-апта №21 дәрістің тақырыбы

№21 дәрістің тақырыбы Математикалық ұғым

1. 
   Математикалық ұғым
   
2. 
   Ұғымның мазмұны мен көлемі
   
3. 
   Үйлесімді және үйлесімсіз ұғымдар
   
4. 
   Ұғымдарды бөлу және классификациялау
   

20. 
    Болмысты танып-білудің бастапқы кезеңі нәрселер мен құбылыстарды түйсіну. Түйсінуден нәрселерді тұтас бейнелейтін қабылдау пайда болады. Қабылдаудың негізінде адам есінде бейне түрінде сақталатын елестер туады.
    

Үстел үстінде елшемдері әр түрлі, алуан түсті, түрліше материалдардан жасалған кубтар да болуы мүмкін. Жеке кубтардың төл белгілеріне назар салмай, тек барлық кубтарға ортақ белгілеріне көңіл аударуымыз мүмкін. Мүнда ақ та, сары да емес, металл да, пластмасса да емес, жалпы куб туралы ұғым туады. Бұл ұғымда жеке кубтардың төл сапасы емес, барлық кубтарға ортақ, осы тектес барлық нәрселерге тән елеулілері ғана сұрыпталады.

Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана бейнелейді. Егер ол болмысты шын бейнелейтін болса, онда ол әрдайым дұрыс болады.

Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселерді басқа нәрселерден айыруға әрқайсысы қажетті және бәрін бірге алғанда жеткілікті белгілердің жиынын айтады. Елеулі белгілер нәрсені сипаттайды және оны танып-білуге мүмкіндік береді.

Мәселен, Р ұғымының елеулі белгілері р_1, р₂,... , р_п болсын. Мүның мәні: 1) егер бір жеке нәрседе көрсетілген белгілердің бірі болмаса, онда ол Р ұғымына енбейді;

2)ер бір жеке нәрседе осы белгілердің бәрі бірдей бар болса, онда ол Р ұғымына енеді.

21. 
    Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:
    

Алайда, «Параллелограмм» ұғымын анықтау үшін көрсетілген белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, «а» және «ә» пункттердегі немесе «а» және «в» пункттердегі белгілерді айту жеткілікті. Сөйтіп, «Параллелограмды» басқа фигуралардан айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ олардың кез келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын қорытынды: ұғымды анықтауға арналған барлық ұғымдардың ішінен елеулі белгілері бірмәнді таңдалмайды.

Нәрсенің, елеусіз белгілері оны басқа нәрселерден айыруға және танып білуге мүмкіндік бермейді.

Ұғымның анықтамасына кіретін белгілері өзара тәуелсіз болуы тиіс.

Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі болады.

Ұғымнын, мазмұны деп нәрселердің ұғым қамтитын елеулі белгілерінің жиынтығын айтады.

Ұғымның көлемі деп нәрселердің осы ұғым тарайтын жиынтығын айтады.

Мысалы, «Үшбұрыш» ұғымын алалық. Бұл ұғымның, мазмұны — үш қабырға, үш төбе және үш бұрыш, ал көлемі «барлық мүмкін болатын үшбұрыштардың» жиыны болып табылады.

Екінші бір мысал, «Параллелограмм» ұғымының мазмұны: дөңес жазық төртбұрыш, қабырғалары қос-қостан параллель, қарама-қарсы қабырғалары тең, диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді, ал көлемі — осы белгілерге ие болатын барлық фигуралар.

Ұғымның мазмұны мен көлемі арасында белгілі бір тәуелділік бар, яғни ұғымнын, мазмұнындағы өзгеріс, оның көлемін де өзгеріске ұшыратады және керісінше.

Мысалы, «Жазық төртбұрыш» ұғымынын, мазмұнына «қарама-қарсы екі қабырғасы параллель» деген қасиетті қосып, осы ұғымның мазмұнын кеңейтеміз. Сонда ұғымды барлық төртбұрыштардың емес, тек трапецияның елеулі белгілері ғана бейнеленеді. Ұғымның мазмұнын тағы бір белгіге — «басқа екі қабырғасы да параллель» белгісіне кеңейтейік, ұғымның көлемін одан сайын тарылтамыз. Бұл жағдайда параллелограмдардын, елеулі белгілері бейнеленеді.

Сөйтіп, ұғымның мазмұнын кеңейту оның көлемін азайтуға әкеледі, басқаша айтқанда, ұғымның мазмұны неғұрлым кең болса, оның көлемі соғұрлым тар болады.

Ұғымнын, мазмұнына жаңа белгілерді қоса отырып, ұғымның көлемін бірлік объектіге дейін жеткізуге болады.

Егер бір ұғымның көлемі басқа ұғым көлемінің бөлігі болса,

онда бірінші ұғым түрлік ұғым, ал екіншісі тектік ұғым деп аталады.

Әрине, «тек» және «түр» атаулары салыстырмалы сипатта ғана болады. Мәселен, «параллелограмм» ұғымы «ромб» ұғымына қарағанда тектік ұғым болады, ал «көпбұрыш» ұғымына қарағанда түрлік ұғым болып табылады.

Тектік және түрлік ұғымдардың ара қатынасы 9-суретте көрсетілген.

Ұғымдардың анықтамасын құрғанда тектен түрге көшу амалы ұғымды шектеу, ал түрден текке кешу амалы ұғымды жалпылау деп аталады.

Мәселен, «бөлшек сан», «бүтін сан», «параллелограмм», «тік төртбұрыш», «көпжақ», «пирамида» ұғымдарды шектеудің; ал «рационал сан», «нақты сан», «куб», «тік бұрышты параллелепипед», «тендеу», «теңдік» ұғымды жалпылаудың мысалдары болып табылады.

Ұғымды шектегенде, оның мазмұны кеңейіп, көлемі тарылады. Ал ұғымды жалпылағанда оның мазмұны тарылып, көлемі ұлғаяды (10-сурет).

Мәселен, «нақты сан» ұғымын бірте-бірте шектесек: «нақты сан» _:—«рационал сан» — «бүтін сан» — «натурал сан» — «жай сан» — «5 саны» тізбегін табамыз.

Ұғымдардың мазмұндарының әр алуандығына қарамастан, олардың көлемдерінің арасындағы қатынастар көп емес. Егер ұғымдардың мазмұндарында ортақ белгілер бар болса, ондай ұғымдар салыстырмалы ұғымдар деп аталады. Салыстырмалы ұғымдар үйлесімді және үйлесімсіз болып екі салаға жіктеледі. Үйлесімді ұғымдар деп көлемдері толық немесе ішінара беттесетін ұғымдарды айтады. Үйлесімді ұғымдардың арасында мынадай қатыныстар болады: а) тепе-теңдік; ә) ішінара беттесу; б) бірін-бірі қамту.


Көлемдері толық беттесетін ұғымдар бір-бірімен тепе-тең қатынаста болады. Ал ұғымдардың өздері мәндес деп аталады. Мысалы, «тең қабырғалы үшбұрыш» және «тең бұрышты үшбұрыш» ұғымдары мәндес. Алайда ескеретін бір жай мәндес ұғымдардың көлемдері бірдей болғанымен, мазмұндары әр түрлі болады.

Қөлемдері ішінара беттесетін ұғымдар ішінара беттесу қатынасындағы ұғымдар деп аталады, оларды айқасатын ұғымдар деп те атайды.

Мысалы, тік төртбұрыш, ромб (ортақ бөлігі — квадрат), бүтін сандар, теріс сандар (ортақ бөлігі — бүтін теріс сандар).

Егер бір ұғымның көлемі екінші ұғымның көлеміне енсе, онда ол екі ұғым қамту қатынасындағы ұғымдар деп аталады. Мәселен, жай сан — натурал сан, санның квадраты — санның дәрежесі, рационал функция — элементар функция қамту қатынасындағы ұғымдар.

Егер ұғымдардың ортақ белгілері болмаса, олар салыстырылмайтын ұғымдар деп аталады. Мәселен, үшбұрыш пен процент салыстырылмайтын ұғымдар.

Сонымен бірге, ұғымдардың көлемдері мүлдем беттеспесе, олар үйлесімсіз ұғымдар деп аталады. Үйлесімсіз ұғымдар қарама-қарсы, қайшылықты және бағыныңы ұғымдарға жіктеледі.

Мысалы, тең қабырғалы үшбұрыш пен тең бүйірлі емес үшбұрыш ұғымдары — қарама-қарсы ұғымдар, тең бүйірлі үшбұрыш пен тең бүйірлі емес үшбұрыш ұғымдары - –айшылықты ұғымдар, ал трансцендент теңдеу ұғымына қарағанда логарифмдік және тригонометриялық теңдеу ұғымдары бағыныңқы ұғымдар болып табылады. Ұғымдардың арасындағы қатынастар схема түрінде былай кескінделеді.