Атап айтқанда, пікірлер жəне
негізгі логикалық операциялар «V»,
«^», «
—
» өзімен жеке жағдайды немесе
интерпретацияны, алгебраны білдіреді.
Буль алгебрасының тағы бір мысалы
сыныптар алгебрасы болып табылады,
ол негізгі логикалық операциялар ҥшін
көрнекі геометриялық тҥсініктемені береді.
А пікірін қарастырайық, мҧнда мəселе
а кейбір қасиеттерінің қандай да бір сала
пəніне тиесілігі туралы. Осы саладағы
пəндердің
жазықтық
бөлігінің
нҥктелерімен
кескінделетінін,
кейбір
шаршылармен (1.4-сурет) шектелгенін
оны біз Q арқылы белгілейтінімізді
көзімізге елестетейік.
Q жазықтық нҥктелерінің екі сыныпқа
(жиынтық) бөлінетіні анық: а қасиетіне ие,
яғни A = 1 нҥкте сыныбы жəне осы
қасиетке ие емес, яғни А = 0 ҥшін
нҥктелер сыныбына ие, мҧндағы Q
жазықтығының
əрбір
нҥктесі
осы
сыныптардың тек біреуіне ғана міндетті
тиесілі.
Бірінші сыныпты A пікірінің геометриялық кескіні немесе А
жиынтығы деп есептеуге болады. Бҧл ретте, мысалы, суретте
көрсетілгендей 1.4-суретте берілгендей а көрініс алынуы мҥмкін, онда
А кескіні тҧйық (қҧйылған) контурмен шектелген белгілі бір аймақ
тҥрінде кескінделген.Әлбетте, A (A емес) өрнегі Q шаршысының қалған
нҥктелерінің
жиынтығымен
бейнеленетін
болады.
Осындай
интерпретация кезінде логикалық операциялардың негізін ҧсынуға
болады.
Екі пікірдің конъюнкциясыекі жиынтықтың қиылысымен
ҧсынылатын болады (1.4, б-сур). Шындығында, A ^ В = 1 болғанда, А =
1 жəне В = 1 болады, ол А жиынтығына жəне В жиынтығына (олардың
қиылысына) біруақытта тиесілі нҥктелер ҥшін орын алады.
Екі пікірдің дизъюнкциясы А
V
В, А жəне В (1.4, в-сур)
жиынтықтарын
бірлестіру
жолымен
алынатын
жиынтықпен
кескінделетін болады.
Екі пікірдің эквиваленттілігі A = B 1.4, г-суретте көрсетілгендей
бейнеленетін болады, өйткені A = B айқындылығы 1 тең немесе А = 1
жəне В = 1, немесе А = 0 жəне В = 0 кезіндегідей.
Эквиваленттілікті терістеу 1.4, д-суретте көрсетілген A =B-ның, А
= В-ның A = B тең болуын ескерген кезде алынады.
1.4-сур.
Буль
функциясының
графикалық кескіні:
а — жиынтық А; б —
жиынтықтар қиылысы; в —
жиынтықтардың бірігуі; г — екі
жиынтықтың эквиваленттілігі; д
—эквиваленттілікті терістеу; е
—конъюнкцияны терістеу
Логикалық операцияларды белгілеу нұсқалары
1.4, е-сур. көрсетілгендей А
^
В конъюнкциясын терістеу.
Венн диаграммалары деп аталатын осындай диаграммалар, оларды
талдау жəне оңтайландыру мақсатында логикалық формаларды
көрнекілеп ҧсыну ҥшін қолданылуы мҥмкін.
Қаралған логикалық операциялар — конъюнкция, дизъюнкция,
терістеу — тəуелсіз болып табылады жəне бір-бірі арқылы көрсетілуі
мҥмкін. Атап айтқанда, олардан логикалық операциялардың жҥйелерін
бөлуге болады жəне олардың көмегімен логика алгебрасының барлық
функцияларын көрсете алады. Логикалық операциялардың мҧндай
жҥйелері (кейде 1 немесе 0 константаларымен бірлесіп) функционалды
толық деп аталады.
1.8-кестеде
логикалық операцияларды белгілеудің əртҥрлі
нҧсқалары берілген.
Жоғарыда
тізімделген
логика
алгебрасының
негізгі
операцияларынан
басқа,
екі
операцияы:
тиісті
пікірлердің
ҥйлесімсіздігін бекітетін конъюнкцияны терістеу жəне дизъюнкцияны
терістеу бар.
Конъюнкцияны терістеу A ^ B байланыстары: A / B жəне Шеффер
операциясы деп аталады.
Дизъюнкцияны терістеу А v В, Шеффердің сызықшасымен
көрсетілген А = A / B мағынасына ие.
Шеффер
операциясы
ЭЕМ
процессорларының
логикалық
сҧлбаларын жобалау теориясында маңызды рөл атқарады, өйткені
Шефер операциясын іске асыратын электронды сызба əмбебап
функционалды элемент болып табылады, оның көмегімен кез-келген
функционалды логикалық қҧрылғылар қҧрылуы мҥмкін. Шеффер
операциясының графикалық көрінісі 1.4, е-суретте берілген.
Конъюнкция жəне дизъюнкция операциялары қосарлы деп аталады
жəне
^
-дыv-ғажəне v-ны
^
-ға басқа ауыстырулардың бірінен алынған
логика алгебрасының формулалары қосарлы деп аталады. F жəне F *
қосарлы формулалары ҥшін пікірлердің теңдігі əліл болып табылады.
F(A
1
, A
2
, … A
n
) = F*(A
1
, A
2
, … A
n
)
(1)
Конъюнкция
(логикалық
көбейту)
Дизъюнкция
(логикалық
қосу)
Терістеу
(логикалық
терістеу)
Эквивалентті
лік
Импликация
ЖӘНЕ
НЕМЕСЕ
НЕ
Егерде...
онда
AND
OR
NOT
If... then
&
׀
¬
→
≡
^
v
_
Α
∩
↔
Кесте 1.8.
Логика алгебрасында келесі қосарлық принципі белгіленеді: егер F
жəне Ф формулалары тең болатын болса, онда F* жəне Ф* қосарлы
формулаларытең болады.
Логика алгебрасы формулаларының қҧрылымы қалыпты пішіннің
екеуінің біріне дейін келтірілген кезде айқын көрінеді. Алғашқы
қалыпты пішін - конъюнктивті (КНФ) – өзімен бірге дизъюнкция
конъюнкциясын білдіреді, мҧндағы əрбір дизъюнкцияның əрбір
жекелеген мҥшелері өзімен қарапайым пікірді (яғни, өзімен басқа
пікірлерден тҧрмайтын пікірлер) немесе қарапайым пікірлерді
терістеуден тҧрады. Екінші қалыпты пішін - дизъюнктивті (ДНФ) –
өзімен бірге конъюнкция дизъюнкциясын білдіреді, мҧндағы əрбір
конъюнкцияның əрбір жекелеген мҥшелері қарапайым пікір немесе
оларды терістеу болып табылады.
Қалыпты пішіндер формулалардың екі маңызды сыныбын
ажыратуға ыңғайлы: тҧрақты-шынайы жəне тҧрақты-жалған.
Тұрақты-шынайы формулалар ҥнемі 1-ге тең (олар 1-ге сəйкес
келеді).
Тұрақты-жалған формулалар ҥнемі 0-ге тең (0-ге сəйкес келеді).
Формулалардың осы сыныптары логикалық өрнектерді жеңілдетуде
маңызды рөл атқарады
Кҥрделі формулаларды жеңілдету кезінде, A ^
А
1 = A жəне A v 0 =
A
пікірлерінің
теңдігін
қолдана
отырып,
тҧрақты-шынайы
жəнетҧрақты-жалған пікірлерден бас тарта аламыз, алA ^0 = 0 жəне A v
1 = 1 теңдігін пайдалана отырып тҧрақты-жалған пікірге конъюнктивті
қосылған жəне тҧрақты-шынайы пікірге дизъюнктивті қосылған
пікірлерден бас тартуға болады.
Кҥрделі формуланың тҧрақты-шынайылығы туралы мəлімдеме
келесі ережелерді қолдану арқылы алынуы мҥмкін:
1) A v A формуласы тҧрақты-шынайы;
2) A v B формуласы шынайы, егерде A шынайы болатын болса, ал
B — туынды пікір;
3) A ^B формуласы шынайы, егердеA жəне B шынайы болатын
болса.
Осы
ережелерді
қолдану
кҥрделі
формуланың
тҧрақты
шынайылығының келесі өлшем шарттарын шығаруға мҥмкіндік береді.
Осындай формулалар əрдайым шындық болып табылады, олардың
əрқайсысында КНФ-де кемінде бір негізгі мəлімдеме бар, оны жоққа
шығарады.Шынында да, бҧл жағдайда əрбір ажырату кем дегенде бір
нақты термин болады, яғни КНФ-ке мҥше болып табылатын барлық
келіспеушіліктер шындықты білдіреді; логика алгебрасының берілген
формуласын білдіретін барлық КНФ шын болады.
КНФ-ның əрбір дизъюнкциясына кем дегенде бір негізгі пікір
өзінің терістеуімен кіретін осындай формулалар тҧрақты-шынайы
болып табылады. Ҧқсас жолмен ДНФ келтіру арқылы логика
алгебрасының берілген формуласының тҧрақты-жалған екенін немесе
ондай емес екенін анықтауға болады.
Достарыңызбен бөлісу: |
