Мы видим, что  .
Таким образом, функции  и  имеют общую точку и в точке пересечения изменяются с одинаковой скоростью.
Две пересекающиеся в точке  функции называются касающимися в точке , если в данной точке они изменяются с одинаковой скоростью.
Если одна из двух касающихся функций является линейной функцией, то ее называют касательной к кривой. Пользуясь определением касающихся функций, можем заметить, что прямая  является касательной к кривой  в точке , если прямая проходит через точку  и скорость изменения этой функции в данной точке равна  .
В старших классах применяется понятие скорости изменения функции при изучении свойств, различных функций. Также дается определение предела функции на бесконечности и в точке с соответствующими обозначениями, уравнение касательной к кривой  , решают задачи на наибольшее и наименьшее значения функции, исследование функции и построение графиков с помощью производной.
Надо отметить, что, приступая к изучению элементов математического анализа, не следует вводить одновременно много понятий «про запас». Надо определять новые понятия по мере введения их в действие, ибо, как установлено психологами, память легко удерживает лишь такие понятия, с которыми связано много ассоциаций. Так как систематическое изучение алгебры и физики начинается одновременно, то появляется возможность изучения их в тесной взаимосвязи. Знания физических законов способствует пониманию смысла математических понятий, и, наоборот, математические знания находят закрепление при обучении физике. Введение понятий «сила», «скорость», «работа» и т. д., с которыми учащиеся знакомятся в VI классе на уроках физики, являются исходными для формирования таких понятий, как «производная» (скорость изменения функции), интеграл и др.
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Мы часто упоминаем понятие производной в физике, геометрии и даже в экономике. Само понятие «производная в экономике» тесно связано с производственными задачами, предельным анализом и эластичностью функций. Исследование поведения различных систем часто не обходится без анализа и решения уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. В экономике очень часто требуется найти значение таких показателей, как предельная производительность труда, максимальная прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких переменных, нахождение которых сводится к вычислению производной. Экономические задачи помогают нам правильно тратить ресурсы и средства. При изучении производной в высшей школе, например на экономических специальностях рассматривается экономический смысл производной, проводится исследование различных производственных функций.
Естественным представляется путь последовательного приближения студента к главной цели – умению решать задачи, которые реально имеют место в определенной инженерной или управленческой ситуации. При изучении математики (например, при изучении производной на инженерных специальностях) раскрывается их механический и физический смысл.
Процесс износа оборудования Z есть функция от времени t, т.е. Z=Z(t), тогда  Z(t) есть предельный износ оборудования.
Если Q = Q(t) –количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока I в момент времени t равна  I.
В физике широко применяется и векторное произведение векторов, что дает богатый материал для закрепления понятия векторного произведения векторов в курсе геометрии.
При изучении модели векторного пространства, необходимо обратить особое внимание на те модели, которые активно используются в физике. Например, при изучении силы, действующей на твердое тело, напряженности электрического поля, скорости, ускорения и т.д. такими моделями является скользящие векторы, связанные векторы. Другим примером физических объектов, являющихся векторами, являются импульс тела, равный произведению его массы на скорость. Сложение импульсов также подчиняется закону сложения векторов. Для того чтобы убедиться в справедливости этих утверждений, в качестве упражнений полезно провести проверку выполнения аксиом векторного пространства для этих объектов.
Закрепляя понятие вектора, имеет смысл рассмотреть примеры физических величин, являющихся векторами, а так же физических объектов, которые, имея числовое значение и направление, векторами не являются. В качестве примера объектов первого рода можно рассмотреть магнитную индукцию. Как известно, магнитные поля складываются по закону сложения векторов: совместное действие двух полей с магнитной индукцией  и  равносильно действию одного поля с магнитной индукцией  . Примером объектов второго рода могут служить повороты твердого тел вокруг определенной оси в пространстве. Чтобы охарактеризовать такой поворот, необходимо приписать ему как числовое значение (величину угла поворота), так и направление (направление оси поворота). Однако сложение этих поворотов не подчиняется закону сложения векторов.
Задачи с физическим содержанием способствуют развитию мышления, повышают интерес к предмету. Решение задач из курса физики способствует правильному усвоению геометрического материала.
Вопрос о путях осуществления межпредметных связей - это один из аспектов общей проблемы совершенствования методов обучения. Математическая подготовка студентов призвана создать базу для изучения специальных дисциплин и применения полученных знаний в последующей профессиональной деятельности.
Достарыңызбен бөлісу: |
