Толқындардың интерференцияцы мен диффракциясы

Кеңістікте энергия тасымалдайтын толқындарды қума толқындар деп

атайды. Толқындардағы энергияның тасымалдануы, мөлшері жағынан

энергия ағыны тығыздығының векторымен сипатталады. Серпімді

толқындар үшін бұл вектор Умов-Пойтинг векторы деп аталады. Умов-

Пойтинг векторының бағыты энергияны тасымалдау бағытына сәйкес

келеді. Оның модулі толқынның ағынына перпендикуляр орналасқан, бірлік

ауданнан бірлік уақытта өтетін толқынның энергиясына тең. Қума

толқынның теңдеуін қорытып шығару үшін (тербелістегі бөлшектің орын

ауыстыруының координата мен уақытқа тәуелділігі) х осінің бағыты

толқынның таралу бағытымен бағыттас жазық синусоидальды толқынды

қарастырамыз. (6.6.1-сызба). Берілген жағдайда толқындық беттер х осіне

перпендикуляр және толқындық беттің барлық нүктеледі бірдей

тербелетіндіктен, орын ауыстыру ξ ; х пен t-ға тәуелді. ξ = ξ (x, t).

6.6.1-сызбадағы 0 тербеліс көзінен х қашықтықта орналасқан В

бөлшегін қарастырайық. Егер x = 0 жазықтығында жатқан бөлшектердің

тербелісі ξ (0, t) = Acosωt теңдеуімен сипатталса, онда ортаның В нүктесі

осы заңмен тербеледі, бірақ оның тербелісі уақыт бойынша көздің

тербелісінен τ -ға қалыс болады. Өйткені толқын х қашықтықты жүріп өту

үшін τ=x/u уақыт қажет. Сондықтан х жазықтығында жатқан бөлшектердің

тербелістерінің теңдеуі мынадай түрді қабылдайды:

x=Acos(wt-x/t) (6.7.1)

Бұдан толқынның негізгі белгісі шығады: кеңістікпен уақыт бойынша

өтетін периодты үрдісті толқын деп атайды. (6.7.1.) өрнегі қума толқынның

теңдеуі. Егер жазық толқын х осіне қарсы бағытта таралса, теңдеу

төмендегідей жазылады:

×=Acos[w(t-x/u)+φ] (6.7.2)

Мұндағы, A = const толқынның амплитудасы, ω циклдік жиілігі, ϕ0

тербелістің бастапқы фазасы, [ω(t-x/u)+φ] жазық толқынның фазасы.

Синусоидалық толқынды сипаттау мақсатында толқындық сан

қолданылады:

κ=2π/λ=2π/υ×Τ=ω/υ (6.7.3)

(6.7.3) және (6.7.2) теңдіктерін ескерсек, мына теңдеу шығады:

ξ x,t = Acos ωt − kx +ϕ (6.7.4)

ε^ia=cosa+isina , мұндағы, i = −1 жорамал сан. Л.Эйлер теңдеуінің

негізінде жазық синусоидалды толқынның теңдеуі мынадай түрде

жазылады:ε(х,t)=Ае^i(wt-rx+φ)

Теңдеудің нақты бөлігінің ғана физикалық мағынасы бар. Толқындық

үрдісте фазаны тұрақты деп алып, төмендегі теңдікті диффренциалдасақ;

W=(t-x/u)+φ=const

мына өрнекті аламыз:

dt-1/udx=0

Бұдан жылдамдықты табайық: u=dx/dt

теңдеуіндегі толқынның таралу жылдамдығын, толқынның фазасының

ығысу жылдамдығы ретінде қарастырамыз. Сондықтан оны фазалық

жылдамдық деп атайды. Сфералық синусоидалық толқынның теңдеуі

мынадай түрде жазылады:

ξ(r,t)=A/r×cosa(wt-kr+φ)

Мұндағы, r – толқынның центрінен ортаның қарастырылып отырған

нүктесіне дейінгі қашықтық. Энергияны жұтпайтын ортада тарайтын

сфералық толқынның амплитудасы 1/r заңымен кемиді. (6.7.7) теңдеуі

тербеліс көзі нүктелік болғанда орындалады. (6.7.3) өрнегінен

u=w/R (6.7.8)қатынасы алынады.

Синусоидалық толқынының фазалық жылдамдығы жиілікке тәуелді. Бұл

құбылыс толқындардың дисперсиясы деп аталады. Біртекті, изотропты

ортада тарайтын толқын, жалпы жағдайда дербес туындылы

дифференциалдық теңдеумен сипатталады.

Егер бір мезгілде бірнеше толқын ортада тарап, оның қасиеттерін

өзгертпесе, толқындарды суперпозициялауға болады. Суперпозиция

принципі және Ш.Фурье жіктеуі кез келген толқынды синусоидальды

толқындар тобына келтіреді. Толқындық пакет деп әрбір уақыт мезетінде

кеңістіктің шектелген облысын алатын жиіліктері бір-біріне жақын

толқындарды суперпозициялауды айтады. х осінің бойымен тарайтын

амплитудалары бірдей, жиіліктері мен толқындық сандары бір-біріне жақын.

( dω << ω, dk <<< k ) суперпозиялаудан алынған толқындық пакеттің

теңдеуін жазамыз:

ξ = A0 cos(ωt − kx) + A0 cos[(ω + dω)t − (k + dk )x]=2Аcos(tdw-xdk/2)cos(wt-kx)

Бұл толқынның синусоидалықтан айырмашылығы бар, өйткені оның

амплитудасы A=2A°[cos(tdw-xdk/2)] х координата мен t уақытының баяу

өзгеретін функциясы. Синусоидалы емес толқынның (толқындық пакеттің)

таралу жылдамдығы ретінде толқындық пакеттің центрі болып есептелетін

амплитуданың максимумы алынады. tdω − xdk = const шартынан мына

қатынас алынады:

dx/dt=dω/dk=u (6.7.11)

Мұндағы, u – топтық жылдамдық. Топтық u=dω/dk және фазалық u=w/k жылдамдықтар арасындағы байланысты қарастырамыз. Λ=2π\к ескерсек, төмендегі өрнек шығады:

U=dw/dk=d(uk)/dk=u+kdu/dk=u+k(du/dλ*dλ/dk)=u+k(-λ/κ)du/dk немесе u=u-λdu/dλ (6.7.12)

u=dw/dk=d(vk)/dk=v+kdv/dk=v+k(dv/dλ×dλ/dk)=v+k(-λ/k)dv/dλ немесе u=v-λdv/dλ

(6.7.12) формуласынан u топтық жылдамдықтың υ фазалық

жылдамдықтан dv/dλ таңбасына байланысты артық немесе кіші

болатындығын көреміз. Дисперсиясы жоқ ортада du/dλ

топтық

жылдамдық фазалық жылдамдықпен дәл келеді. Радиолокация арқылы

қашықтықты анықтағанда, ғарыштық объектілерді басқаратын жүйелерде

топтық жылдамдықты білудің маңызы үлкен. Салыстырмалылықтың арнайы

теориясында топтың жылдамдық υ ≤ c , ал фазалық жылдамдыққа шектеу

жоқ екендігі дәлелденген.