Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

61
Олай болса қатар жинақталады.
8
-
мысал
.
 
n
n
n
n
2
2
1
1
3
2
−
∞
=
∑
 қатарының жинақты-жинақсыз екендігін 
анықтаныз.
Шешімі.
 
n
n
n
a
n
2
2
1
3
2
−
=
 жəне 
( )
( )
n
n
n
a
n
2
2
1
1
1
1
3
2
1
+
−
+
+
=
+
 
болғандықтан,
( )
.
1
1
1
2
3
lim
1
3
2
2
3
lim
lim
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
∞
=
+
⋅






=
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
+
∞
→
−
+
+
∞
→
+
∞
→
ï
n
n
a
a
n
n
n
n
n
ï
n
n
n
n
n
Ендеше қатар жинақталмайды.
5.2. 
 
Коши белгісі
Оң мүшелі
n
n
n
a
a
a
a
a
1
2
3
1
...
...
∞
=
+
+
+ +
+ =
∑
қатары үшін 
n
n
n
a
К
lim
→∞
=
                                           (3.16)
шегі бар болса, онда 
K < 
1 болғанда қатар жинақталады, ал 
K >1
 
болуында жинақталмайды.
Дəлелдеме
.
 
Егер 
K < 
1 болса, онда 
K + ε < 
1 болатындай 
кіші 
ε > 
0 саны табылады. Онда (3.16)-дан 
n
n
a
К
ε
−
<
 немесе 
n
n
К
a
К
ε
ε
− <
<
+
, 
n
 > 
N
. Бұдан жалпы мүшесі 
(
)
п
К
ε
+
 болатын 
қатар (кемімелі геометриялық прогрессия ретінде) жинақталады. 
Олай болса салыстыру теоремасы бойынша (3.7-теорема) берілген 
қатар жинақты болады
 
(
)
(
)
п
n
a
К
.
ε
<
+
 
Енді 
K >
1 болса, онда қандай да бір 
N
–нен бастап, кез келген 
n > N
 үшін 
n
n
a
1.
>
 Демек қатардың жинақты болуының қажетті 
шарты орындалмайды. Олай болса, қатар жинақталмайды. Теоре-
ма дəлелденді.

62
9
-
мысал
. 
п
n
п
п
1
2
1
∞
=
+






∑
қатарының жинақты болу-болмауын тексеріңіз.
Шешімі_.'>Шешімі
. 
п
n
n
n
n
n
n
п
п
a
п
п
1
1.
2
1
2
1
2
lim
lim
lim
→∞
→∞
→∞
=
=
= <
+
+






Олай болса Коши белгісі бойынша қатар жинақталады.
10-мысал. 
п
n
п
п
1
6
4
3
5
∞
=
−
+






∑
қатарының жинақты болуы–болмау-
ын зерттеңіз.
Шешімі
.
 
п
п
п
a
п
6
4
3
5
−
=
+






, 
n
п
n
n
n
a
n
6
4
2 1.
3
5
lim
lim
→∞
→∞
−
=
= >
+
Олай болса Коши белгісі бойынша қатар жинақталмайды.
Ескерту
. 
1. 
D = 
1 болғанда Даламбер белгісі бойынша, ал 
K = 
1 болғанда Коши белгісі бойынша қатардың жинақтылығы 
жөнінде тиянақты қорытынды жасау мүмкін емес. 
2. Егер қатардың жинақты болу–болмауы  Даламбер белгісі бой-
ынша анықталса, онда ол Коши белгісі бойынша да анықталады. 
Ал кері пікір дұрыс емес, атап айтқанда, қатарды зерттеуде Да-
ламбер белгісі қолданылмайтын жағдайда оған Коши белгісі де 
қолданылмайды деуге болмайды. Осы жайтқа байланысты кейде 
Коши белгісі
 Даламбер белгісінен 
күштірек
 деп айтылады. 
5.3. Кошидің интегралдық белгісі
Егер 
п
n
a
1
∞
=
∑
 қатары беріліп, онымен бірге 
x х
0
≥
 мəндерінде 
анықталған, үзіліссіз, оң жəне монотонды кемімелі 
( )
f x
 функ-
циясы үшін кейбір 
п N
≥
 нөмірінен бастап, 
п
a
=
( )
f п
 теңдігі 
орындалып,  
( )
x
f x dx
0
∞
∫
  меншіксіз  интегралы  жинақталса,  онда 
берілген қатар да жинақталады, ал егер интеграл жинақталмаса, 
онда қатар да жинақталмайды. 

63
11-мысал
.
 
(
)
n
п
1
1
,
0
α
α
∞
=
≥
∑
 қатарының жинақты болу-болмауын 
зерттеңіз. 
Шешімі:
 
( )
f x
x
1
α
=
, 
x
1
≥
, 
( )
(
)
В
B
B
B
B
dx
f x dx
x
B
x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
lim
lim
lim
α
α
α
α
α
α
∞
−
−
→∞
→∞
→∞
=
=
=
− =
−
−
−
∫
∫
 
егер α – 1 > 0, демек α > 1 болғанда қатар жинақталады (1-мысал). 
§6. Ауыспалы таңбалы қатарлар
Кез келген көрші мүшелерінің таңбалары қарама-қарсы болып 
келетін қатарды 
ауыспалы таңбалы қатар
 дейміз. Мұндай 
қатарды əдетте мүшелерінің таңбасын көрсетіп 
( )
( )
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
1
1
1
2
3
1
...
1
...
1
∞
+
+
=
−
+
− + −
+ =
−
∑
               (3.17)
түрінде жазады. Ауыспалы таңбалы қатардың жинақтылығын 
төмендегі сөйлем тағайындайды. 
Лейбниц теоремасы.
 Егер ауыспалы таңбалы (3.17) қа-
тары мүшелерінің абсолют шамалары монотонды кемімелі 
n
n
a
a
a
a
a
1
2
3
1
....
...
−
≥
≥
≥
≥
≥
 тізбегін құрып, 
n
n
a
0
lim
→∞
=
 болса, онда 
мұндай қатар жинақты болады. 
Дəлелдеме
.
 Ауыспалы таңбалы қатардың ішінара 
n
S
2
 қо-
сындысын 
(
) (
)
(
)
n
n
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
2
1
2
1
2
3
4
2
1
2
...
...
−
−
=
−
+ +
−
=
−
+
−
+ +
−
түрінде жазуымызға болады. 
Əрбір жақша оң болғандықтан, 
n
−
нің өсуінде 
n
S
2
−
нің де 
өсетінін байқаймыз. Енді 
n
S
2
−
ді басқаша 
(
) (
)
(
)
n
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
3
4
5
2
2
2
1
2
...
−
−
= −
−
−
−
− −
−
−
түрінде кескіндейтін болсақ, 
n
S
2
 қосындысы жоғарыдан 
a
1
0
≥
 
санымен шектелетінін көреміз. Сондықтан 
n
→ ∞
 болғанда, 
n
S
2
−
нің шегі бар екені жəне ол 
S
−
ке тең болатыны шығады: 

64
n
n
S
S
2
lim
→∞
=
                                     (3.18)
Əрі қарай 
n
n
n
S
S
a
2
2
1
2
+
=
−
 болуынан 
n
n
n
S
S
a
2
1
2
2
+
=
+
. Сонда 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
a
S
a
S
2
1
2
2
2
2
lim
lim(
) lim
lim
+
→∞
→∞
→∞
→∞
=
+
=
+
=
         (3.19)
Олай болса (3.18) жəне (3.19)-дан 
n
n
n
n
S
S
S
2
2
1
lim
lim
+
→∞
→∞
=
=
. Демек 
қатарымыз жинақталған болады. 
§7. Абсолютті жəне шартты жинақталу
Қатарлар жинақталуының жеткілікті шарты (Даламбер бел-
гісі) мүшелері оң қатарларға қатысты тұжырымдалған. Мү-
шелері теріс қатарлар үшін де мұндай қасиет сақталады. Енді 
мүшелерінің бір бөлігі оң, бір бөлігі теріс немесе нөлге тең 
қатарларды қарастырамыз. Мұндай қатарлар 
айнымалы таңбалы 
қатарлар
 деп аталады. 
Теорема 3.9
.
 Айнымалы таңбалы. 
n
n
n
a
a
a
a
1
2
1
...
...
∞
=
+
+ +
+ =
∑
                      (3.20)
қатары үшін оның модульдерінен жасалған 
n
n
n
a
a
a
a
1
2
1
|
| |
| ... |
| ...
|
|
∞
=
+
+ +
+ =
∑
                (3.21)
қатары жинақталған болса, онда берілген қатардың өзі де 
жинақталған болады.
Дəлелдеме
. Қосалқы 
(
) (
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
2
2
1
...
...
∞
=
+
+
+
+ +
+
+ =
+
∑
  (3.22)
қатарын қарастырайық. 
(
)
n
n
n
a
a
a
n
0
2
1, 2,....
≤
+
≤
=
                   (3.23)
жəне (3.21) қатарының жинақты болуынан, қатарларды салыс-

65
тыру белгісі негізінде (3.22) қатары да жинақты болып шығады. 
Алайда (3.20) қатары жинақталатын қатарлардың түріндегі
(
)
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
1
1
1
∞
∞
∞
=
=
=
=
+
−
∑
∑
∑
айырымын кескіндейді, олай болса өзі де жинақталған болады. 
Теорема дəлелденді.
Ескерту
. Кері пікір дұрыс емес. Атап айтқанда, егер берілген 
қатар жинақталған болса, онда оның мүшелерінің модульдерінен 
жасалған қатар жинақты болуға міндетті емес. Сонымен, 
жинақталатын қатарлардың барлығын екі топқа бөлуге болады.
Бірінші топқа кіретін жинақталатын қатарларға олардың 
модульдерінен жасалған қатар жинақты болатындай қатарларды 
жатқызуға болады. Мұндай жинақталатын қатарлар 
абсолютты 
жинақталатын қатарлар
 деп аталады.
Екінші топқа кіретін жинақталатын қатарларға, олардың мо-
дуль дерінен жасалған қатар жинақты болмайтындай қатар лар ды 
жатқызуға болады. Мұндай жинақталатын қатарлар 
шартты 
жинақталатын қатарлар
 деп аталады.
3.4
-
анықтама
. Берілген қатармен бірге оның мүшелерінің 
модульдерінен жасалған қатар жинақты болса, берілген қатар 
аб-
солютты жинақталған қатар
 
деп аталады. 
Берілген қатар жинақты болып, ал оның мүшелерінің мо-
дульдерінен жасалған қатар жинақты болмаса, берілген қа тарды 
шартты жинақталатын қатар
 
дейді. Мəселен, жинақ талатын
1 1 1
1
1
1
....
2 4 8 16 32
− + − +
−
+
қатары абсолютты жинақталатын қатар болып табылады, өйткені 
оның модульдерінен жасалған 
1 1 1
1
1
1
....
2
4 8 16 32
+ + + +
+
+
түріндегі қатар да жинақты болып келеді. (Осы қатарлардың екеуі 
де, еселігі 
1
2
−
 жəне 
1
2
-ге тең геометриялық прогрессиялар).
5–454

66
Ал, керісінше
1 1 1 1 1
1
.....
2 3 4 5 6
− + − + − +
қатары Лейбниц теоремасының шартына сəйкес, жинақталған 
болуына қарамастан абсолютты жинақталмайды, өйткені оның 
мүшелерінің модульдерінен жасалған 
1 1 1 1 1
1
...
2 3 4 5 6
+ + + + + +
                          (3.24)
қатары жинақталмайды (гармоникалық қатар). Расында осы 
қатардың 
n
a
n
1
=
 жалпы мүшесі 
n
→ ∞
-да нөлге ұмтылғанымен, 
қатардың өзі жинақталмайтынын көрсетейік. Ол үшін алғашқы 
m
2
 мүшелерінің 
т
S
2
 ішінара қосындысын алып, оның мүшелерін 
төмендегідей етіп топтастырайық:
т
S
2
2
2
2
1
1 1
1 1 1 1
1
2
3 4
5 6 7 8
= + +
+
+
+ + +
+

 


 


 

3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
9 10 11 12 13 14 15 16
+
+
+
+
+
+
+
+

 +…+




+…+
m
m
m
m
1
1
1
2
1
1
1
...
2
1 2
2
2
−
−
−
+
+ +
+
+






.
Төменгі теңсіздіктер орынды:
1 1
1 1
2
1 1 1 1 1
1 1 1 1
4
1
,
,
3 4
4 4
4
2 5 6 7 8
8 8 8 8
8
2
+ > + = =
+ + + > + + + = =
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
,
9 10 11 12
16 16 16 16 16 16 16 16 16
2
+
+
+
+ +
>
+
+
+
+
+
+
+
=

67
m
m
m
m
m
m
m
m
m
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
...
...
.
2
1 2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
−
−
+
+ +
>
+
+ +
=
=
+
+
Сонымен, əр жақшада тұрған мүшелер қосындысы  
1
2
 ден 
артық. Алғашқы екі мүшені есептемегенде, жақшалардың жалпы 
саны 
m
1
−
-ге тең болғандықтан, онда 
т
S
m
2
2
1
.
> +
 
Егер 
т
S
2
 қосындысында 
m
n
2
=
-ге тең мүшелер саны шек-
сіз ұлғайса, онда 
m
 көрсеткіші де шексіз өседі. Сондықтан
т
S
2
→ ∞
, демек гармоникалық қатар болып табылатын (3.24) 
қатары жинақталмайды. 

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: