Тепловые свойства твердых тел



жүктеу 1,25 Mb.
Pdf просмотр
бет13/22
Дата26.01.2022
өлшемі1,25 Mb.
#37247
түріЛекция
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   22
L2

T

=

T



*

 возбуждаются все возможные колебания системы с частотами 

от 

 до 


.  Дальнейшее  повышение  температуры  не  приводит  к  появлению  волн  с 

новыми  частотами 

,  а  ведет  лишь  к  увеличению  амплитуды  колебаний  (числа 

возбужденных квантов) с каждой частотой 

При  повышении  температуры  в  первую  очередь  возбуждаются  низкочастотные 



колебания. Экспериментальным путем было  установлено, что минимальная частота 

 для  кристалла  размерами  приблизительно  1  см  составляет  около  10

5

  Гц,  т.  е.  на  восемь 



порядков  меньше  максимальной  частоты.  Тогда 

,  т.  е.  низкочастотные 

колебания возбуждаются уже при температуре около 10

-6 


K.  

Макроскопические  тела  представляют  собой  совокупность  очень  большого  числа 

частиц, движущихся по законам классической или квантовой механики. В таких системах 

свойства подчиняются статистическим закономерностям.  

Найдем  среднее  значение  энергии  фонона  как  гармонического  квантового 

осциллятора.  Распределение  фононов  по  состояниям  при  тепловом  возбуждении  в 

гармоническом  приближении  подчиняются 

статистике  Больцмана

.  В  гармоническом 

приближении  рассматривается  система  невзаимодействующих  фононов,  т.  е.  ее  можно 

представить  как 



идеальный  фононный  газ

.  Согласно  статистике  Больцмана,  вероятность 

нахождения осциллятора в 

n

-м квантовом состоянии с энергией 

 равна [59] 

(6.7) 




Коэффициент 

определяется  из  условия  нормировки 

.  Следовательно, 

. Таким образом

(6.8) 


В  этом  случае  средняя  энергия  осциллятора 

 при  заданной  температуре  будет 

равна сумме произведений возможных энергий осциллятора 

 на их вероятность

 





(6.9) 

Обозначим  в  (6.9) 

,  тогда  прямым  дифференцированием  можно 

убедиться, что 

(6.10) 


где 

. Найдем величину 



g

, подставив в (6.9) выражение для энергии осциллятора в 

данном состоянии 



где

 

−  бесконечно  убывающая  геометрическая  прогрессия  со  знаменателем 



 и  первым  слагаемым 

.  Таким  образом,  учитывая,  что 

получим 


(6.11) 


Отсюда 

(6.12) 



Подставляя выражение (6.12) в (6.10), получим 

(6.13) 




Первое  слагаемое  в  формуле  (6.13)  соответствует  нулевой  энергии  осциллятора,  а 

второе слагаемое можно рассматривать как произведение энергии фонона 

 на среднее 

число фононов 

, находящихся в рассматриваемом квантовом состоянии 

(6.14) 



где 

Значит  фонон  –  это  возбуждение  кристалла  над  нулевым  уровнем  энергии, 



соответствующим  нулевым  колебаниям  атомов,  совершающимся  при  температуре 

абсолютного нуля. 

Оценим  количество  атомов,  находящихся  на  возбужденных  уровнях  при 

Поскольку  каждый  атом  в  решетке  совершает  одновременно  колебания  со  всеми 



частотами 

,  возбужденными  при  данной  температуре,  то  при 

 на  первом 

энергетическом  уровне  (

 

)  для  атомов,  колеблющихся  с  частотой 



,

 

энергия 


колебаний

 

. Тогда 



 и   вероятность  нахождения атома  в  состоянии  с 

данным квантовым числом 



n

  будет 


. Пользуясь этим соотношением, для 

различных   получим значения вероятности 

   


 

Количество ат. % 

от общего числа 

0,232 



23% 

0,0855 



8,5% 

0,031 



3,1% 

 Следовательно, 



p

n

 показывает, что на каждом энергетическом уровне при температуре 

 возбуждаются  не  все  атомы:  с  энергией  первого  возбужденного  уровня, 

соответствующей  частоте 

,  колеблется  только  приблизительно  23  %  атомов,  с 

энергией  второго  –  8,5  %  и  третьего  –  3,1  %  от  общего  числа  атомов  кристалла.  Таким 

образом,  при  температуре 

 значительная  часть  атомов  совершает  только  нулевые 

колебания с частотой 

Число  атомов,  возбужденных  на  первом  энергетическом  уровне  при  частоте 



экспоненциально быстро уменьшается с понижением температуры. Так, при 

 оно 

составляет около 12 %; при 



 − около 5 % от общего числа атомов в элементарной 

ячейке;  при 

 (несколько  кельвинов)  это  число  составляет  около 

 (

N

  − 

число атомов в ячейке), т. е. в решетке практически отсутствуют возбужденные на частоте 



 атомы.  

Следовательно, 

температуру 

 можно 


рассматривать 

как 


граничную 

характеристическую

 

температуру 

при  достижении  которой  в  кристалле  возбуждаются 

колебания со всеми возможными частотами.



 

При увеличении температуры выше 

 число 

возбужденных  на  частоте 

  атомов  быстро  возрастает,  так  что  при 

 возбуждаются 

колебания 

с 

частотой 



 практически 

у 

всех 



атомов. 


Характеристическую  температуру  обычно  называют 

температурой  Дебая 

и  обозначают 

 (

 

=



 

). 


Используя  полученную  выше  зависимость  для  средней  энергии  фонона  (6.14), 

запишем выражение для среднего значения энергии тепловых колебаний всей решетки 

(6.15) 


Поскольку нулевые колебания тепловой энергии не несут, то в (6.15) отсутствует эта 

часть энергии.  

Для  расчета 

 необходимо  знать  функцию  распределения  фононов  по  частотам 

.  Однако  даже  для  простой  трехмерной  структуры  получить  аналитическое 

выражение  для 



 

очень  сложно.  Поэтому  вычисление  энергии  колебаний 

производится  для  конкретных  моделей,  в  которых  вводится  предположение  о  виде 

функции 


.  Существуют  два  основных  приближения:  Эйнштейна  (1907)  и  Дебая 

(1912). 



жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   22




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау