Педагогикалық институтының директоры

1. Т.Қ. Оспанов. Математика. Педагогикалық жоғары оқу орындарының бастауыш оқытудың педагогикасы және әдістемесі факультеті студенттеріне, педагогикалық колледждердің оқушыларына арналған оқу туралы. Алматы. 2000 ж.

2. О.М. Жолымбаев, Т.Е. Берікханова. Математика «Педагогика және бастауыш оқыту әдістемесі» мамандығы бойынша оқитын студенттерге арналған оқу құралы.

Алматы 2004 ж.

3. Т.Қ. Оспанов, Ш.Х.Құрманалина., С.Х.Құрманалина. Математиканың теориялық негіздері. Алматы, 2002 ж.

4.Н.Я. Виленкин и др. Математика. Учебное пособие для студентов пединститутов.

М., 1977 г.

5. Л.Ю.Березина. Графы и их измерения. М., 1979 г.

1. Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин Основные понятия современного школьного курса матеаматики. М., 1979 г.

2.Қ. Жұмалыұлы Математика бастауыш курсының негіздері. Актөбе. 1998 ж.

3. Л.М.Фридман, Е.Н.Турецкий. Как научиться решать задачи. М., 1984 г.

Оқыту негізінен оқу материалдары түсіндірілетін және есеп шығарудағы практикалық дағдыларды қалыптастыратын дәріс және практикалық сабақтар түрінде өтеді. Студенттердің білімін тексеру ауызша коллоквиум және жазбаша бақылау жұмыстары және жеке семестрлік тапсырмалар және үй жұмыстарын тексеру ретінде болады. Студенттердің білім кемшіліктерін жою үшін алдын ала белгіленген кесте бойынша әр апта сайын кеңестер беріледі.

Қатысу:

1. Ұялы телефонмен сөйлесуге;

2. Сабақтан сұрануға;

3. Бос әңгімеге;

4. Басқа біреуге кедергі келтіріп, тапсырманы автоматты көшіруге;

Сабақ уақытында студенттің төмендегі іс-әрекеті есепке алынады:

1. Өз пікірін дәлелдесе;

2. Сабаққа белсенді қатысса;

3. Берілген тапсырманы уақытынан бұрын орындаса.

Үй жұмысының орындалуына міндетті және оқытушы белгілеген уақытта тапсырылуы тиіс. Уақытында тапсырылмаған үй жұмысы қабылданбайды. Сіздің өте жақсы орындаған он үй жұмысыңыздан сіздің жалпы бағаңызға әсер ететін баға шығарылады.

Жеке семестрлік тапсырмалар міндетті орындалуы тиіс. Семестрлік жұмыстар дұрыс орындалғанда, студент ол жұмысты қорғауы тиіс, жұмыста қателер табылған жағдайда ол студентке қайта қайтарылады. Тапсырмалардың әрқайсысы бөлек бағаланып, қорытынды бағаға әсерін тигізеді.

Сабақта орындалып, сабақ соңынды тапсырылады. Сабақтан соң қабылданбайды және бағаланбайды.

Коллоквиум әрбір топқа жеке қойылған кесте бойынша тапсырылады. Қайта тапсыруға рұқсат етілмейді.

Тақырыбы: Алгоритмдер

1. Алгоритм ұғымы

2. Алгоритмдердің негізгі қасиеттері

3. Бастауыш мектепте пайдаланылатын алгоритмдер

Әдебиеттер:

1. 84-91 б.

Қосымша 2.§12

Дәрістің мақсаты: Студенттерді алгоритм ұғымын және оның негізгі қасиеттерімен таныстырып, кейбір алгоритмдердің мысалдадын көрсету, қолдана білуге үйрету

Тірек сөздер:

Алгоритм, ереже, нұсқау, жалпылығы, анықтығы, нәтежелілігі, надам, формалды-форма, блок-схема, оперативті схема, құрылып, дисиретті, сызықтық, сыйымдылық

1 сұрақ: Алгоритм дегеніміз не?

Бір типті мәселелер, айталық көп таңбалы екі санды қосу, көшеден өту, кесіндінің ұзындығын өлшеу және тб жие кездеседі Берілген типтес мәселелердің кез-келген түрін шешуде пайдалануға болатын «жеткілікті жалпы тәсіл бола ма?» деген сұрақтың туды заңды Егер мұндай жалпы тәсіл бар болса, онда оны берілген мәселе(есеп) түртнің алгоритмі дейді Мысалы, көп таңбалы екі санды қосу есебіне қатысты алғанда көп таңбалы кез-келген санды қосуға жарайтын, яғни типтес есептердің ішінен оның кез-келген дербес түрін шешудің «бағанмен» қосу тәсілі белгілі Сонымен «алгоритм деп берілген типтес есептердің ішінен оның кез-келген дербес түрін шешуге қандай әрекеттерді және қандай ретпен атқарудың қажеттігін анықтайтын көпшілікке түсінікті және дәл жарлықты айтады»

Алгоритм(алгорифм)-математиканың негізгі ұғымдарының бірі болғандықтан оған қатаң аңықтама берілмейді Жоғарыдағы анықтама, осы тұрғыдан алғанда тек түсіндіру ғана

Жалпы алгоритм-белгілі бір мәселені шешу үшін берілейтін нақты және дәл жарлықтар, нұсқаулар

Жарлықтың мазмұнында алгоритмдік үрдісті атқарудың нұсқауынан басқа, мыналар да кіреді:

1. Мүмкін болатын бастапқы деректердің жиынтығы

2. Нәтеженің алынуына байланысты үрдістің аяқталғандығын білдіретін ереже

Алгоритм ұғымы- тек есептеу үрдісімен және емес, сонымен бірге есептің түріне, типіне немесе оның қандай топқа немесе класқа тиісті екеніне сәйкес болатын есептің шешуімен байланысты

2 сүрақ :Әр түрлі алгоритмдерді талдау олардың бәріне тән ортақ қасиеттердің бар екендігін көрсетеді Соларға тоқталамыз

1.Алгоритм жалпылығымен көпшілікке бірдейлігін сипатталады, яғни алгоритм бір ғана есепті шешуге емес, типтес есептердің қандай да бір түрінің кез-келген шешуге арналады

2. Алгоритм анықтағымен ерекшеленеді, яғни алгоритм қатаң анықталған қадамның немесе яректтің ретін көрсетеді, ол есеп шығарушыға өз қалауынша келесі қаданды таңдауға ешқандай мүмкіндік бермейді, бірінші қадамды және әр қадамның кейін қандай қадам келетінің бір мәнді анықтайды Демек алгоритмде не істеу керектігінің барлығы алдын ала анықталып көрсетіледі, яғни ол еркіндікке жол бермейді

3. Алгоритм нәтежелігімен сипатталады, яғни есептің берілген түрінің кез-келген есебін сәйкес алгоритм бойынша шешу шектеулі санды қадамнан кейін нәтежеге жеткізеді, демек қадамдардың шектелген санынан кейін қажетті қорытындыны-нәтежені алу мүмкіншілігін білдіреді

4. Алгоритм формалдылығымен ерекшеленеді, яғни алгоритмді орындаушы өз әректінің мән-мағынасын егжей-тегжейіне жеткізе түсінбесе де, қажетті нәтежені алады Демек, алгоритмді атқару үрдісінде ойлаудың қажеті жоқ, алгоритмде не көрсетілсе, тек соны атқару керек болады

5. Алгоритмнің көпшілікке, жалпыға түсінікті болуы тиіс, яғни орындаушының қандай тобы болса да олрдың бәріне бірдей түсінікті тұжырымдалған жарлық беріледі

6. Алгоритм дәлдігімен ерекшеленеді, яғни алгоритмде бір мәнді қабылданбайтын нұсқаулар болмайды, сондықтан да әр түрлі орындаушыларға түсінікті болатын бірдей нұсқауларды орындағанда атқарушылардың әрқайсысы бірдей нәтеже алуы тиіс

7. Алгоритм дискретті үрдіс болып табылады, яғни сипатталмақшы үрдіс тізбектей атқарылатын қарапайым және әрекеттерге бөлініп және бір нұсқаудың талабын орындағанмен кейін ғана, келесісін орындауға көшуге болайтындығы тағайындалады Демек алгоритмге тиісті әрекеттер де дискретті болып табылады

3 сұрақ: Сыйымдылықты өлшеу алгоритмі

Есеп: «1 литрлік құмырада қанша кесе су барын өлше:»

1. Өлшеуішті таңда- ол 1 кесе су

2. Бір кесе суды литрлік құмырада құй

3. Құмыраның қалған бөлігі-өлшенетін көлем

4. Егер өлшенетін көлем өлшеуіштен артық болса, онда 2-нұсқауға көш, ал басқаша болса, 5-нұсқауға көш

5. Өлшеуіштің саның есепте

6. Табылған сан-тирлік құмыраға сиған судың кемесен өлшенген мөлшері, яғни мәні

7. Өлшеу аяқталды

Тексеруге арналған сұрақтар:

1. Алгоритм ұғымын анықтаныз және оның мән-мағынасын беріңіз

2 .Алгоритмдердің негізгі қасиеттерін тұжырымдаңыз

3 .Бастауыш мектепте кездесетін алгоритмдерден мысалдар келтіріңіз

Тақырыбы: Есеп және оны шешу үрдісі

1. Есеп ұғымы

2. Есеп түрлері

Әдебиеттер:

/1/ 91-94 беттер

/2 І тарау §6

/3/ І тарау §2 п10

Қосымша 2. І тарау §4

3. Ітарау §1-7, ІІ тарау §1

Дәрістің мақсаты: Студенттерді есеп ұғымы және оның түрлерімен таныстыру, олардың адам өмірінде, практикалық іс-әрекетінде артқаратын маңызын көрсету

Тірек сөздер : Есеп, тұрмыстық, танымдық, практикалық, текст, мәтінді, жай, мысал есептер, оқытудың мақсаты, оқытудың құралы

1 сұрақ: Есеп адам өмірінде де, шолпы қоғамның өмір сүруі үшін де аса маңызды роль атқарады

Адамның өндірістік және күнделікті тұрмыстық қызметі барысында туындайтын мәселелерді, сол сияқты таза математикалық есептерді шешу мәселесі көптен бері зерттеліп келе жатқанымен, әлі күнге дейін есеп ұғымының көпшілікке ортақ келісілген анықтанасы жоқ Бұл «есеп» термінінің кең мағыналылығымен және бұл ұғымды жалпы түрде сипаттауға байланысты орын алып отырған объективті қиындылықтармен түсіндіріледі

Кең мағыныды «есеп», қандай бір нәтежесі жектіру көздейтін алға қойылған мақсат, тапсырма, белгілі бір білімге және ойлауға негізделіп шешілейтін сурап, қандай да бір мәселе, шолпы білім беретін мектептердің барлық таптерінде , арнаулы орта және жоғалы оқу орындарында оқытудың және білім мен практикалық дағдыларды оқытап- үйренудің және тексерудің әдісі ретінде қаратыралатаны белгілі

Ғалымның әр саласында «есеп» термінінің өзіндік арнайы түсіндірмесі бар

Мәсәлен, оқыту үрдікіндекі «есеп» оқу мен еңбектегі оқушылардың танымдық және практикалық белсенділік теріп арттырайтын маңызды факторлардың бірі болып саналады

Сонда бұл термин оқушылардың анықталған мақсатты қабылдауын, қандай-да бір сұраққа жауап алуға ұмытылудық қажеттігін, күткен нәтежеге жетудің керектігін, есепті шешу үшін берімейтін щарттар мен талаптардың ескерілді тиімтілігін сипаттайды Математиканы оқытуда «есеп» оқытудың мақсаты ретінде де, оқытудың құралы ретінде де қарастырылады Оның көмегі мен және оның негізінде негізгі ұғымдар қарастырылады, ұғымдардың арасындағы тәуелділіктер ашылады, математикалық фактілердің нақты жағдайда қолданылуын көрсетеді және ол оқу, меңгеру қандай-да біліп қалыптастырудың объектісі ретінде көрініс табады, теория мен практиканың арасын байланыстырушы қызметін атқарады, оқушылардың ойлауын дамытуға ықпал жасайды

2 сұрақ: Есеп түрлері текст немесе мәтінді есептер

Тұрмыстық, табиғи мағынасы бар арифметикалық аналдық немесе аналдардың көмегімен шешілейтін тапсырманы тексті есеп-деп тұсінеді (А А Столяр мен В Л Дроздов) Олар тексті есептердегі пайдаланылатын тұрмыстық ұғыл мен тусініктер оқушыларда алғашқы абстракция мен математикалық ұғымдарды қалыптастыру үшін бастапқы материал болып табылады, сол сияқты оқушыларда математикалық ұғымдар мен қатынастар арқылы нақты өмірлік құбылысты байқауға мүмкіндік береді

«Мәтінді есеп-белгілі бір жағдайдың нақты компонентін сандық тұрғыдан сипаттасу, сондай-ақ компоненттердің арасында қатынастардың бар немесе жоқ екендігін тағайындау немесе осы қатынастың түрін анықтасу талатын қампититын табиғи тілдегі баяндалады» (А М Пышнала және Л П Стойлова)

Арифметикалық «тексті есеп» терминін ұғым ретінде анықтағанда төмендегідей мәнді белгілер өзіне тән болайтын математикалық жағыттырулардың ерекше түрі рейтінде түсінеміз

Ол мәнді белгілер:

а) табиғи тілде тұтырымдалған мәтіннің көмегімен берілейтін жаттығу

ә) мәтіннің мазмұнынды белгілі бір өмірлік жағдай сипатталады

б) мәтінде міндетті түрде сұрақ болады

в) мәтіндегі сұраққа жауап беру ең болғанда бір арифметикалық амаллды орындау барысында жүзеге асады

Жоғары айталғандай төрт мәнді белгілі болатын математикалық жаттығуды есеп деп түсінеміз

Тексеруге арналған сұрақтар:

1. «Есеп» ұғымын анықтаныз

2. Есеп тұрлерін антаныз

3. Мәтінді есептің мәнді белгілерін тұжырымдаңыз

Тақырыбы: Есепті шешу үрдүсі және оның кезендері

1 Есепті шешу үрдісі

2 Есепті шешу үрдісінің кезеңдері

Әдебиеттер:

/1/ 94-96 беттер

/2 І тарау §6

/3/ І тарау §2 п11

Қосымша 2. І тарау §4

3. ІІтарау §1,2, ІІІ тарау §2

Дәрістің мақсаты: Студенттерді есепті шешу үрдісі, оның кезендерімен таныстыру, есеп жөніндегі түсініктерін, білімдерін толықтыру

Тірек сөздер: шешу, шешу үрдісі, шешу үрдісінің кезендері, нәтеже, жоспар, сұрақ, жауап, ізделінлі, амалдар рет-тәртібі

1 сұрақ: Есепті шешу үрдісі бір-неше іс-әрекетті орындауды талап етеді, атап айтқанда: ой елегінен өткізе және саналы қабылдай отырып есеп мәтілін ондағы сөздердің мәнін түсініп, жүгіртіп, оқу, есептің шарты иен сұрағын, белгілі мен сұрағын, белгілі және белгісіз шамаларды ажырату, берілген және ізделінді шамалардың арасындағы байланысты тағайындау яғни есепке талдау жүргізу соның барысында есепті шешу үшін арифметикалық амалдардаы анықтау немесе құрылатын тендеудің құрамына енетін өрнектерді атқындау, сол сияқты есепті шешу тәсілін және әдісін тандау, есептің шешуін және жауабын жазу, есеп шешімін тексеру

Есепті шешу үрдісін мына сияқты сызба-нұсқа түрінде көрсетіп беруге болады:

Есепті шешу үрдісі

Бір және бірнеше амалмен шешілетін есептер

Моделдеу немесе көрнекті бейнелеу

Шешуді жазу түрін таңдау

Шешуді талдау

Жауап

2 сұрақ: Есепті шешу үрдісінің мына сияқты ғана міндетті кезендері болуы тиіс Атап айтқанда:

1. Есеп мәтінін оқу/нәтижесі-есеп мазмұнын қабылдау және талдау, негізгі мақсаты-есепте баяндалған жағдайды жалпы түрде түсіну, есеп шартын, талабын яғни мәтінде бар сұрақты, барлық терминдерд және белгілерді түсіну, яғни есеп мазмұнын меңгеру/

2. Есеп шешуін іздестіру/нәтиже-есепті шешудің жоспарын құру, негізгі мақсаты-есеп мазмұнында баяндалған қандай-да нақты қатынасқа немесе жағдайда сәйкес келетін арифметикалық амалды анықтау немесе есеп мәтініндегі қойылған сұраққа жауап беру үшін орындалатын арифметикалық амалдардың рет-тәртібін логикалық тұрғыда анықтау және негіздеу/

3. Шешу жоспарын жүзеге асыру/нәтижесі-ауызша немесе жазбаша түрде құрылған жоспарды орындау, яғни есептің шешуін жазу, негізгі мақсаты-есеп сұрағына жауап алу, яғни есеп талабының орындалғаны жайлы қорытынды жасау/

4. Шешімді тексеру және егер қате болса, оны түзеу/нәтижесі-есеп жауабын бөліп көрсету, негізгі мақсаты-есептің талабының орындалғаны, яғни есептің сұрағына жауап алынған жайлы түпкілікті қорытынды жасау

Тексеруге арналған сұрақтар:

1 Есепті шешу дегеніміз не?

2 есепті шешу үрдісінің мән-мағынасы не?

3 Есепті шешудің міндетті кезеңдерін анықтаңыз, жауабыңызды негіздеңіз
4-дәріс

Тақырыбы: Есепті шешу әдістері мен тәсілдері

1 Есепті шешу әдістері мен тәсілдері

2 Есепті шешуге мысалдар

Әдебиеттер:

/1/ 96-98 беттер

/2 І тарау §6

/3/ І тарау §2 п12

Қосымша 2. І тарау §4 п 14-17

Дәрістің мақсаты: Студенттерге есепті әдістері мен тәсілдері жөнінде мағлұматтар беріп, мысалдар келтіру арқылы алған білімдерін бекіту

Тірек сөздер: Әдіс, тәсіл, алгебралық, арифметикалық, графиктік, белгілі, белгісіз, сұрағы, жауабы, талдау шарты, шешу жолдары, амалдар рет-тәртібі, мәнді өзгешелігі, қатынастар, ізделінді

1 сұрақ :Кеңірек мағынада, математикалық есепті шешу дегеніміз-математиканың жалпы қағидаларын қолданудың рет-тәртібін табу, сонда оларды есептің шарты немесе салдарына қолдана отырып, есепте не талап етілсе, соны, яғни есептің жауабын, алу болып табылады

Тар мағынада есепті шешу айқын емес түрде есепте берілген сандармен, шамалдармен, қатынастар мен логикалық тұрғыда дүрпе анықталған амалдар мен тәсілдер арқылы есептің талабын орындау

Есепті шешу тәсілі негізінен: алгебралық және арифметикалық,-деп бөлінеді Арифметикалық тәсілде есеп сұрағына жауап сандармен немесе шамалармен арифметикалық амалдар орындаудың нәтижесінде табылады Және де, бір ғана есепті әр түрлі арифметикалық әдіспен шешудің айырмашылығы белгілі мәліметтердің, белгілі мен белгісіздің, белгілі мен ізделіндінің арасындағы қатынастардың қайсысын арифметикалық амалды таңдаудың негізіне алғандығына орай немесе амал таңдау кезінде осы қатынастарды пайдаланудың рет-тәртібіне сәйкес тағайындалады

Егер есеп шешулерінің негізіне алынған белгілі мәліметтер мен ізделіндінің байланысы бір-бірінен өзгеше болса, сонда және тек сонда ғана есеп әр түрлі әдіспен шешілді-деген жалпы қорытынды жасауға болады

Демек, егер есепті екі әдіспен шешу барысында орылған амалдардың рет-тәртібі мен сәйкес келтірілген түсіндірмелердің бір-бірінен ажыратылатын мәнді өзгешелігі болса, сонда және тек сонда ғана есеп әр түрлі әдіспен шешілген,-деп есептеуге болады

Алгебралық тәсілде есеп сұрағының жауабы теңдеу құру және оны шешу нәтижесінде алынады Әріппен/әріптермен/белгілеу үшін белгісізді/белгісіздерді/таңдауға, талқылаудың бағытына және бағдарына қарай бір ғана есепке сәйкес кесетін әр түрлі теңдеу құруға болады Бұл жағдайда есепті алгебралық тәсілді қолдану арқылы әр түрлі әдіспен шығардық, деуге болады

2 сұрақ: Мысал қарастырытың

Есеп: Жылдамдықтары бірдей екі поездың біреуі 961 км, екіншісі 248 км жүрді, сонда бірінші поезд екіншіге қарағанда жолда 23 сағат артық болды Әрбір поезд жолда неше сағат болды?

Есеп шартын жазу:

Бірінші поезд-961 км 23 сағат артық

Екінші поезд-248 км

Әрбір поезд жолда неше сағат болды?

Талдау:

Есепті шешу жолдары:

1. Бірінші поезд екінші поезға қарағанда неше километр артық жүрді?

2. Бірінші поезд жылдамдығы қандай?

3 .Бірінші поезд жолда барлығы неше сағат болды?

4 .Екінші поезд жолда неше сағат болды?

Түсінік бере отырып шешу

1 .Бірінші поезд 961 км жүрген Екінші поезд 248 км ғана, яғни бірінші поезға қарағанда кем жол жүрген Бір санның екінші саннан қанша кем екендігін білу үшін азайту амалы қолданылады:

961 км-248 км=713 км

2. 713 км жолда бірінші поезд 23 сағат ішінде жүрген Бірінші поездың сағатына неше километр жүргендігін білу үшін, санды бірнеше есе кеміту жөніндегі бөлу амалына берілген жай есепті шығару керек 713 км:23=31 км

3 .Бірінші поездың барлық жүрген жолы 961 км, ал ол сағатына 31 километрден жүріп отырған 961 километрде 31 километрден неше есе болса, бірінші поезд сонша сағат жлда болған Тиесінше болуге берілген жай есепті шығарамыз: 961 км:31 км=31 есе немесе 31 сағат

4 .Бірінші поезд екінші поезға қарағанда жолда 23 сағат ұзағырақ уақыт болған, яғни екінші поезд жолда 31 сағат болмаған, 23 сағат кем уақыт болған Санды бірнеше бірлікке кеміту керек болғанда азайту амалы қолданылады:

31 сағ-23 сағ=8 сағ

Жауабы: жолда бірінші поезд 31 сағат, екінші 8 сағат болған

Тексеруге арналған сұрақтар:

1. Есепті арифметикалық тәсілмен шешудің мән-мағынасы не?

2. Есепті алгебралық тәсілмен шеудің мән-мағынасы не?

3. Қандай жағдайларда есеп әр түрді әдіспен шешіледі деп саналады

4. Есепті шешудің мысалын келтіріңіз
Дәріс 5

Тақырыбы: Граф теориясының элементтері

1 Графтар теориясының ұғымдары

2 Граф түрлері

3 Бір бағытты фигуралар Графтың негізгі қасиеттері

Әдебиеттер:

1.26-30 беттер

5. І тарау §2 п 1-5

Дәрістің мақсаты: Студенттерді графтар теориясының ұғымдары, олардың түрлі мен бір бағытты фигуралар жөнінде мағлұматтармен таныстырып, графтардың практикалық мән-мағынасынасын көрсету

Тірек сөздер: граф, Л Эйлер, Д Кениг, сұлба(схема) граф төбелері, граф қибырғалары, нөлдік граф, толық және толық емес графтар, жазық граф, төбелері дәрежелері, таң және жүп төбелер, бір бағытты қисық, таң және жүп түйіндер

1 сұрақ: Графтар теориясының негізгі мазмұны графтарды зерттеу болып табылады

Графтармен байланысты алғашқы жұмыстардың бірі Л Эйлердің жұмысы болып есептеледі

XIX ғасырдың аяғына дейін графтар кейбір жениеген қызықты есептерді шешуде ғана қолданылып келді Қазіргі кезде графтар теориясы қирыштап даму үстінде, ол математиканың классикалық салаларымен бірге, оның жаңа салаларында да жаппай қолданыс табуда

Ең алғаш рет «граф» терминін венгер математигі Д Кениг енгізген Ол нүктелер жиынынан және осы нүктелерді байланыстыратын түзулер кесінділері мен қисықтардан құрылған схемаларды граф деп атаған

2 сұрақ Жизықтықта әр түрлі бес A, B, C, D, E нүктелерін белгілейік Осы нүктелерді графтың төбелері, ал оларды қосатын сызықтарды(түзу немесе қисық) графтың қибырғалары деп атайды суретте көрсетілген нүктелік схема нөлдік граф деп аталады, яғни нөлдік граф оңшауланған нүктелерден тұрады

Суретте А нүктесі үш нүктемен (E, D, C), В-үш нүктемен, D-екі нүктемен, C-екі нүктемен, E-екі нүктемен қосылған

Графтың әр қабырғасынан шығатын қабырғалар санын граф төбесінің дәрежесі деп атайды Төбенің дәрежесі 0-ге тең, әр түрлі төбелердің дәрежелері бірдей немесе әр түрлі болуы да мүмкін

Егер графтың барлық төбелерінің дәрежелері озара тең болса, онда графтар тектес графтар деп аталады Егер граф төбесінен шығатын қибырғалардың саны тақ болса, ондай төбелерді тақ төбелер, ал жүп сан болса, ондай төбелерді жүп төбелер деп атаймыз

3 сұрақ: Графтың мынандай негізгі қасиеттері болды:

1. Оның тақ төбелерінің саны әрқашан жүп болады Тақ төбелерінің саны тақ сан болаиын графты сызып көрсету мүмкін емес

2. Егер графтың барлық төбелері жуп болса, онда графты бір сызықпен сызып шығуға болады Мұнда қозғанысты кез-келген төбеден бастап, сол төбеден аяқтауға болады

3. Тақ төбелерінің саны 2-ге тең болатын графты бір сызықпен сызып шығуға болады Мұнда қозғалыстың тақ төбелердің кез-келген біреуінен бастап екіншісінен аяқтау қажет

4. Тақ төбелерінің саны 2-деп артық болатын графты бір сызықпен сызып шығу мүмкін емес

Кез-келген граф геометриялық фигура болып табылады Бір сызықпен сызып шығуға болатын фигура бір бағытты фигура деп аталады

Ай озара қиылысу нүктелерінде 2 ғана рет бола отырып сызып шығуға болатын жазық қисықты бір бағытты қисық деп атайды

Қисықтың нүктесінен тақ санды жолдар шығатын болса, ондай нүктелі тақ түйін, ал жүп санды жолдар шығатын болса, жүп түйін деп айтады Мысалы: кесіндінің барлық ішкі нүктелері жүп түйіндер, ал оның ұштары тақ түйіндер болады

Теорема: Қисық бір бағытты болуы үшін оның тақ түйіндерінің саны 2-деп артық болмауы қажетті және жеткілінші

Бір ғана тақ түйіні бар қисықтар болмайды Сонымен егер қисық бір бағытты болса, онда оның тақ түйіндерінің саны не 0-ге не 2-ге тең болуы керек

Тексеруге арналған сұрақтар:

1. Алғаш рет «граф» терминін қолданған адам кім?

2. «Граф» ұғымының анықтамасын беріңіз?

3. Нөлдік граф деп қандай графты атайды

4. Толық және жазық графтарды түсіндіріңіз

5. Бір бағытты фигураларды тұжырымдаңыз

6. Тақ және түп түйіндер ұғымдарын түсіндеріңіз

Тақырыбы: Жазық графтар және олардың қасиеттері

1 Жазық графтар Эйлер теоремасы

2 Жазық графтардың қасиеттер

3 Дұрыс көпжақ және оның түрлері

Дәрістің мақсаты:

Студенттерді жазық графтар, толық жазық граф, графтар қасиеттері және дұрыс көпжақтар мен таныстырып, алған білімдерін практикалық мәселелерді шешуде қолдана білуге үйрету

Тірек сөздер: жазық граф, толық жазық граф, граф төбесі, қибырғалары, жақтары, дұрыс көпжақ, тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

Әдебиеттер:

1.30-31 беттер

5. ІІ тарау §1,2,4,5

1 сұрақ: Қабырғалары тек төбелерінде ғана қиыласатын графтарды жазық графтар,-дедік Айталық, қандай да бір жазық граф берілсін Егер осы жазық графтың барлық қабырғаларын озара қосқанда да жазық граф бола алса, мұндай графты толық жазық граф деп атайды

Теорема: Кез-келген жазық граф үшін Т+Ж-Қ=2 теңдігі орындалады мұндағы Т-граф төбелерінің саны Қ-граф қабырғаларының саны, Ж-оның жақтарының саны

Жалпы алғанда, графтар төбелерден, қабырғалардан және жақтардан тұрады Берілген граф арқылы жазықтықтық бөлінген бөліктері жақтар деп аталады

Мұнда: Т=5, Қ=7, Ж=4, 5+4-7=2

Бұл қатынасты алғаш рет Р Декарт байқаған, алайда оны қолданып, орнатқан Л Эйлер Сондықтан жоғарыдағы теоремасы Эйлер теоремасы дейді

3. сұрақ Егер де дөңес көпжақтардың бүйір жақтары бірдей санды қабырғалары бар дұрыс көпбұрыштар болса және көпжақтың әр төбесінде оның бірдей санды қырлары түйіссе, онда оны дұрыс көпжақ деп атайды Дұрыс көпжақтың 5 түрі бар

Дұрыс төртжақ(тетраэдр)-барлық жақтары дұрыс үшбұрыш болып келген және әр төбесінде үш қыры түйісетін көпжақ (4 төбесі, 4 жағы 6 қыры болады)

Дұрыс алтыжақ(гексаэдр-куб)-барлық жақтары дұрыс төртбұрыш болып келген және әр төбесінде үш қыры түйісетін көпжақ (8 төбесі, 6 жағы, 12 қыры болады)

Дұрыс сегізжақ(октаэдр)-барлық жақтары дұрыс үшбұрыштар болып келген және әр төбесінде төрт қыры түйісетін көпжақ (6 төбесі, 8 жағы, 12 қыры болады)

Дұрыс он екі жақ(додекаэдр)-барлық жақтары дұрыс бесбұрыш болып келген және әр төбесінде үш қыры түйісетін көпжақ (20 төбесі, 12 жағы, 30 қыры болады)

Дұрыс жиырма жақ(икосаэдр)-барлық жақтары дұрыс үшбұрыш болып келген және әр төбесінде 5 қыры түйісетін көпжақ (12 төбесі, 20 жағы, 30 қыры болады)

Тексеруге арналған сұрақтар:

1. Қандай графты жазық граф деп атайды?

2. Жазық граф туралы Эйлер теоремасын тұжырымдаңыз

3. Жазық графтардың қасиеттерін тұжырымдаңыз

4. Дұрыс көпжақтардың түрлерін атаңыз

Тақырыбы: Байланысты және байланыссыз графтар

1 Байланысты және байланыссыз графтар

2 Байланысты графтың қасиеттері

3 Эйлер есебі

Дәрістің мақсаты:

Студенттерді байланысты және байланыссыз графтар, байланысты графтың қасиеттері және Эйлер есебімен таныстырып, графтар теориясының элементтерін сәйкестіктер, бейнелеулер, қатынастар графтарында салғанда қолдапғандарын естеріне саламыз

Тірек сөздер: Байланысты және байланыссыз графтар, цикл, қарапайым цикл, қарапайым емес цикл, Эйлер сызықтары, бағдарлапбаған граф, аралас граф, тұзақ

Әдебиеттер:

1.32-33 беттер

5. І тарау §2 п 4, ІІ тарау §5

1 сұрақ : Графтағы ешбір қибырға арқылы 1-ден артық рет өтпейтін сызық шынжыр деп аталады Егер қозғалысты А нүктесінен бастап, барлық төбелерден әр қабырға бойымен тек бір ғана рет жүре отырып, сол А төбесіне қайта оралу мүмкін болса, мұндай жолды цикл деп атайды Егер циклдың барлық төбелері әр түрлі болса, мұндай цикл қарапайым цикл, ал қарсы жағдайда қарапайым емес цикл деп аталады Кей жағдайда цикл графтың барлық қабырғаларын дәл бір реттен қамтиды Мұндай циклдарды Эйлер сызықтары деп атайды

Егер графтың кез-келген екі төбелері қандай да бір шын-жырмен байланысып тұрса, ондай графты байланысты граф дейді, яғни байланысты граф дегеніміз бірде бір оқшауланған нүктесі болмайтын граф

Егер графтың ең болмағанда екі төбесін қосатын жол болмаса, оны байланыссыз граф деп айтады, яғни оның қандай да бір төбесінен шығып, басқа төбелеріне қабырғаларының ешқайсысынан бір рет қана өте отырып бару мүмкін болмайды

2 сұрақ: Байланысты графтың қасиеттері

1. Кез-келген байланысты графтың дәрежелері тең болатын ең болмағанда екі төбесі бар болады

2. Барлық төбелерінің дәрежелері жүп болатын байланысты граф Эйлер сызығы болып табылады

3. Байланысты графта оның барлық қибырғаларын дәл бір реттен қамтитын шынжыры бар болуы үшін А мен В төбелерінен басқа тақ дәрежелі төбелердің болмауы қажетті және жеткілікті

Барлық қибырғаларының бағыты көрсетілген граф бағдарланған граф деп аталады Қибырғаларының бағыты көрсетілмеген графты бағдарланбаған граф дейді Кей қибырғаларының бағыты бар, ал кей қибырғаларының бағытты көрсетілмеген графты аралас граф деп атайды

Үштарындағы нүктелері беттесетін қибырғаны тұзақ деп атайды Графты кескіндеу барысында тұзақ сол төбеге қайтап келетін және басқа төбелерден өтпейтін тұзақ доға түрінде болады Әдетте тұзақ бағдарланбаған деп есептеледі

3 сұрақ: Граф жөніндей бірінші есепті 1736 жылы Л Эйлер ұсынды Ол есептің мазмұны Калининград қаласының кез-келген жерінен, сол қаладағы барлық көпірлерді тек бір ғана рет өтіп, шыққан жерге қайтып келуге бола ма?

Калининград қаласында 7 көпір бар, оның жоспары төмендегідей

С жерден шығып қаланың барлық көпірлерінен бір рет қана өтіп, қайта С жерге келу

Енді граф жасайық, ол үшін қала бөліктерін A, B, C, D нүктелер деп, ал оларды қосатын көпірлерді қабырғалары деп белгілейіе Сонда келесі граф шығады

Осы есептен кейін, мұндай мазмұнды есеп өте көп пайда болды

Тексеруге арналған сұрақтар:

1. Байланысты және байланыссыз графтардың мән-мағынасын ашыңыз

2. Байланысты графтың қасиеттерін тұжырымдап беріңіз

3. Бағдарланған және бағдарланбаған графтардың мән-мағынасын ашыңыз

4.Эйлер есебінің мазмұнын түсіндіріп беріңіз

Дәріс – 8

Тақырыбы: Санау жүйелері

1. 
   Санау жүйесі ұғымы. Санаудың позициялық және позициялық емес жүйелері.
   
2. 
   Санаудың ондық жүйесіндегі сандардың жазылуы мен атаулары.
   

Әдебиеттер:

/1/ 143-145 беттер

/2 ІІ тарау §10 п 1,2

/3/ ІІІ тарау §7 п 48-49

Қосымша 2. ІІ тарау §12 п 67-69