Т.Қ. Қойбағарова, Р. А. Ельтинова

 
31 
Енді  333  санын  қарастырамыз.  Қайтадан  сұрақтар  қойыңыз: 
«Санның  жазбасында  оң  жақтан  бірінші  цифрдің  саны  қандай?»  – 
«Үш  бірлік!»  –  «Ал  екінші  цифр?»  –  «Үш  ондық!»  –  «Ал  үшінші 
цифр?»  –  «Үш  жүздік!»  –  «Санның  жалпы  мәні  қалай  шығады?»  – 
«Үш бірлікке үш ондықты және үш жүздікті қосу керек, сонда үш жүз 
отыз үш шығады!». 
Бұл  диалогтан  мұғалімнің  оқушыларға  жеткізуге  тиіс  барлық 
ережелер  туындайды.  Римдік  жазу  тәсілінде,  санды  құраған  әрбір 
цифрдың  мәні,  оның  тұрған  позициясына  (орнына)  тәуелді  емес. 
Арабша  жазу  тәсілінде,  санға  енген  әрбір  цифрдың  мәні,  оның  санда 
тұрған позициясына (орнына) тәуелді. «Позиция» сөзіне екпін жасап, 
мұғалім оқушыларға санның римдік жазу тәсілін позициялық емес, ал 
арабша жазу тәсілін позициялық деп аталатынын хабарлайды. Осыдан 
соң «санау жүйесі» терминін енгізуге болады. 
Санау  жүйесі  –  арнайы  белгілер  (цифрлар)  жиынтығының 
көмегімен сандарды ұсынудың анықталған тәсілі. 
Санның римдік жазу тәсілі – позициялық емес санау жүйесінің, 
ал арабша жазу тәсілі – позициялық санау жүйсенің мысалы болады.  
Санды  жазу  тәсілімен  оған  сәйкес  санау  жүйесінде 
арифметикалық  есептеу  әдістері  арасындағы  байланысты  атап  өту 
қажет.  Мысалы,  оқушыларға  жүз  қырық  бес  санын  алпыс  беске 
римдік және арабша санау жүйелерін қолданып көбейтуді ұсыныңыз! 
Араб  цифрларымен  жазылған  санды  көбейту,  оларға,  әрине,  оңай 
болады,  ал  римдік  цифрлар  –  есептеуге  көмекші  бола  алмайтынына 
көздері жетеді. Себебі римдік санау жүйесінде көп таңбалы сандарды 
есептеудің қарапайым және түсінікті ережелері жоқ.  
Ал,  араб  санау  жүйесі  үшін  сандармен  амалдарды  орындау 
ережелері  IX  ғасырда  белгілі  болған.  Оқушыларды  осы  тақырыпқа 
байланысты  тарихи  дерекпен  таныстыра  кету  пайдалы.  Көп  таңбалы 
сандарды  есептеу  ережелерінің  негізін  ортағасырлық  Шығыстың 
әйгілі математиктігі Хорезмдік Мұхаммед Мұсаұлы қалаған. Ол өзінің 
«Үнді  хисабы  туралы  кітап»  деген  еңбегінде,  кез  келген  
N  санын,  қазір  үнді-араб  цифрлары  деп  атап  жүрген  0,1,2,...,9  –  он 
белгілемер  (алфавит)  арқылы  өрнектеп  жазу  ережесін  баяндаған. 
Сонымен  қатар,  ол  осылайша  жазылған  сандарға  қолданылатын 
амалдарды  орындау  ережелерін  жасаған.  Европа  елдері  XII-XIII 
ғасырларда  Мұхаммед  әл-Хорезмидің  аталмыш  кітабы  арқылы 
онымен  алғаш  танысады.  Мұхаммед  кітабындағы  әрбір  ереже  «әл-
Хорезми  айтқан»  (латынша:  Dixit  Algorizmi)  деген  кіріспе  сөзден 
басталады.  Кейін  Европа  халықтары  тілінде  бұл  алгоритм  немесе 
алгорифм болып қалыптасқан.  

 
32 
Бұл  деректі  кейін  алгоритмдеу  тақырыбын  өткенде  еске  түсіру 
қажет. Сонымен, дәл позициялық санау жүйесі қазіргі математиканың 
негізін  қалады.  Ары  қарай  тек  позициялық  санау  жүйелеріндегі 
сандармен айналысамыз.  
Енді  оқушыларға  позициялық  санау  жүйелерінің  көптігі  және 
олардың бір-бірінен айырмашылығы, қолданылатын цифрлар жиыны– 
алфавитке байланысты болатынын түсіндіру қажет. 
Алфавит  өлшемі  (цифр  саны)  санау  жүйесінің  негізі  деп 
аталады.  Мына  сұрақты  қойыңыз:  «Неге  араб  жүйесі  ондық  санау 
жүйесі  деп  аталады?».  Сөзсіз,  алфавиттегі  он  цифр  туралы  жауап 
аларсыз. Қорытынды жасайық: араб санау жүйесінің негізі онға тең, 
сондықтан ол ондық деп аталады. 
Әртүрлі позициялық санау жүйелерінің алфавиттерін көрсеткен 
дұрыс. Негізі 10-нан аспайтын санау жүйелерінде тек араб цифрлары 
пайдаланылады.  Егер  жүйе  негізі  10-нан  үлкен  болса,  онда  цифр 
орнына  алфавиттік  ретпен  латын  әріптері  қолданылады.  Ары  қарай 
ондай жүйеден тек он алтылық санау жүйесі қарастырылады. 
Одан  соң  оқушыларды  әртүрлі  позициялық  жүйелерде  натурал 
сандар  қатарын  жазуды  үйреткен  дұрыс.  Түсіндіруді  ондық  жүйенің 
мысалымен  өткізген  ыңғайлы,  себебі  оқушыларға  натурал  сандар 
қатарының түрі белгілі: 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 19, 20, ..., 99, 100, 101,  
Қатарды құру принципі мынадай: алдымен өсу ретімен барлық 
бір мәнді сандар жазылады; бірінші екі мәнді сан – ылғи 10 (көп мәнді 
бүтін  сандардың  алдында,  жазылған  0  мәнді  цифр  емес,  әдетте 
жазылмайды).  Одан  әрі  бірдің  басқа  цифрлармен  барлық  екі  мәнді 
тіркесуі,  сосын  2-ден  басталатын  екі  мәнді  сандар,  сосын  3-тен 
басталатын  және  т.с.  Ең  үлкен  екі  мәнді  сан  –  99.  Одан  соң  100-ден 
999 дейін үш мәнді сандар кетеді және т.с. 
Осы  принцип  бойынша  натурал  қатары  басқа  санау  жүйелерде 
де құрылады. Мысалы, төрттік жүйеде (негізі 4):    
1 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, ..100, 101, 102, 
103, ..110, 111, ..., 333, 1000, ... 
Басқа жүйелерде осыған ұқсас: 
Үштік  жұйеде  (негізі  3):  1,  2,  10,  11,  12,  20,  21,  22,  30,  31, 
32,..100, 101, 102, ..110, 111, 112,..,333, ...  
Сегіздік жұйеде (негізі 8): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 
16, 17, 20, ...26, 27, 30,..100,... 
Ең үлкен қызығушылық тудыратын – екілік сандардың натурал 
қатары. Міне, оның түрі мынадай: 

 
33 
1, 10, 11,  100, 101, 110, 111,  1000, 1001,  1010,  1011, 1100, 1101, 
1110, 1111, 10000, ... 
Оқушылардың назарын аударатын қорытынды: екілік сандардың 
натурал қатарында разрядтар саны тез өседі. 
Санның  қандай  санау  жүйесіне  жататынын  нұсқау  үшін  жүйе 
негізін көрсететін индекстік белгілеу енгіземіз. Мысалы, 36
8
 – санның 
сегіздік  санау  жүйесінде  екенін  нұсқайды,  4B
16
  –  он  алтылық  сан, 
1011
2
 – екілік жүйедегі сан. Индекс әрқашан ондық санмен жазылады. 
Санау  жүйелердің  қайсысында  болсын  оның  негізі  10  деп 
жазылатынын ескерту қажет!. 
Тағы бір маңызды ескерту: ондық емес сандарды ондық сандар 
сияқты  атауға  болмайды.  Мысалы  сегіздік  36
8
  санын,  «отыз  алты»  – 
деп оқуға болмайды!  «Үш-алты» деу керек. Немесе, 101
2
  санын  «жүз 
бір»  деп  оқуға  болмайды,  «бір-нөль-бір»  деу  керек.  Мысалы,  0,1
2
  – 
оннан бір емес, жүйе негізіне байланысты – екіден бір екенін ескеріп, 
түсіну қажет. 
Сандарды  позициялық  санау  жүйесінде  ұсынудың  мәні 
сандарды  жайылма  түрде  жазғанда  айқындалады.  Түсіндіру  үшін 
тағыда ондық жүйеге жүгінейік. Мысалы: 
5319,12  =  5000  +  300  +  10  +  9  +  0,1  +  0,02  =  5  *10
3
  +  3  *10
2
  + 
1*10
1
 + 9 10
0
+ 1*10
-1
 + 2*10
-2
. 
Соңғы  қарайтылған  өрнекте  –  5319,12  саны  ашық  формада 
жазылған.  Бұл  өрнектің  қосындылары  –  санның  цифрлары,  оның 
санда  тұрған  позициясына  тең  10-ң  (жүйе  негізі)  дәрежесіне 
көбейтілген  көбейтінділерінен  тұрады.  Санның  бүтін  бөлімінде  10-ң  
бүтін,  ал  бөлшек  бөлімінде  –  теріс  дәрежесіне  көбейтіледі.  Дәреже 
көрсеткіші  –  санның  сәйкес  разряды  болып  табылады.  Осыған  ұқсас 
басқа  санау  жүйелердегі  сандардың  жайылма  түрін  алуға  болады. 
Мысалы, сегіздік сан үшін: 
1753
8
 = 1*10
3
 + 7*10
2
 + 5*10
1
 + 3. 
Мұнда 10
8
 – 8
10
. 
Осы  бөлімде  мына  қарастырылатын  сұрақ  –  сандарды  бір 
жүйеден екінші жүйеге аудару тәсілдері. 
Негізгі  идея  келесіде:  сандарды  аудару  сөзсіз  есептеумен 
байланысты. Бізге тек ондық арифметика жақсы таныс болғандықтан, 
кез келген аударуды ондық сандармен есептеуге әкелуге болады.  
Аудару  тәсілдерін  түсіндіруді  ондық  жүйені  басқа  жүйеге 
аударудан  бастаған  дұрыс.  Ол  үшін  ондық  санның  ашық  формасына 
көшу  керек.  Жоғарыда  келтірілген  сегіздік  сан  үшін  осындай 
аударудың мысалы мынадай: 
1753
8
 = (1*10
3
 + 7*10
2
 + 5*10
1
 + 3)
8
 = (1*8
3
 + 7*8
2
 + 5*8
1
 + 3)
10
.