Жылусыйымдылықтың Эйнштейн кванттық теориясы

Төменгі температурада Дюлонг және Пти заңынан ауытқу байқалады. Қатты денелердің жылусыйымдылықтарының температураға тәуелділігі, төменгі температураны қоса ескергенде, үлкен интервалда (аралықта) 1 –

суретте көрсетілгендей орындалады.

1 – сурет. Жылусыйымдылықтың температураға тәуелділігі.

1 – суреттен көрінетіндей, төменгі температурада жылусыйымдылық тұрақты шама емес, ол температура өскен сайын нольден Дюлонг және Пти заңымен алынатын мәнге дейін үлкейеді.

Жылусыйымдылықтың температураға мұндай тәуелділігін классикалық физика тұрғысынан түсіндіру жеткіліксіз болды, ол үшін кванттық статикаға жүгіну керек болды.

1907 ж. Эйнштейн, жылусыйымдылықтың температураға тәуелділігін сапалы түсіндіретін модель ұсынды. Модельді таңдауда Эйнштейн М Планктың кванттық гипотезасына (теоремасына) сүйенді. 1900ж М. Планк абсолют қара дененің сәуле шығаруындағы интенсивтілігінің спектрлік таралуы туралы математикалық есепті шеше отырып, классикалық физиканың барлық түсініктер жүйесіне теріске шығаратын гипотеза ұсынды. Бұл гипотеза бойынша, микроскопиялық жүйелердің (атомдар, молекулалар) энергиясы тек қана нақты дискретті кванттық мәндерді ғана қабылдайды: , мұнда - оң бүтін сан.

–элементарлық энергия кванты; – жиілік, – дөңгелектік жиілік; –универсал тұрақты (Планк тұрақтысы)
Гармониялық осциллятор ретінде қарастырылатын қатты денедегі атомның энергетикалық (энергиялық) деңгейлері биіктігі тең бірдей қашықтықта орныққан баспалдақтан тұрақты кейбір энергетикалық сатыны құрайды. Энергетикалық деңгейлердің бұл дискреттігі бірден жоғарыда айтылған жылусыйымдылықтың төменгі температуралардағы мәндерінің Дюлонг және Пти заңымен анықталатын мәндерімен ауытқуын түсіндіреді.

Эйнштейн, 1 – суретте жылусыйымдылықтың температураға тәуелділігін түсіндіру үшін, төменгі екі жорамалға сүйенді:

1) Қатты дене, өзара перпендикуляр үш бағытта бір – біріне тәуелсіз, бірдей жиілікпен тербелетін бірдей гармониялық осциллятордың (атомдардың) жиынтығы болып табылады.

2) Осциллятордың энергиясы Планк бойынша квантталған.

Жылусыйымдылықтың T температураға тәуелділігін анықтау үшін, қатты дененің жылу энергиясының температураға қалай тәуелді болатындығын білу керек.

Ендеше, мұндай есепті шешу, атомның үш өзара перпендикуляр бағыттардың біреуіндегі, атомның орташа тербеліс энергиясын есептеуге әкеледі. Нәтижені атомдар санына және үшке (қозғалыстың үш құраушысын сәйкес) көбейтіп, біз толық жылу энергиясын аламыз. Сызықты осцилятордың энергиясының орташа мәнін анықтаудың формуласын Планк қорытып шығарған. Планк энергия мәнін қорытып шығаруда мынаны ескерген: энергиясы әр түрлі жылу тепе – теңдіктегі Больцман тұрақтысымен анықталатын, салыыстырмалы ықтималдықтан энергия мәндері кездеседі; жәнеде еспке энергияның барлық мәндері емес, тек қана энергияның мына түрдегі дискретті ( ) мәндері ғана алынады.

Егер, энергиямен тербелетін осцилятордың саны функциясына пропорционал деп есептесек, онда бір осциллятордың немесе тербелістермоделінің орташа энергиясын (орташа энергияны анықтау формуласы қосымшада келтірілген) мынадай формуламен өрнектеуге болады:
(1)

Жаңа айнымалылар енгізіп , түрлендірулерден кейін мынаны аламыз.

1. 
   Екі негіз ғарғы температура қатты денелердің жылусыйымдылығы
   

Бұл жағдайда (51) –шы формуланың бөліміндегі өрнекті қатарға жіктеу арқылы, оны қарапайым түрге келтіруге болады, яғни екенін ескеріп қатты дененің жылусыйымдылығы үшін мына өрнекті аламыз:

Онда, (4)шы формула мына түрде жазылады.

2. 
   Төменгі температура жағдайы ( ). Бұл жағдайда және бөліміндегі бірді ескермеуге болады, онда
   

Жылусыйымдылықтың кемуінің негізі себебі, төменгі температурада энергияның еркіндік дәрежелер бойынша бірқалыпты таралу заңының (теореманың) орындалмауы. Осциллятордың орташа энергиясы

2 – сурет. Осциляторың орташа энергиясы кездегі температураға тәуелділігі

1 – классикалық, 2 – кванттық осцилятор (нольдік энергияны ескермегенде)

Сонымен, қатты дененің жылусыйымдылығының Эйнштейн моделі, осцилятор жиілігін лайықты таңдап алғанда, төменгі температураларда жылусыйымдылықтың кенееттен кемитіндігін шық мәнінде жақсы сипаттайды.

Жылусыйымдылықтың тез төмендеуі басталатын температураны Эйнштейннің сипаттамалық температурасы деп аталады. Бұл температура шамасының шамасына жақындығынан анықталады:
(6)
Егер , К

Эйнштейннің нақты температурасы заттардың қасиеттеріне байланысты, көптеген қатты денелнр үшін , барлық аномалді жоғары (1000К жоғары) заттар (бериллий, алмаз) бар. Мұндай факт (дерек) Эйнштейн температурасы үшін формулаға (6) осциллятордың тербеліс жиілігі енетініне байланысты. Бұл жиіліктің өрнегін қатты денелердегі атомдардың тербелістерін өрнектейтін, жиілікпен толқындық вектордың арасындағы байланысты көрсететін формуладан, дисперсиялық заңның теңдеуінен алып жазса болады:

Бұл теңдіктен,

Эйнштейн температурасы қисықтың сипаттамаларының ішіндегі маңыздыларының бірі болып табылады. Сипаттамалық тампературадан төмен температураларда кванттық қарастыру орын алады. болғанда, энергияның квантталуын ескермеуге болады.

(8) – ші формуладан,

Егер, деп белгілесек, Эйнштейн функциясын мына түрде жазуға болады:

Қатты денелердің жылусыйымдылықтар үшін Эйнштейн теореясының негізгі жеткіліксіздігі, оның төменгі температурада тәжірибенің нәтижесімен алшақтығында.Мұндай алшақтықтың себебі, Эйнштейн теореясы атомдардың тербелістері бір – біріне тәуелсіз деп қарастырылады. Эйнштейн теореясындағы мұндай елеңсіз орын индия оқымыстысы, ғалымы 1950ж Рамон мырзамен шеттетілген. Ол қатты денелердің жылусыйымдылығының Эйнштейн теореясы әрі қарай жетілдірген.