Геометриялық вектор немесе вектор

Егер және перпендикуляр болса, онда , . Сонда скаляр көбейтiндi =0. Скаляр көбейтiндiсi нольге тең векторлар ортогональ векторлар деп аталады. =0 теңдiгi екi вектордың ортогональдық (перпендикулярлық) белгiсiн бiлдiредi.

Екi арифметикалық векторлардың скалярлық көбейтiндiсi деп осы векторлардың сәйкес координаталарының көбейтiндiлерiнiң қосындысына тең сан аталады:

Векторлардың скаляр көбейтiндiсiнiң негiзгi қасиеттерi:

1) = ;

2) , мұнда - нақты сан;

3) = + ;

4) >0, егер , и =0, егер .

Егер болса, онда =0, cos =1. Сонда (5) формула бойынша: және (6) формула бойынша: . Яғни . Бұдан вектор модулi мына формуламен анықталады:

(7)

(5) формуладан екi вектор арасындағы бұрыш анықталады:

1. 
   Векторлар жүйесiнiң сызықтық комбинациясы деп
   

түрiндегi вектор аталады, мұнда - кез келген нақты сандар.

Егер = теңдiгi орындалатындай бәрi бiрдей нольге тең емес сандары табылса, онда векторлар жүйесi сызықтық тәуелдi деп аталады.

Егер бұл теңдiк тек қана болғанда орындалса, онда бұл векторлар жүйесi сызықтық тәуелсiз деп аталады.

1. Бiр вектордан тұратын жүйе сызықтық тәуелдi;

2. Нольдiк векторы бар жүйе әрқашан сызықтық тәуелдi;

3. Бiрден артық вектордан тұратын жүйе сонда тек қана сонда сызықтық тәуелдi болады, егер олардың iшiнде ең болмағанда бiреуi қалғандар арқылы сызықтық өрнектелсе.

Теорема. Егер m>n болса, онда Rⁿ кеңiстiгiнде m вектордан тұратын кез келген жүйе сызықтық тәуелдi

Векторлар жүйесiнiң ең көп сызықтық тәуелсiз векторлары оның базисi деп аталады. Базистегi векторлар саны векторлар жүйесiнiң рангi деп аталады.

n векторлар жүйесi Rⁿ кеңiстiгiнiң базисi болады, егер:

1)осы жүйенiң векторлары сызықтық тәуелсiз болса;

2) Rⁿ кеңiстiгiндегi кез келген вектор осы жүйенiң басқа векторлары арқылы сызықтық өрнектелсе.

Базистiң әр векторы қалған векторларына ортогональ болса, онда Rⁿ кеңiстiгiнiң базисi ортогональ базис деп аталады.

Егер Rⁿ кеңiстiгiнiң векторлары өзара ортогональ және олардың модульдерi бiрге тең болса, онда ол векторлар ортонормаль базис құрайды, яғни i≠j болғанда және , i =1,2,…,n

Мысалы, орттары үш өлшемдi кеңiстiкте ортонормаль базис құрайды.