Ф и з и к а әож 3. 049. Физика сабақтарында

36  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013 
 


































0
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
2
4
3
4
2
x
F
i
V
k
j
i
xx
T
L
x
Lx
L
q
dV
T
L
L
x
T
L
x
L
T
L
L
x
K
J
 






























L
x
F
j
i
x
k
j
T
L
x
L
T
L
L
x
dS
T
L
Lx
x
T
L
x
Lx
2
2
0
2
2
2
2
2
4
3
4
2
4
 


dS
T
T
L
L
x
L
x
oc
k








2
2
4
.                                               (6) 
После интегрирования из (6) получим 
 




2
2
2
2
2
7
16
16
2
16
7
6
oc
k
i
k
j
k
j
k
i
j
i
i
xx
T
T
hF
T
q
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
K
J












.         (7) 
 
Здесь следует отметить, что во всех скобках сумма коэффициентов равно нулю, т.е. в 
первой  скобке  (7-16+2-16+16+7)=0  и  во  второй  (1-1)=0.  Теперь,  минимизируя  J   по 
узловым значениям температуры 
i
T , 
j
T
 и 
k
T  получим следующую разрешающую систему 
уравнений 











































0
7
8
3
;
0
)
3
0
8
16
8
3
;
0
)
2
0
8
7
3
;
0
)
1
oc
k
k
j
i
xx
i
k
j
i
xx
j
k
j
i
xx
i
T
T
hF
T
T
T
F
K
T
J
T
T
T
F
K
T
J
q
T
T
T
F
K
T
J



                                 (8) 
 
Решая систему, находим узловые значения температуры 
 

















.
;
2
;
h
q
T
T
K
q
h
q
T
T
K
q
h
q
T
T
oc
k
xx
oc
j
xx
oc
i


                                                              (9) 
 
Подставляя (9) в (4) и после упрощения определим закон распределения температуры по 
длине исследуемого стержня 
 


xx
xx
oc
xx
oc
K
qx
K
q
h
q
T
x
K
h
q
T
T












,
,
,
,
,
.                             (10) 
 
Здесь  следует  отметить,  что  действительно  полученное  решение  (10)  удовлетворяет 
уравнению  теплопроводности  и  соответствующих  граничных  условий.  Если  один  конец 
стержня был бы защемлен, а другой свободен, то за счет теплового расширения стержень 
удлинялся бы на 
T


, которая определяется следующим образом