– дәріс Тақырыбы: Бұрыштар мен түзулер

1. 
   Сыбайлас және вертикаль бұрыштар.
   
2. 
   Параллель түзулер. Түзулердің параллельдік белгісі. Перпендикуляр түзу.
   

Әдебиеттер:

/4/ §1 п 6-7, §2 п 14-18, §4 п 29-36

/5/ §31

/4/ 3 тарау §19

Тірек сөздер: Сыбайлас және вертикаль бұрыштар, параллель, перпендикуляр, көлбеу, проекция, қиюшы, ішкі айқыш және тұстас бұрыштар.

1 сұрақ // Ан: Егер ені бұрыштың бір қабырғасы ортақ болып, ал қалған қабырғалары толықтауыш жарты түзулер болса, онда мұндай бұрыштар сыбайлас бұрыштар деп аталады.
Теорема: Сыбайлас бұрыштардың қосындысы 180 градусқа тең.
Салдар 1. Егер ені бұрыш тең болса, онда олармен сыбайлас бұрыштар да тең болады.
Салдар 2. Тік бұрышпен сыбайлас бұрыш---------- тік бұрыш болады.

Сүйір бұрышпен сыбайлас бұрыш – доғал, ал доғал бұрышпен сыбайлас бұрыш сүйір болады.

Екі түзуді қиюшымен қиғанда пайда болатын бұрыштар.

Ішкі тұстас бұрыштар, ішкі айқыш бұрыштар.
Теорема: Егер ішкі айқыш бұрыштар тең болса, немесе ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы 180 градусқа тең болса, онда түзулер параллель болады.

Теорема: Параллель екі түзуді үшінші түзумен қиғанда ішкі айқыш бұрыштар ------------ тең, ал ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы 180 градусқа тең болады.

Ан: Егер екі түзу тік бұрыш жасап қиылысса, олар перпендикуляр түзулер деп аталады.

Теорема: Түзудің әрбір нүктесі арқылы оған перпендикуляр түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Теорема: Берілген түзуде жатпайтын кез келген нүктеден осы түзуге перпендикуляр жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

ВС кесіндісі В нүктесінен а түзуіне жүргізілген көлбеу деп аталады.

С нүктесі көлбеудің табаны, ал АС кесіндісі көлбеудің проекциясы деп аталады.
Тексеруге арналған сұрақтар.

1. 
   Сыбайлас және вертикаль бұрыштарды анықтаңыз.
   
2. 
   Сыбайлас және вертикаль бұрыштардың қасиеттерін тұжырымдаңыз.
   
3. 
   Параллель түзулердің анықтамасын беріңіз, түсіндіріңіз.
   
4. 
   Екі түзуді қиюшымен қиғанда пайда болатын бұрыштарды атаңыз, көрсетіңіз.
   
5. 
   Ішкі айқыш және тұстас бұрыштарды анықтағыз, қасиеттерін тұжырысдаңыз.
   
6. 
   Перпендикуляр түзудің анықтамасын беріңіз.
   
7. 
   Перпендикулярдың болатынын және жалғыз болатынын тұжырымдаңыз.
   
8. 
   Перпендикуляр, көлбеу, проекция ұғымдарын анықтап, көрсетіңіз.
   

1. 
   Призма, параллелепипед, пирамида және оларды жазықтықта кескіндеу.
   
2. 
   Призма, параллелепипед және пирамиданың бүйір және толық беттері.
   

Әдебиеттер:

/1/ 264-268 б.

/4/ §19 п 268-278.

/5/ §16.

Қосымша /4/ 3 тарау §18

Призма табанында жатқан көпбұрышқа байланысты үшбұрышты, төртбұрышты т.с. n-бұрышты деп бөлінеді.

Призманың бүйір беті табандары мен бүйір бетінен құралады. Призманың биіктігі деп оның табандарының ара қашықтығын айтады. Призманың бір жағына тиісті емес екі төбесін қосатын кесіндіні призманың диагоналы деп атайды. Призманың кескінін төмендегіше саламыз. Ең алдымен табандарының бірін саламыз. Ол қандай да бір жазық көпбұрыш. Сонан соң оның төбелерінен ұзындықтары бірдей параллель кесінділер түрінде призманың бүйір қырларын жүргізіледі. Осы кесінділердің ұштарын өзара қосады да, призманың екінші табанын шығарып алады. Көрінбейтін қырларды үзік сызықтармен жүргізеді.

Егер призманың бүйір қырлары табандарына перпендикуляр болса, оны тік призма деп атайды.

Егер тік призманың табандары дұрыс көпбұрыш болса, онда ол дұрыс призма деп аталады.

Егер призманың табаны параллелограмм болса, онда ол параллелепипед деп аталады. Көлбеу, тік және тік бұрышты параллелепипедтер деп бөлінеді.

Пирамида дегеніміз жазық көпбұрыштан – пирамиданың табанынан, табан жазықтығында жатпайтын нүктеден – пирамиданың төбесінен және пирамиданың төбесін табанының нүктелерімен қосатын барлық кесінділерден құралған көпжақ.

Пирамиданың төбесін табанының төбелерімен қосатын кесінділер пирамиданың бүйір қырлары деп аталады.

Пирамиданың биіктігі деп пирамиданың төбесінен табан жазықтығына түсірілген перпендикулярды атайды. Пирамиданың кескінін төмендегіше саламыз. Ең алдымен табаны (көпбұрыш) салынады.Сонан соң пирамиданың төбесін белгілейді де, оны бүйір қырлары арқылы табанының төбелерімен қосады.

Егер пирамиданың табаны дұрыс көпбұрыш болып, ал биіктігінің табаны осы көпбұрыштың центрімен дәл келетін болса, онда ол дұрыс призма деп аталады.

2 – сұрақ. Жоғары да, призманың беті табандары мен бүйір бетінен құралады – дедік. Призманың бүйір беті, бүйір жақтары аудандарының қосындысынан тұрады, ал толық беті бүйір бетіне, екі табанынан аудандарын қосқанға тең.

Сонымен призманың толық беті

Sт.б.= Sб.б. + 2Sтаб.

Дұрыс пирамиданың бүйір жақтарын - өзара тең, тең бүйірлі үшбұрыштар.

Дұрыс пирамиданың бүйір жағының төбесінен жүргізілген биіктігі апорема деп аталады.

Пирамиданың бүйір беті, оның бүйір жақтары аудандарының қосындысына тең.

1. 
   Призма дегеніміз қандай көпжақ?
   
2. 
   Призманың бүйір қырларын, биіктігін, табандары көпбұрышты атаңыз.
   
3. 
   Призманы жазықтықта кескіндеңіз.
   
4. 
   Призманың түрлерін айтыңыз.
   
5. 
   Параллелепипед түрелерін атаңыз.
   
6. 
   Пирамида дегеніміз қандай көпжақ.
   
7. 
   Пирамиданың бүйір қырларын, биіктігін көрсетіңіз.
   
8. 
   Пирамиданы жазықтықта кескіндеңіз.
   
9. 
   Пирамиданың түрлерін атаңыз.
   
10. 
    Призманың, параллелепипедтің, пирамиданың толық беті мен бүйір бетінің формулаларын жазыңыз.
    

1. 
   Цилиндр, конус, шар және оларды жазықтықта кескіндеу.
   
2. 
   Цилиндр, конус және шардың бүйір және толық беттері.
   

Әдебиеттер:

/1/ 269-271б.

/4/ §20 п 181-187

Тірек сөздер: Цилиндр, цилиндр табаны, жасаушысы, радиусы, биіктігі, диаметрі, осі, центрі.

Конус, конус табаны, төбесі, жасаушысы, биіктігі, осі, центрі, радиусы.

Шар, шар центрі, радиусы, диаметрі, шар беті – сфера.

1. 
   -сұрақ. Цилиндр деп бір жазықтықта жатпайтын екі дөңгелектен және осы дөңгелектердің сәйкес нүктелерін қосатын, параллель көшіргенде дәл беттесетін, барлық кесінділерден құралатын денесі атайды.
   

Егер цилиндрдің жасаушылары табан жазықтыөтарына перпендикуляр болса, онда оны тік цилиндр деп атайды.

Цилиндрдің радиусы – оның табандарының радиустары, цилиндрдің биіктігі деп табан жазықтықтарының ара қашықтығын атайды.Цилиндрдің осі деп табандарының центрлерінен өтетінін түзуді атайды.

Цилиндрді кескіндеу үшін тік төртбұрышты бір қабырғасынан осы қабырғаны ось ретінде алып, айналдырғанда жасалатын денені алады.

Конус деп дөңгелектен – конустың табанынан, бұл дөңгелектің жазықтығында жа------------------------------------- конустың төбесінен және конустың төбесін табандағы шеңбердің нүктелерімен қосатын барлық кесінділерден құралған денеі айтады.

Конустың төбесін табанындағы шеңбердің нүктелерімен қосатын кесінділер конустың жасаушылары деп аталады. Егер конустың төбесін табанының центрімен қосатын түзу табан жазықтығын перпендикуляр болса, ол тік конус деп аталады. Конустың биіктігі деп оның төбесінен табан жазықтығына түсірілген перпендикулярды атайды.

Тік дөңгелек конустың осі деп оның биіктігін қамтитын түзуді атайды.

Тік дөңгелек конусты көрнекі түрде (кескіндеу) тік бұрышты үшбұрышты, оның бір катетін ось етіп алып, одан ------------------ пайда болатын дене деп қарастыруға болады.

Шар деп берілген нүктеден берілген қашықтықтан артық емес қашықтықта жататын кеңістіктің барлық нүктелерінен тұратын денесі айтады. Бұл нүкте шардың центрі деп, ал беілген ара қашықтықтың шардың радиусы деп аталады.

Шардың -------------- шардың беті немесе сфера деп аталады.

Шарды жазықтықта кескіндеу үшін жарты дөңгелекті осі ретінде диаметрін алып, айналдырғанда аламыз.

1. 
   сұрақ. Цилиндрдің беті табандарынан және бүйір бетінен құралады.
   

Цилиндрдің толық беті

S = 2ПRH +2ПR =2ПR(R+H)

Тік конус үшін

S = ПRl – мұндағы R- радиусы, l – жасаушысы.
S=S+S=ПRl+ПR=ПR(R+l)
Шар беті, сфераның ауданына тең, яғни
S = 4ПR , R – радиусы.

Тексеруге арналған сұрақтар:

1. 
   Цилиндр, конус және шарды анықтаңыз.
   
2. 
   Жазықтықта цилиндрді, конусты және шарды кескіндеңіз.
   
3. 
   Цилиндрдің, конустың және шардың негізгі элементтерін атаңыз, көрсетіңіз.
   
4. 
   Цилиндр, конус және шардың беттерінің формулаларын жазыңыз.
   

1. 
   Циркуль және сызғыш көмегімен геометриялық фигураларды салу.
   
2. 
   Берілген кесінді мен бұрышты салу. Параллель және перпендикуляр түзулер алу.
   
3. 
   Кесіндіні қақ бөлу. Шеңбер салу.
   

Студенттерді жазықтықта салу есептерін сызғыш және циркуль көмегімен салуға үйрету.

Әдебиеттер:

/1/ 262-264 б.

/4/ §5 п 38-49

Қосымша /3/ 2 тарау §4

/4/ 6 тарау §31

Тірек сөздер: Циркуль, сызғыш, «бір жақты сызғыш », салу есептері, берілген кесінді, бұрыш, шеңбер, кесіндіні қақ бөлу, радиус, центр, параллель, перпендикуляр түзулер.

Салу есептері негізінен төрт кезеңнен, анализ, синтез, зерттеу және дәлелдеуден тұрады.

Көбіне қарапайым салуларда алғашқы екеуімен шектеледі.

2 сұрақ: Кесіндіні салу.

Кез келген жарты түзудің бойына оның бас нүктесінен бастап ұзындығы берілген кесіндіні -------- салуға болады.

Есеп: Берілген жарты түзуден бастап берілген жарты жазықтыққа берілген бұрышқа тең бұрыш салу керек.

Шешуі: Берілген бұрышта А төбесін центр етіп алып, кез келген шеңбер сызамыз. Сонда ол шеңбер, бұл бұрыштың қабырғаларын В мен С нүктелерінде қияды. Енді жарты түзудің бас нүктесі О – ны центр етін, радиусы АВ – ға тең шеңбер сызамыз. Ол шеңбер жарты түзуді В1- нүктесінде қияды. Енді В1нүктесін центр етіп алып, радиусы ВС – ға тең шеңбер сызамыз. Сызылған шеңберлердің көрсетілген жарты жазықтықтағы қиылысу нүктесі С1 ізделінді бұрыштың қабырғасында жатады.

Есеп: Берілген О нүктесі арқылы берілген а түзуіне перпендикуляр түзу жүргізу керек.

Шешуі: Екі жағдай болуы мүмкін.

а) О нүктесі а түзуіне жатады.

ә) О нүктесі а түзуіне жатпайды.

а) О нүктесінен кез келген радиуспен шеңбер жүргіземіз. Ол а түзуін екі нүктеде А және В қияды. А және В нүктелерінен радиустары АВ – ға тең шеңберлер жүргіземіз. С нүктесі бұлардың қиылысу нүктесі болсын. Ізделінді түзу О және С нүктелері арқылы өтеді.

ә) өз бетімен.

Шешуі: Айталық, АВ – берілген кесінді болсн. А мен В нүктелерін центрлер етіп алып, радиусы АВ – ге тең шеңберлер сызамыз. С мен С1 осы шеңберлердің қиылысу нүктелері болсын. Бұлар АВ түзуіне қарағанда әр түрлі жарты жазықтықтарда жатады. СС1 кесіндісі АВ түзуін ------------ бір О нүкте АВ кесіндісінің ортасы болады.

Шеңберді салу үшін оның радиусы белгілі болса болғаны.
Тексеруге арналған сұрақтар:

1. 
   «Бір жақты» сызғыш дегеніміз не?
   
2. 
   Циркуль деп қандай құралды айтады?
   
3. 
   Берілген кесінді мен бұрышқа тең кесінді мен бұрыш салуды түсіндіріңіз.
   
4. 
   Берілген нүктеден, берілген түзуге перпендикуляр түзу жүргізуді түсіндіріңіз, көрсетіңіз.
   
5. 
   Кесіндіні қақ бөлуді түсіндіріңіз, көрсетіңіз.
   

1. 
   Қабырғалары берілген үшбұрышты салу.
   
2. 
   Қабырғалары берілген тік төртбұрышты салу.
   
3. 
   Координаталары бойынша фигураларды салу.
   

Тірек сөздер: Үшбұрыш қабырғалары, бұрыштары, тік бұрыш, координаталары, декарттық координаталар жүйесі, координаталық түзулер.

Әдебиеттер:

/1/ 262-264 б.

/4/ §5 п 38-49

Қосымша /3/ 2 тарау §4

/4/ 6 тарау §32
1 сұрақ. Есеп: а,в,с қабырғалары берілген үшбұрышты салу керек. Шешуі: Сызғыштың көмегімен кез келген түзу жүргіземіз де, оның бойынан кез келген В нүктесін белгілейміз. Цирульдың ашасын а – ға тең етіп алып, центрі В, ал радиусы а болатын шеңбер сызамыз. Айталық, С – оның түзумен қиылысу нүктесі болсын. Енді циркульдың ашасын с – ға тең етіп алып, центрі В болатын шеңбер және циркульдың ашасын в – ге тең етіп алып, центрі с болатын шеңбер сызамыз. Бұл шеңберлердің қиылысу нүктесі А болсын. АВ мен АС кесінділерін жүргіземіз. АВС үшбұрышының қабырғалары а, в және с – ға тең болады.

2сұрақ. Есеп: Қабырғалары а және в кесінділері болатын тік төртбұрыш салу керек.

Шешуі: Алдымен тік бұрыш салып аламыз. Сосын сол тік бұрыштың қабырғаларына, бұрыштың төбесінен бастап а және в кесінділерін саламыз. Оны қалай салу керек екенін біз 6 дәрісте өттік.

Шешуі: Алдымен --------------------- координаталар жүйесін жүргіземіз.

Сосын берілген нүктелерді, берілген координаталар жазықтығында, оларды өзара кесінділермен қосамыз. Сонда шыққан үшбұрыш, ізделінді үшбұрыш болады.
Тексеруге арналған сұрақтар:

1. 
   Берілген үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салуды түсіндіріңіз, көрсетіңіз.
   
2. 
   Берілген қабырғалары бойынша тік төртбұрыш салуды көрсетіңіз.
   
3. 
   Декарттық координаталар жүйесі дегеніміз не?
   
4. 
   Декарттық координаталары берілген фигураларды салуды түсіндіріңіз. Мысал келтіріңіз.
   

1. 
   Шама ұғымы
   
2. 
   Шама ұғымының анықтамасы
   
3. 
   Скаляр шама және оның қасиеттері
   

Студенттерге шама ұғымы, оны анықтау мәселелері, скаляр шама және оның қасиеттері жөнінде мағлұматтар беріп, мысалдармен білімдерін бекіту.

Әдебиеттер.

1.272-277 бет

2. 5 тарау §21 п 1-2

3. 5 тарау §15 п 104-107

1-сұрақ: Шамалар жайындағы жалпы түсініктер оларға тән ерекшеліктерді сипаттауға мүмкіндік береді.

Біріншіден, шамалар – нақты объектілер мен құбылыстардың ерекше қасиеттері. Мәселен, заттардың бойлылық (созымдылық) қасиеті ұзындық деп аталады.

Екіншіден, шама – заттар мен құбылыстардың, оларды салыстыруға мүмкіндік беретіндей қасиеттері.

Үшіншіден, шама – заттарды немесе құбылыстарды салыстыруға мүмкіндік беретіндей қасиет болумен бірге осы қасиеттің көмегімен екі эквивалентті емес заттардың қайсысы бұл қасиетке көбірек ие болатындығын тағайындауға болады. Мыс: «ұзындығы бар» қасиетіне ие болатын заттар жиынында ұзындығы әр түрлі ені заттың қайсысы ұзынырақ болатындығын тағайындауға болады.

А.Н.Колмогоров ұсынған анықтама:

Оң скаляр шама деп мына:

1) V a,b,c ε Q , не a = b , не a < b , не a > b.

2) V a,b,c ε Q үшін, егер a < b және b < с болса, онда a < с

(кем қатынасының транзитивтілігі)

3) V a,b ε Q үшін,a + b=c қосындысы бар және жалғыз ғана болады.

4) V a,b ε Q a + b = b + a (ауыстырым).

5) V a,b,с ε Q a + (b+с) = (a+b)+ с – (терім.)

6) V a,b ε Q a + b > a (монотондылық)

7) V a,b ε Q үшін, егер a > b болса, онда a = b + c болатындай c Є Q элементі бар және жалғыз ғана болады.

8) V a ε Q және V n N үшін n·b = a болатындай b Є Q бар болады.

9) V a,b ε Q үшін a < nb болатындай n Є N болады.

10) Егер a₁ < a₂ 3 <... < b_n < ... < b₂ < b₁ және n - нің өсуіне байланысты

в_n – a_n шектеусіз кемісе, онда барлық n ε N үшін a_n0n орындалатындай x0 шамасы бар және жалғыз ғана болады, осы Q жиынының кез келген элементін айтады.

Екінші анықтаманы Н.Я.Виленкин ұсынған.

Ан: Бір – біріне тең шамалы объектілерден құралған әрбір эквиваленттілік класы шама деп аталады.

3–сұрақ: Бір ғана сандық мәнмен анықталатын шамалар скаляр шамалар деп аталады. Ұзындық, аудан, масса, көлем және т.с.с. скаляр шамалар болып табылады.

1. Шамалар өлшемділікпен сипатталады, яғни егер а шамасының қандай да бір е мәні бірлік ретінде алынса, онда а шамасының әрбір мәніне қандай да бір оң жақты санды сәйкестендіруге болады: а = pc p Є R, яғни

me(а) =P.

2. Шамалар үздіксіздікпен сипатталады, яғни егер а шамасының бірлік мәні таңдап алынса, онда (s,t) аралығынан алынған әрбір нақты сан осы шаманың қандай да бір мәніне сәйкес келеді.

3. Шамалар салыстырымдылықпен сипатталады, яғни кез келген біртекті екі шаманы салыстыруға болады. Біртекті шамалар үшін «тең», «кем» және «артық» қатынастары орын алады, кез келген а мен b шамалары үшін а < b, a = b, a > b қатынастарының біреуі, тек біреуі ғана орындалады.

4. Шамалар аддитивтілікпен сипатталады, яғни тегі бірдей шамаларды қосуға болады, қосу нәтижесінде тегі сондай шама шығады. Берілген шаманың әртүрлі екі мәні бойында, оның үшінші мәнін бірмәнді анықтауға болады, яғни кез келген екі а мен b шамалары үшін а+b шамасы бір мәнді анықталады, оны а мен b шамаларының қосындысы деп атайды.

5. Шаманы нақты санға көбейтуге болады, нәтижеде тегі сондай шама алынады, яғни кез келген а шамасы мен кез келген теріс емес нақты х саны үшін а шамасының санға көбейтіндісі деп аталатын жалғыз ғана b = x·a шамасы бар болады.

Біртекті шамаларды, олардың айырмасын қосынды арқылы анықтай отырып, шегереді: а мен b шамаларының айырмасы деп a = b + c болатындай c шамасын айтады.

Біртекті шамаларды, бөліндіні шаманың санға көбейтіндісі арқылы анықтай отырып бөледі: а мен b шамаларының бөліндісі деп а = x·b болатындай теріс емес нақты х санын айтады.

Тексеруге арналған сұрақтар:

1. 
   Шама ұғымының нақты дүниенің қасиеті ретіндегі мағынасын ашып көрсетіңіз және оның сипаттылық ерекшеліктерін бөліп көрсетіңіз.
   
2. 
   А.Н.Колмогоров пен Н.Я.Виленкин берген шама анықтамасын келтіріңіз.
   
3. 
   Скаляр шаманың негізгі қасиеттерін тұжырымдаңыз.
   

1. 
   Кесіндінің ұзындығы. Кесінді ұзындығын өлшеу.
   
2. 
   Кесінді ұзындығының негізгі қасиеттері.
   
3. 
   Ұзындықтың стандарт бірліктері, олардың арасындағы қатынастар.
   

Студенттерді кесіндінің ұзындығы ұғымы, оны өлшеу және оның өлшем бірліктері арасындағы қатынастармен таныстырып, есептер шығаруда қолдана білуге үйрету.

Әдебиеттер.

1. 277-279 бет.

2. 5 тарау §21 п 3

3. 5 тарау §16 п 108

4. Қосымша 3 тарау §16.

1.Тең кесінділердің ұзындықтары тең болады.

2. Егер кесінді саны шекті кесінділерден құралса, онда оның ұзындығы осы кесінділердің ұзындықтарының қосындысына тең болады.

Егер а кесіндісі әрқайсысы екеуінің ортақ ұштары болғанымен, ішкі ортақ нүктелері болмайтын а₁, а₂, ... , а_п кесінділердің бірігуі болып табылатын болса, онда а кесіндісі а₁, а₂, ... , а_п кесінділерін бөлшектелген дейді, яғни а кесіндісін осы кесінділердің қосындысы деп атайды.

а = а₁+а₂+ ... + а_п

Кесіндінің ұзындығын өлшеуді былай жүзеге асырады. Кесінділер жиынынан қандай да бір е кесіндісін таңдап алады да, оны ұзындық бірлігі ретінде қабылдайды. а кесіндісінің бойына оның бір ұшынан бастап е кесіндісіне тең кесінділерді, бұл мүмкін болғанда, өлшеп салады.

Сонымен, таңдап алынған ұзындық бірлігінде кез-келген кесіндінің ұзындығы оң нақты санмен өрнектеледі. Сондай-ақ керсініше де тура болады, егер оң нақты Р, Р₁, Р₂,..... сан берілсе, онда оның белгілі бір дәлдікпен алынған жуықтауын алып, осы санның жазылуына сәйкес салуларды орындай отырып, ұзындығының сандық мәні Р, Р₁, Р₂,..... бөлшегі болатын кесіндіні аламыз.

1. Ұзындықтың таңдап алынған бірлігінде бірлігінде кез келген кесіндінің ұзындығы оң нақты санмен өрнектеледі және әрбір кез келген оң нақты сан үшін ұзындығы осы санмен өрнектелетін кесінді бар болады, яғни

а = pe me (a) = p.

2. Егер ені кесінді тең болса, олардың ұзындығының сандық мәні тең болады және керісінше, егер ені кесіндінің ұзындықтарының сандық мәндері тең болса, онда кесінділердің өздері де тең болады, яғни

а = b<=> m_e(а) = m_e (b).

3. Егер берілген кесінді бірнеше кесінділердің қосындысы болып табылтын болса, онда оның ұзындығының сандық мәні қосылғыш кесінділердің ұзындықтарының сандық мәндерінің қосындысына тең болады және керісінше, яғни с = a + b => m_e (c) = m_e (a)+ m_e (b).

4. Егер а мен b кесінділерінің ұзындықтары үшін b = x · a теңдігі орындалса және а кесіндісінің ұзындығы е бірлікпен өлшенген болса, онда b кесіндісінің е бірліктегі сандық мәнін табу үшін х санын а кесіндісінің е бірлігіндегі сандық мәніне көбейту жеткілікті, яғни

b = x·a <=> m_e(b) = x · m_e (a).

5. Ұзындық бірлігін ауыстырғанда ұзындықтың сандық мәні, жаңабірлік бұрғыдан қанша кем (артық) болса, сонша есе ұзарады (қысқарады).

6. Сондай – ақ мыналар орындалады:

a > b => m_e(a) > m_e (b)

c = a – b < = > m_e (c) = m_e (a) - m_e (b)

Францияның ұлттық архивіне сақтауға өткізілген метрдің эталоны – ұштарына штрихтер түсірілген, платшадан жасалған сызғыш іспетті.

Ұзындықтың басқа да айтардай бірліктеріне мм, см, дм, км жатады. Ұзындықтың бірліктері арасындағы қатынас төмендегі кестемен сипатталады:

1 см = 10мм

1дм =10дм =100 мм

1м = 10 дм = 100 см = 1000 мм

1км = 1000м = 10 000 дм = 100 000 см =1000 000 мм

Кейбір ұзындық бірліктері:

1 миль = 1852 м = 1, 852 км

1 дюйм = 2 см 54 мм

1 ярд = 91,44 см

Ағылшынның ұзындық өлшем бірлігі.