«методика обучения элементам теории вероятностей в 5-9 классах основной школы»

50 

 

б)

 

Событие 

В:

 «Номер шара не меньше 7». 

4

,

0

10

4

;

4

;

10

B

P

m

n

. 

в)

 

Событие 

С:

 «Номер шара не превышает 10». 

,

10

;

10

m

n

  т.к.  номер  любого  шара,  находящегося  в  урне,  не 

превышает 10; 

1

10

10

C

P

, т.е. событие 

С

 – достоверное. 

г)

 

Событие 

D

: «Номер шара 15». 

,

0

,

10

m

n

  т.к.  в  урне  нет  шара  с  номером  15; 

0

10

0

D

P

,  т.е. 

событие 

D

 – невозможное. 

Задачи для самостоятельного решения: 

Задача №4. 

Двузначное число выбирается случайным образом. Какова  

вероятность  того,  что  это  число  оказалось:  а)  кратным  5;  б)  простым;  в) 

составным; г) взаимно простым с числом 120?

 

Задача  №5. 

У  Веры  две  одинаковые пары  перчаток.  Перед  прогулкой 

она  наугад  берет  две  перчатки.  Какова  вероятность  того,  что  они  окажутся 

парными (т.е. на разные руки)? 

 

Вера потеряла одну из перчаток на улице, и теперь у неё осталось всего 

три  перчатки.  Перед    прогулкой  она    снова    выбирает  две  перчатки 

случайным  образом.  Какова  на  этот  раз  вероятность,  что  они  окажутся 

парными? 

Задача 6. 

Для  украшения елки принесли коробку, в которой находится 

10  красных,  7  зеленых,  5  синих  и  8  золотых  шаров.  Из  коробки  вынимают 

наугад один шар. Какова вероятность того, что шар окажется:  а) красным;  б) 

золотым;  в) красным или золотым? 

 

 

 

 

51 

 

§6. Методика изучения элементов комбинаторики 

 

Согласно Примерной основной образовательной программе основного 

общего  образования  учащиеся  в  7-9  классах  по  теме  «Комбинаторика» 

научатся 

на базовом уровне 

[28, C. 88]: 

 

иметь представление о  комбинаторных задачах; 

 

решать  простейшие  комбинаторные  задачи  методом  прямого  и 

организованного перебора; 

 

оценивать количество возможных вариантов методом перебора; 

 

решать  задачи  по  комбинаторике  и  теории  вероятностей  на  основе 

использования изученных методов и обосновывать решение; 

на базовом и  углубленном уровне 

[28, C. 99]

: 

 

оперировать  понятиями:  факториал  числа,  перестановки  и  сочетания, 

треугольник  Паскаля;  применять  правило  произведения  при  решении 

комбинаторных задач; 

 

решать  задачи  на  вычисление  вероятности  с  подсчетом  количества 

вариантов с помощью комбинаторики; 

 

решать  задачи  по  комбинаторике  и  теории  вероятностей  на  основе 

использования изученных методов и обосновывать решение. 

Комбинаторикой

  называют  раздел  математики,  изучающий  задачи 

следующего  типа:  сколько  комбинаций,  удовлетворяющих  тем  или  иным 

условиям, можно составить из элементов данного множества. 

Еще  раз  обратимся  к  статье  [3]   

«О  теории  вероятностей  и 

статистике в школьном курсе»

.  

  Авторы статьи, анализируя накопленный 

опыт    по  введению  стохастической  линии  в  школьный  курс  математики, 

отмечают,  что  главная  задача  элементов  комбинаторики  в  школьной 

программе  заключается  в  том,  что  учащиеся  получают  представление  о 

вариативности. Приобретают  навыки подсчета числа возможных вариантов, 

которые могут возникнуть на практике, в  различных жизненных ситуациях. 

Решать    комбинаторные  задачи  авторы  статьи  в  школьном  курсе  советуют  

52 

 

начинать  с  перечисления  возможных  вариантов,  получаемых  естественным 

путем,  а  не  с  заучивания  формальных  обозначений.  Например,  предложить  

учащимся  перечислить  все  возможные  варианты  бутербродов  из  двух 

различных  сортов  хлеба  и  трех  сортов  колбасы.  В  ряде  случаев  удобно  и 

наглядно  использование  дерева  вариантов.  Комбинаторное  правило 

умножения может быть получено из практических задач интуитивно,  путем 

естественным    и  понятным.  Аналогично    можно  подойти  и  к  задачам  на 

перестановки. Учащихся  на простых примерах нужно подвести к выводу о 

том,  что  при  перестановке  трех  элементов  на  первое  место  может  быть 

поставлен один  из трех элементов, на второе – один из двух оставшихся, а на 

последнее – только один, не выбранный ранее. Учащиеся должны научиться  

выписывать  все  возможные  перестановки  и  лишь  затем  переходить  к 

формульному описанию числа перестановок с помощью факториала числа  n,  

т.е.    n!.  Вычисление  факториала  встречается  во  многих  комбинаторных 

задачах,  поэтому    формальное  вычисление  факториала  необходимо 

закрепить. Говоря о формальных комбинаторных обозначениях в школьном 

курсе,  авторы  статьи  считают,  что  следует  ограничиться  их  минимальным 

числом.  А  именно,  факториалом  числа  n!    и  числом  сочетаний 

k

n

С

.  А  такие 

обозначения,  как   

n

P

  –  для  числа  перестановок,  и   

k

n

A

–  для  числа 

размещений использовать не обязательно, чтобы не вносить дополнительную 

путаницу и формализм. [3, C.8 ].

 

В статье [7] «

Типичные ошибки в преподавании теории вероятностей и 

статистики»  авторы    И.Р.  Высоцкий,  И.В  Ященко

  отмечают,  что  многим 

учителям  математики  свойственно  переоценивать  роль  комбинаторики  в 

преподавании  теории  вероятностей.  Часто  учитель  формально  излагает 

комбинаторные  факты  и  формулы,  а  затем  предлагает  задачи  со  словом 

«вероятность»  в  качестве  примера  применения.      Пример:  у  Буратино  в 

правом  кармане  4  серебряных  и  2  золотые  монеты.  Буратино,  не  глядя, 

53 

 

перекладывает  три  каких-то  монеты  в  левый  карман.  Какова  вероятность 

того, что обе  золотые монеты оказались в одном кармане?  

Эта  задача,  появляясь  в  разных формулировках  в  разных сборниках и 

на  экзаменах,  вызвала  массу  обсуждений.  Как  выяснилось,  большинство 

специалистов  видят  в  ней  комбинаторную  задачу  со  следующим  решением. 

Общее  число  комбинаций  из  6  монет  по  3  равно 

3

6

С

.  Выбрать  две  золотые 

монеты из двух и одну серебряную из четырех и положить их в левый карман 

можно 

1

4

2

2

С

С

способами. Столько же есть способов положить эти выбранные 

монеты в правый карман. Получаем:   

4

,

0

20

4

1

2

2

3

6

1

4

2

2

C

C

C

p

      (2) 

Авторы  статьи  подчеркивают,  что  подобное  решение  –  это  типичное 

проявление  проблемы:  вероятность  в  вузах  часто  преподается  как 

приложение  комбинаторики,  и  этот  подход  проецируется  на  школу.  Мы  не 

против  комбинаторики.  Но  важнее  воспитание  вероятностного  мышления. 

Давайте учить в первую очередь этому. Недолгое раздумье позволяет резко 

упростить  множество  возможных  исходов.  Нам  неважно,  где  оказалась 

первая золотая монета. Давайте рассмотрим возможные размещения второй.  

Мысленно присвоим золотым монетам номера 1 и 2. Первая золотая монета 

окажется  в  каком-то  кармане.  В  этот  карман,  кроме  нее,  попадут  еще  две 

монеты  из  пяти  оставшихся.  Значит,  вероятность  того,  что  вторая  золотая 

монета случайно окажется в том же кармане, равна 2/5= 0,4 . 

Важно  то,  что  отсутствие  комбинаторики  не  сужает  класс  возможных 

задач.  В  изучении  и  преподавании  теории  вероятностей  комбинаторика 

должна  играть  вспомогательную  роль,  и  нужна  она  там,  где  вероятностные 

пространства  обширные  и  без  нее  нельзя  обойтись.  Нужно  использовать 

хорошие  и  важные  задачи  с  простыми  вероятностными  множествами,  а  не 

наполнять голову школьника комбинаторными отношениями, выдавая их за 

суть науки  [7, С. 9-10].  

54 

 

Методика  введения  элементов  комбинаторики  в  школьный  курс 

математики у разных авторов значительно отличается.  

В    комплекте  учебников  по  алгебре  для  общеобразовательных 

учреждений    авторов    Ю.Н. Макарычева,  Н.Г. Миндюк,  К.И. Нешкова, 

С.Б. Суворовой  под  редакцией  С.А.  Теляковского  элементы  комбинаторики 

вводятся  в  учебнике  «Алгебра,  9»  [21].  Комбинаторике  отводится  §11 

«Элементы  комбинаторики»  пятой  главы  «Элементы  комбинаторики  и 

теории  вероятностей».  В  §11  приводятся  примеры  решения  комбинаторных 

задач,  в  том  числе  с  помощью  «дерева  решения»,  определяются  понятия 

«перестановки»,  «размещения»,  «сочетания»,  обосновываются  формулы  для 

вычисления числа перестановок, размещений, сочетаний. 

В  учебнике  «Алгебра  9»  авторы  А.Г.  Мордкович,  П.В.  Семенов[25] 

вводят элементы комбинаторики в §18 «Комбинаторные задачи» пятой главы 

«Элементы  комбинаторики,  статистики  и  теории  вероятностей».  В  отличии 

от  учебника«Алгебра  9»    под  редакцией  С.А.  Теляковского  [21],  А.Г. 

Мордкович,  П.В.  Семенов    не  вводят  понятия  размещения  и  сочетания, 

оставляют рассмотрение данных вопросов в 10-11 классах.  

В  §18  решаются  простейшие  комбинаторные  задачи  с  помощью 

«дерева вариантов», с помощью «правила умножения» для двух испытаний. 

Вводятся  понятия:    «факториал»,  «перестановка».  В  примерном 

тематическом планировании на элементы комбинаторики отводится три часа. 

Придерживаясь,  методики,  предложенной  в  комплекте  учебников  под 

редакцией    А.Г.  Мордковича,  рассмотрим      введение  комбинаторных 

понятий. 

Урок на тему «Элементы комбинаторики» (5 класс) 

Цели занятия:  

 

сформировать  начальные  навыки  составления  и  подсчета  числа 

комбинаторных наборов; 

 

продемонстрировать  решение  комбинаторных  задач  с  помощью 

рассуждений;   

55 

 

 

сформировать  начальные  навыки  решения  комбинаторных  задач  с  

помощью построения дерева возможных вариантов. 

Формирование  комбинаторных  навыков,  нужно  начинать  как  можно 

раньше,  уже  в  начальных  классах.  В  пятом  классе  можно  начать  решать 

комбинаторные  задачи,  используя  метод  перебора  возможных  вариантов.  В 

жизни  каждого  ученика  часто  возникают  моменты,  когда  необходимо 

осуществить выбор какой-либо одной комбинации из нескольких возможных 

(выбрать для обеда набор из трех блюд; выбрать членов команды для игры в 

футбол; выбрать факультативы и т. д.). Идея комбинаторики раскрывается с 

помощью  операции  перебора.  С  помощью  операций  перебора  учащихся 

можно  научить  выявлять  закономерности,  сформировать  комбинаторные 

понятия      и  подготовить  к  выводу  формул  комбинаторики.  Важно  также 

обратить  внимание  учащихся  на  то,  что  способы  перебора  возможных 

вариантов могут быть различными, необходимо подобрать такой способ, при 

использовании, которого все варианты будут рассмотрены  и не повторятся. 

На начальном этапе при решении задач  такие понятия, как  сочетания, 

перестановки  и  размещения,  можно  не  вводить,  важно,  чтобы  учащиеся 

понимали  какого  типа  набор  (упорядоченный,  неупорядоченный, 

подчиняющийся тем или иным свойствам, из какого количества элементов и 

т.д.) необходимо осуществить при решении данной задачи. 

Второй  этап  решения  задачи,  это  подсчет  количества  возможных 

вариантов.  Задачи  на  подсчет  количества  возможных  вариантов  можно 

решать  с  помощью  дерева  решений.  Дерево  решений  также  является 

наглядной  иллюстрацией  правила  умножения,  являющегося  основным 

принципом решения комбинаторных задач. 

Для  того,  чтобы  у  учащихся  сформировать  навыки  систематического 

перебора учителю необходимо начинать с самых простейших задач. 

Задача №1. 

На тарелке лежат 3 яблока и 2 груши.

 

Сколько существует 

способов выбора одного плода? Сколько существует способов выбора двух 

плодов: яблоко и груша?

 

56 

 

Решение.

  На  доске  можно  изобразить  три  яблока  разного  цвета: 

красного, желтого и белого.  Одну грушу раскрасить зеленым цветом, вторую 

грушу – коричневым. Ответ на первый вопрос не вызовет затруднений. Для 

того,  чтобы пояснить  ответ  на  второй вопрос,  можно  предложить  ученикам 

изобразить все возможные пары плодов яблоко и груша.

 

Делаем вывод: если яблоко можно выбрать тремя способами, а грушу 

можно  выбрать  двумя  способами,  то  выбор  «либо  яблоко,  либо  груша» 

можно осуществить 3+2 способами; пару яблоко и груша можно выбрать 2

*

3 

способами. 

Задача  №3. 

Три  подруги,  Аня,  Света  и  Катя,  купили  два  билета  в 

филармонию.  Сколько  существует  различных  вариантов  посетить 

филармонию?

жүктеу 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: