ПоәК 042-18-38-57/03-2014 №1 басылым 05. 09. 2014ж

жүктеу 3,08 Mb.

бет	7/23
Дата	22.05.2018
өлшемі	3,08 Mb.
	#15910

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 23

стационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуі
Квантталу.
үлгі (стандарт) шарттарды
5-дэріс. Кванттық механиканыц қараиайым есептері.
Тік бұрышты потенциялыдқ шұңқырдағы бөлшек

4.2. Суперпозиция принципі

Сонымен пси- функцияның өзі емес, оның модулінің квадраты немесе тікелей физикалық мағынаға ие. Осыған қарамастан кванттық теорияда тәжірибеде бақыланатын емес, – функция пайдаланылды. Бұл микробөлшектердің толқындық қасиеттерін интерференция мен дифракцияны – түсіндіру үшін қажет. Мұндағы жағдай толқындық теорияда қандай болса, дәл сондай болады. Толқындық теорияда толқындық өрістердің интенсивтіктерінің суперпозиция принципі қабылданады. Бұл теорияға интерференция және дифракция құбылыстарын ендіруге мүмкіндік береді.

Осыған ұқсас кванттық теорияда негізгі постулаттардың бір ретінде пси – функцияның суперпозиция принципі қабылданылады. Егер қандай бір жүйеде және күйлері мүмкін болса, онда ол үшін мынадай күй де мүмкін болады.

(4.4)
мұндағы және қайсыбір тұрақты коэффициенттер. Осындай – ді тауып, бұдан кейін жүйенің осы күйде болу ықтималдығының тығыздығын да анықтауға болады.

Суперпозиция принципі тікелей тексеруге келмейді, өйткені толқындық функция тәжірибе өлшенбейді, оның модулінің квадратын ғана өлшеуге болады. Күйлердің суперпозиция принципінің дұрыстығы бұдан туындайтын салдардан тәжірибемен сәйкес келуімен расталады.

4.3. Шредингер теңдеуі

Классикалық механикада күш және өріс әсерінен қозғалатын бөлшектің координаттары мен импульстарының бұрынғы және болашақ мәндерін қозғалыс теңдеуі арқылы бірмәнді анықтауға болады. Ал микробөлшектер үшін бұл әдіс қолдануға келмейді.

Сонда бөлшек қозғалысын бейнелеу үшін толқындық функция пайдаланылады. Ендігі негізгі мәселе толқындық функцияның кеңістіктегі және уақыт бойынша өзгерісін бейнелейтін жалпы заңды, немесе толқындық өрістің қозғалыс заңын тағайындау болып табылады.

Зат бөлшектерінің толқындық қасиеттері жайындағы де Бройль идеясын дамыта келе, австрия физигі Э. Шредингер (1887-1961) өзінің атақты теңдеуін ұсынды (1926ж.). Осы теңдеу әр түрлі күш өрістерінде қозғалатын бөлшектің толқындық функцияларын табуға мүмкіндік береді. Шредингер теңдеуі былай жазылады:

(4.5)
мұндағы m – бөлшек массасы, і – жорамал бірлік, - бөлшектің потенциалдық энергиясы, – Лаплас операторы. (4.5) теңдеуінен толқындық функцияның түрін функция, яғни түптеп келгенде бөлшекке әсер ететін күштердің сипаты анықтайтындығы шығады.

Шредингер теңдеуі қорытылып шығарылмайды. Оны бастапқы негізгі ұйғарым деп қарастыру керек. Шредингер теңдеуінің дұрыстығы теория нәтижелерінің эксперимент деректерімен толық үйлесуімен, және де практикада қолданыс тапқан, мысалы, мазерлерде, лазерлерде, жартылай өткізгішті қондырғыларда және т.т. көптеген болжауларымен расталады.

Стационарлық күйлер. Кванттық теорияда ерекше рольді стационарлық күйлер атқарады, бұларда барлық бақыланатын физикалық шамалар уақыт өткенде өзгермейді.

– функцияның өзі негізінде бақыланайды. Стационарлық күйлерде ол мына түрге келеді:

e, , (4.6)

мұндағы – функция уақытқа тәуелді емес.

– функцияның осылай өрнектелгенде ықтималдық тығыздығы тұрақты болып табылады. Шынында да
(4.7)
яғни ықтималдық тығыздығы уақытқа тәуелді емес.

Стационарлық күйлердегі - функцияны табу үшін (4.6) өрнекті (4.5) теңдеуіне қоямыз, сонда мына теңдеу шығады:

(4.8)
Бұл теңдеу стационарлық күйлер үшін Шредингер теңдеуі деп

аталады. (4.5) теңдеуін Шредингердің жалпы теңдеуі дейді.

Бүдан былай тек (4.8) теңдеуімен істес боламыз жэне ол мына түрде жазылады:
(4.9)
Шредингер теңдеуі берілген күйдің толкындык функңиясын табуға, демек кеңістіктің әр түрлі нүктелерінде бөлшектің болу ыктималдығын аныктауға мүмкіндік береді.

Квантталу. Бордың теориясында квантталу жасанды түрде ендірілген болса, Шредингер теориясында ол өзінен-өзі шыгады. Сонда (4.9) теңдеуінің шешімдері ішінен физикалық мағынаға табиғи немесе үлгі (стандарт) шарттарды канағаттандыратын шешімдері ғана ие болатынын ескеру жеткілікті болады. Осы шарттарға сәйкес барлык кеңістікте ()-функңия шектелген, бір мэнді, үздіксіз болуы тиіс. Бүл дифференңиалдык теңдеудің ізделіп отырған шешіміне койылатын әдеттегі математикалык талаптар болып табылады.

Осы шарттарды канағаттандыратын шешімдер Е энергияның кейбір мэндерінде ғана мүмкін болады екен. Бүларды меншікті мэндер деп, ал энергияның осы мэндерінде (4.9) теңдеуінің шешімдері болып табылатын ()-функциялары E-нің меншікті мэндеріне сай меншікті функциялар деп аталады. Квантталудың табиғи жэне жалпы принципі осы.

Я-энергияның меншікті мэндері тиісті стационарлык күйлерге сай энергияның мүмкін мәндері ретінде кабылданады. E-энергияның осы мәндері дискретті немесе үздіксіз энергетикалық спектр түзіп дискретті (квантталған) немесе үздіксіз болуы мүмкін.

Осы теңдеуді түжырымдап, Шредингер оны бірден сутегі атомына қолданды. Сонда энергия деңгейлерінің спектрі үшін Бордың теория-сында алынған спектрмен дэл келетін, демек, бакылау нәтижелерімен дэл келетін спектр алды.

Релятивтік емес механикада динамиканың негізгі теңдеуі (Ньютонның 2-заңы) кандай роль аткаратын болса, Шредингер теңдеуі кванттык теорияда сондай роль аткарады.
5-дэріс. Кванттық механиканыц қараиайым есептері. Тікбұрышты потенциалдық шүнқырдағы болшек. Сызыктық гармоникалык осциллятор.
5.1. Кванттық механиканың қарапайым бір өлшемді есептері

Тік бұрышты потенциялыдқ шұңқырдағы бөлшек

Бір өлшемді потенциалдық шұңқыр ішіндегі электрон үшін Шредингер теңдеуінің шешімін қарастыралық. Мұндай жағдай өте қарапайым әрі жасанды. Дегенмен ол Шредингер теңдеуініңжәне оның шешімдерінің негізгі ерекшеліктерін жеткілікті түрде оңай көрсетуге мүмкіндік береді.

Ш

ексіз терең бір өлшемді потенциалдық шұңқырдағы бөлшек үшін меншікті энергия мәндері мен бұларға сәйкес меншікті функцияларды табайық. Массасы m бөлшек (электрон) x осі бойымен қозғала алатын болсын және қозғалыс бөлшекті өткізбейтін x=0 және x = қабырғаларымен шектелген болсын. Осы жағдайда U потенциалдық энергияның түрі 5.1-суретте көрсетілгендей 0x болғанда U=0. x= 0 және x= болғанда U=болады.

Шұңқыр ішінде U=0 болатындықтан Шредингер теңдеуі осы жағдайда былай жазылады:

+E 0 (5.1)

өрнегін ескеріп, бөлшек энергиясының мәнін табамыз:

(5.2)
Демек энергия дискреттік мәндер жиынтығын қабылдайды.

(5.2) өрнек қарастырылған потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясын анықтайды. Шұңқыр ішінде бөлшектің потенциалдық энергиясы болмайтын-дықтан, толық энергия кинетикалық энергияға тең болады.

Шредингер теңдеуінің толық шешімі мына түрде өрнектеледі:

^,n (5.3)

b кесіндісінің әр түрлі dx бөліктерінде бөлшектің болу ықтималдығы былай анықталады:

w

5.3-суретте нормаланған ,, толқындық функциялар және,,,ықтималдық тығыздықтары бейнеленген.

жүктеу 3,08 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 23