еңбек, шикізат, қаржы. Белгілі бір өнім типін шығару үшін жұмсалған ресурс мөлшерін шығыс мөлшері деп атайды.Шығыс мөлшері табыс, әр өнім типі сатылған мөлшері және ресурс көздері кестеде көрсетілген:

1 кесте

Ресурстар	Шығыс мөлшері				Барлығы
	Прод1	Прод2	Прод3	Прод4
Еңбек	1	1	1	1	16
Шикізат	6	5	4	3	110
Қаржы	4	6	10	13	100

2 кесте

Пайда
Прод1	Прод2	Прод3	Прод4
60	70	120	130

х_j – j типті өнімнің саны, j=1,2,3,4; х_j оң мәнді болу керек.

Енді модельді құрастырайық. Кіріске теңдеу құрайық.

2 кесте, Прод1 өнімін сату 60-қа тең, Прод2 – 70 тең. Яғни,

60х₁ +70х₂ +120х₃+130х_4.

1 кесте, Прод1 өнімін шығару үшін 6 шикізат көлемі, яғни бүкіл Прод1- гі өнімді шығару үшін 6х1 шикізат мөлшері қажет.т.с.с.Сонда

6х₁ +5х₂ +4х₃+3х₄ ≤ 110.

Теңсіздіктіңғ сол жағы қажет ресурстардың мөлшеріне тең, ал оң жағы бар ресурстардың мөлшерін көрсетеді. Ресурсты тасымалдау есебінің математикалық моделі:

60х₁ +70х₂ +120х₃+130х₄=> max

х₁ +х₂ +х₃+х₄ ≤ 16

6х₁ +5х₂ +4х₃+3х₄ ≤ 110

х_j ≥0; j=1,2,3,4.

Математикалық модельді шешу үшін жаңа немесе алдын ала құрылған алгоритм қажет. Модель берілгендер арасындағы тәелділікті сипаттайды, ал алгоритм іс-әрекеттің тізбегі, олар берлігендерден нәтижеге көшуді реттейді. Өзіміз 1 – ші мысалда қарастырып өткендей, кіретін мәліметтер – бұлар, мысалы, масса, күш , уақыт, ал шығатындар – жылдамдық, жол және үдеу. Егер модель мен алгоритм қиын болмаса, онда аналитикаллық зерттеу моделін құруға болады. Олай болмаған жағдайда компьютерде программа мен алгортм моделі құрылады. Айталық, мысалы, х- cosx=0 есебінде бір белгісіз теңдеуі берілген. Бұл есепте алгебрадан белгілі белгісіздік теңдеудің шешімін таба алмаймыз. Мұндай жағдайда сандық әдістерді қарастырып, шешімін алу мақсатында компьютерді қолдануға болады. Сонан соң модельдің анализін шығаруға және оқылып жатқан объектінің құрамы туралы көптеген ақпарат алуға, сонымен қатар тәжірибеден өткізу керек. Өткізілген тәжірибе есебінің қорытындысын ойлау.

Мысалы, фактілі және санаулы жылдамдықтар бір-біріне сәйкес келе ме? Бұл салыстырулар барабарлық модельдер, модельдік есептеулерге сенуге және оларды қолдануға болатынын көруге болады. Егер эксперимент есебінің шешімі қате болса, онда қатесін іздеп, дұрыс емес модельдерін немесе оның шешуіндегі алгоритмін жазу керек. Шыққаннан кейін және қателерден арылғаннан кейін тәжірибе есебін қайталаймыз. Сонымен, компьютерде келесі есептерді шешуге мынадай бөлімдер аламыз:

1. Есеп туралы ақпарат жинау;

Есеп шартын форматтау;

Есеп шешуде ақырғы мақсатты анықтау;

Форма шешімдерін шығарудағы анықтама;

Мәліметтерді суреттеу (оның типі, көлемі диапазоны, құрылымдары және т.б.)

2. Математикалық модельді құру;

Бар болатын аналогтарды анализдеу;

Техникалық және программалық әдістерінің анализі;

Мәліметтер құрылымын құру;

3. Алгоритм жобасының әдісін таңдау;

4. Программалау тілін таңдау;

5. Синтаксистік нақтылау;

6. Есептің шешімінің қорытынды анализі мен математикалық модельдің 2-5 бөлімінің қайталанып орындалуы, керек кезінде нақтылануы.

7. Программаның жүруі:

Есепті шешу үшін программаны жондеу;

Есепті шешуге, математикалық модельдерге, алгоритмдеуге,

программаға, текст алуға, пайдаланатын іс-қағаздар құрылады.
Компьютерлік модельдеу.

Физикалық есептердің модельдеуін мына мысалдарда қарастырайық:

Айталық, парашютші х=7 км биіктіктен секірді және оның алғашқы жылдамдығын V деп белгілеп алайық. Парашютші жорамалдап қандай уақытта парашютті ашу керектігін табу керек. Жерге дейін тым болмағанда х_кон=1 км және 30с уақыт қалуы керек. Оның массасы m=70кг, жеңіл құлағандағы үдеуі g=9,81м/с тең. Ауаға қарсы күш F_tp=AV+BV³ тең, мұнда, V – жылдамдық, ал коэфиценттер келесі мәндерге тең: А=5 Hc/м, В=10^-2 Hc³ /м³

Жылдамдықтың теңдігін жазайық: m(d²x/dt²)=mg-(AV+BV³)

Оны келесі түрге келтіреміз: V=dx/dt dV/dt=g-(AV+BV³)/m

Сонда жаңа екі теңдеу пайда болады.

Дәлірек дифференциалды жуықтауға айналдырайық:

x_n+1=x_n+v_nΔt (1)

V_n+1=V_n+(g-(AV_n+BV³n)/m) Δt (2)

t_n+1=t_n+Δt (3)

және t сұраймыз, бұнда V_n ,t_n берілген, V_n+1 ,t_n+1 табу керек және сонымен қатар V(t)-ны алуға мүмкіндік береді.

Бұл әдіс бірінші Эйлер әдісі деп аталады. Сосын есепті шешу алгоритмін құрып, содан кейін оны программалау тілінде жазады.

Алгоритм құру

1. 
   Басы
   
2. 
   Берілгендерді жазу g, m, A, B, x₀, x_кон, V₀, Δt және шектеулерді тексеру.
   
3. 
   Бастапқы мәндерін жазу: t=0, x=x₀, V=V₀.
   
4. 
   Цикл басы х>0, x≤ x_кон сияқты, уақытты толтыру t_кон= t. (1)-(3) формулаларды орындау. T уақытын шығару, жерге дейінгі қашықтық х-ті, жылдамдық V-ны шығару. Цикл соңы.
   
5. 
   Егер жерге дейінгі қашықтық 1 км-ге кеш дегенде 30 с уақыт қалса, онда парашютті t_кон секундтан кейін ашу керек. Әйтпесе, t=30с ерте ашу керек.
   
6. 
   Соңы.
   

REM «Парашютпен секіргендегі ауаның қарсы күші»

CLS

INPUT g, m, A, B, x₀, x_кон, V₀, dt.

WHILE x>0

IF (x< x_кон and t₁=0) THEN t₁=t

t=t+dt

V=V+(g-(AV+BV+3)/m)*dt

PRINT «t=»; t,«x=»; x, «V=»; V

WEND

THEN

ELSE

END

Мұнда жай қабылдауды қарастырамыз және оны іс-тәжірибеде жиі қолданамыз. ^t кішірейтіп және қарағанда, х-тің шешімінің өзгерісін қараймыз.

Қорытынды: ^t кішірейтілгенде оның жауабы, яғни х азая береді де, ал есп жауабы тура болады. Осыдан сұрақ туады: Неге ^t-ң кіші мәнін алмаймыз?

Жауабы: а аз болса, онда алгоритмнің мүмкіндігі көбейеді және оның шығуына көп уақыт қажет болады.

Гирлердің салмағы жүктің салмағымен тең болуы керек. N гирді өлшегенге дейін n-1 саны жазылады. Бұл гирлермен аналогиялық операциялар орындалады. Есептің шешімі форматталады. Шығатын сумма n байланысты. Бұлкөлемді сақтау үшін n мәні негізгі жұмысқа меншіктеледі. Гирдің ролін ақша номеналы ойнайды. Ақшалардың санын к айнымалысы арқылы анықтаймыз. К-ның алғашқы мәні 0-тең. Аналогиялық өлшеу бойынша, санды анықтау ең үлкен – 50 тиыннан басталады. Бүтін бөлігін қарастырып олырған номеналға бөлу арқылы келесі айнымалы табуға болады:

z(z=50,20,15,10,5,3,2,1) P=INT(NN/z)

К ақшалар саны табылған Р мәні қосылады, қалған сумма бұл төленген және шығатын сумма арасындағы айырмашылық: NN=NN-P*z.

Қалғаны шығатын сумма болып табылады. Бізге 8 түрлі ақша номеналы ғана берілген, сондықтан I(I=1,2..8) циклді көрсетілген.

Мысалы, READ-DATA операторларының көмегімен z ақша мағынасына тапсырма беріп және әртүрлі жолдармен шақыруға болады.

10 INPUT N; N

20 R=0

30 NN=N

50 FOR I=1 TO 8

60 READ z

70 P-INT(NN/z)

80 NN=NN-P*z

90 K=K+P

110 PRINT N ; «тиындарды төлеуге болады»; к «тиынмен»

120 end
Тестілеу

MathSoft фирмасының математикалық есептеулер жүйесі Mathcat 2000 Professional компьютерінде әр түрлі математикалық және техникалық есептеулерді орындауда қазіргі күрделі ең әмбебап және қазіргі заман талабына сай құрал болып табылады. Үйренуге өте қолайлы ол, сонымен қоса тек қана оқушылар мен студенттердің алдында тұрған есепті шешуге көмектесумен бірге, ол ғалымдардың алдына қойған есептерді шешуге де көмектеседі. Айтылған жүйе қолданушыға формуламен, сандармен, графиктермен және мәтіндермен жұмыс істеуге арналған құрал саймандар береді. Mathсat 2000 – да сандық және символдық әр түрлі қиындықтағы математикалық есептерді шешуге арналған екі жүзге жуық операторлар және логикалық функциялар бар.

Берілген программалардың ең бір негізгі жетістігі болып оның есептеулерді көрнекілеу жүйелерінің ерекшелігі болып табылады. Жүйенің жұмыс парағындағы математикалық формулалар және өрнектер қағаздың бетіндегі сияқты болып көрінеді, бұл қолданушының жұмысын жеңілдетеді және қателерден аулақ болуға көмектеседі.

Жүйенің кез келген сандық есептеулерді орындауға мүмкіндігі бар. Сонымен қоса Mathсat 2000 берілгендерді көрнекілеуде өте үлкен мүмкіндікке ие.

Mathсat 2000 – да қолданылған көптеген әдістерінің ішіндегі ең тиімдісі ол мысалдары бар анықтамалық жүйе, оны тек қана көріп қана қоймай сонымен қоса оны документке көшіріп алуға болады. Бұл мысалдар электрондық кітаптар түрінде безендіріліп жасалған, ал негізгі кітап деп «Центр Ресурсов» - ты санауға болады, онда есептерді шешудің көптеген мысалдары қарастырылған.

Mathсat класының жүйесі математикалық есептерді шешудің алгоритмдерін суреттейтін күшті, қолайлы және көрнекі құралдарын береді. Mathсat 2000 Professional – тің жаңа жүйесінің әмбебаптығы соншалық, ол математикалық есептерді шешуде математиканы енді ғана оқып үйреніп жүрген мектеп оқушысына, сонымен қоса күрделі ғылыми мәселелермен айналысып жүрген академикке де теңдесі жоқ көмек бере алады. Жүйенің біршама ауқымды символдық аналитикалық есептеулерді орындауға мүмкіндігі жеткілікті.

Mathсat класының жүйесінің білім беру жүйесіндегі рөлі ерекше. Күрделі математикалық есептерді шешуді жеңілдете отырып, ол математиканы оқып үйренуде қиындықты біршама жеңілдетеді және оны оқып үйренуге деген қызығушылықты арттырады. Mathсat – тың жаңа үлгісі, мультимедиялық жаңа құралдарын қолдану арқылы, электрондық сабақтар және кітаптар жасауға мүмкіндік береді [1,5-6].

Пакеттің графикалық мүмкіндіктері ғылыми есептулерді мәтінмен қатар графиктік кескіндерімен, суреттермен, кестелермен безентіруге мүмкіндік береді. Оның практикалық қолданысы интеллектуалды жұмыстардың тиімділігін арттырады.

Қолданушы өзінің ғылыми еңбегіне өзгерістер енгізе отырып оның нәтижесін сол бетте бірден бақылай алады. Документтің экрандағы көрінісі қағаз бетіндегі көрінісіне өте ұқсас.

MATHCAD алғаш рет 1986 жылы пайда болды. Пакет әр нұсқасы сайын көптеген мүмкіндіктерімен толықтырылып, жетілдіріліп отыр. Қазіргі кезде MATHCAD Windows жүйесінде жұмыс істейтін нұсқасы бар.

MATHCAD 6.0. нұсқасына тоқталатын болсақ, алдымен оның интерфейсін қарастырайық. Mathematica және Maple пакеттеріне қарағанда MathCad көптеген пиктограмма түріндегі амалдармен жабдықталған. Есептеу өрістерін парақта тышқанның көмегімен еркін көшіруге орын ауыстыруға болады. Кейбір арифметикалық амалдардың орындалу тәртібін көрсетейік.

MATHCAD-та мәтінді форматтаудың мүмкіндіктері мәтіндік редактордағыдай жетілдірілген. Кейбір клавишаларға амалдарды бекітуге болады. Модельдеу нәтижесінде пайда болған суреттер мен графикаларды динамикалық қоғалысқа келтіріп оны жеке терезеде анимациялық AVI файлы түрінде сақтауға болады. Пакетке көптеген функциялар кірістірілген. Оларға тригонометриялық және кері, гиперболалық және кері, экспоненциальды және логарифмдік, статистикалық, Фурье, Бесселя, комплекстік айнымалылар функциялары енгізілген.

Ең негізгілерін келтірсек:

Тригонометриялық және кері функциялар:

sin(z), cos(z), tan(z), asin(z), acos(z), atan(z)

z – бұрыштары радианмен беріледі.

Гиперболалық және кері:

sinh(z), cosh(z), tanh(z), asinh(z), acosh(z), atanh(z)

Экспоненциалды және логарифмдік:

exp(z) - e^z

ln(z) - натурал логарифм

log(z) - ондық логарифм

Cтатистикалық функциялар :

mean(x) - орта мән

var(x) - дисперсия

stdev(x) - орташа квадраттық ауытқу

cnorm(x) - бірқалыпты үлестірім функциясы

erf(x) - қателік функциясы

Г(x) - Эйлердің гамма-функциясы

Бесселя Функциясы:

J0(x), J1(x), Jn(n,x) - Бессельдің бірінші ретті функциясы

Y0(x), Y1(x), Yn(n,x) - Бессельдің екінші ретті функциясы

Комплексті айнымалылыр функциясы:

Re(z) - комплексті санның нақты бөлігі