102
Теперь обратимся к закону Ампера в форме Грассмана
(см., например, [1], стр. 204, ф. (43.1)) и воспользуемся соответствующей
теоремой векторной алгебры [2]. Соответственно, представим двойное
векторное произведение в формуле Ампера–Грассмана в виде скалярных
произведений соответствующих векторов, умноженных на векторы r
12
и
dl
2
. Затем от правой части преобразованного соотношения формально
возьмѐм интегралы по замкнутым контурам L
1
иL
2
(вектор r
12
направлен от
элемента dl
1
первого проводника к элементу dl
2
второго проводника):
F
21
=
2
(I
2
· I
1
)(1 /(r
12
)
3
) {dl
2
(dl
1
·r
12
) – r
12
(dl
`1
·dl
2
)}.(7)
Поскольку векторный элемент dl
1
«завязан» с вектором r
12
, а
векторный элементdl
2
не связан ни с каким вектором, то в первом члене
правой части можно просуммировать (проинтегрировать) все векторные
элементы dl
2
вдоль замкнутого контура L
2
. Соответственно, это приведѐт к
тому, что интеграл в первом члене правой части (7) будет равен нулю, т.к.
= 0.
Таким образом, первый член правой части выпадает из нашего
рассмотрения и, соответственно, мы приходим к следующей формуле для
силы:
F
12
= –
2
n
1
(I
2
· I
1
) (1 /(r
12
)
2
) (dl
2
·dl
1
),n
1
=r
12
/ r
12
= const. (8)
В нашем рассмотрении наступает теперь следующий этап:
переходим на энергетический вариант.
С этой целью запишем выражение для работы A, совершаемой силой
F
12
над током I
2
.
В данном случае работа затрачивается на изменение потенциальной
энергии тока:
A = – V. (9)
В свою очередь, изменение потенциальной энергии находится
интегрированием силы F
12
:
V =– F
21
·dr
12
=
2
I
2
· I
1
dl
2
·dl
1
dr
12
/(r
12
)
2
,
2
= 1/c
2
, n
1
dr
12
.
Деля обе части этого соотношения на ток I
2
, и, беря интеграл по
переменной r
12
, получим:
V/I
2
=–
2
I
1
( dl
2
·dl
1
/r
12
(t)).
И, наконец, взяв производную по времени от этого соотношения,
получим:
(d/dt) V/I
2
= –
2
·(d/dt)[I
1
{(dl
2
·dl
1
) / r
12
(t)].(10)
103
Заметим, что здесь правая часть и по физическому смыслу величин, и
в целом по функциональной форме, совпадает с правой частью
соотношения
Неймана
для
электродвижущей
силы
индукции.
Соответственно, должны быть равны и их левые части.
Итак, выражение (d/dt) V/I
2
мы можем принять за электродвижущую
силу индукции.
Посколькуполучили тот же результат, что и у Ф. Неймана, то это даѐт
некоторое основание считать допустимым, что закон Ампера в векторной
форме был известен Нейману и он мог использовать еѐ в данном
исследовании.
В нашем случае, когда величины I
1
иdl
2
·dl
1
не изменяются со временем,
можно будет записать следующее соотношение:
(d /dt) V/I
2
=–
2
I
1
(d/dt)[ {dl
2
·dl
1
/ r
12
(t)}]=
=
2
I
1
· (v /r
12
) [ {dl
2
·dl
1
/ r
12
}], v=dr
12
/dt.(11)
Здесь v – скорость относительного движения контуров L
1
иL
2
.Как
можно
видеть
из
этого
соотношения,
э.
д.
с.
индукции
прямопропорциональна скорости относительного движения контуров. И,
наконец, обратим внимание на то, что выражение, представленное в виде
двойного интеграла dl
2
·dl
1
/ r
12
, есть коэффициент взаимной индукции
контуров L
1
иL
2
. Нетрудно заметить, что он имеет размерность длины.
Поэтомукоэффициент взаимной индукции рассматривают обычно как некое
среднее расстояние между взаимодействующими контурами.
Таким образом, электродвижущая сила индукции, возбуждаемая в
замкнутом контуре L
2
, пропорциональна, в частности, относительной
скорости перемещения контуров как целого. Данное обстоятельство
Нейман возвѐл в принцип. Иначе говоря, это обстоятельство, по Нейману,
играет решающую роль в понимании причины возникновения э. д. с.
индукции.
Сравнивая полученное соотношение для э. д. с. индукции (11) с
соответствующим соотношением Неймана (1), можно заметить, что их
правые части совпадают с точностью до постоянного множителя, равного
2
. У Неймана эта постоянная, по-видимому, равна единице. Это вполне
возможно, если учесть, что Нейман работал в системе единиц, где исходят
из определения единицы электричества (магнетизма), основанного на законе
Кулона (в случае магнетизма берутся фиктивные однополюсные магнитные
заряды). В таких системах единиц электродинамическую постоянную
следует положить равной единице.
Итак, можно сделать вывод, что есть большая вероятность того, что
Нейман мог знать векторную форму закона Ампера и использовать еѐ в
своей работе.
Достарыңызбен бөлісу: |
