Дербес туындылы теңдеулер

теңдеуінің  жалпы шешімін табу керек , мұндағы a_i, b – (х₁, …, x_n, u) белгілі функциялары. Ол үшін алдымен:

1) сипаттауыштар теңдеулер жүйесінің алғашқы интегралдарын табу керек

 (*)

2) берілген дербес туындылы теңдеудің жалпы шешімі болатын алғашқы интегралдардан қандай да бір F(₁, ₂, …_n) функциясын құрастырамыз (_I – тәуелсіз, i = 1, …, n).

Бірінші ретті дербес туындылы теңдеудің Коши есебі дегеніміз: (*) теңдеуінің (n – 1) -өлшемді S бетінде

S = {r(S): x₁(S₁, …, S_n-1), x₂(S₁, …, S_n-1), …, x_n(S₁, …, S_n-1)}

u/S = (S₁, S₂, …, S_n-1) шартын қанағаттандыратын u(x₁, …, x_n) шешімін табу есебі.

Мысал 1. Теңдеудің жалпы шешімін тап:

Алғашқы интеграл табылды: С₁ = ху + у².

Z = F(xy+y²) - функциясы теңдеудің жалпы шешімі болады, мұндағы F – кез келген дифференциалданатын функция.

 

Мысал 2. Теңдеуді шеш:

Соңғы теңдеуді интегралдай отырып, екінші алғашқы интегралды аламыз:

Сонда жалпы шешім:

 

Мысал 3. Теңдеуді шеш: 

Бұдан екінші алғашқы интегралды аламыз: С₂ = (½)ху  u.

Алынған сызықтық теңдеуді шешеміз:

Үшінші алғашқы интегралды аламыз:

Бұдан бірінші алғашқы интегралды табамыз: С₁ = х²у.

Екі алғашқы интегралға z = x², y = 1  қоямыз:

Бұл теңдеулер жұбынан х-ті жойсақ, алғашқы интегралдарды байланыстыратын келесі теңдеуді аламыз:  

С₁ және С₂ орнына алғашқы интегралдарды қойсақ, Коши есебінің шешімін аламыз:

Мысал 5.  Коши есебін шеш:

u = x² + y², z = 0.

Бастапқы шарттарды пайдалана отырып алғашқы интегралдарды байланыстыратын келесі теңдеулерді аламыз:

u = x² + y²  u = 2C₂(C₁² + 1).