Операторлардың меншікті мәндері және меншікті функциялары. Кванттық жүйелердің қасиеттерін тәжірибе жүзінде зерттеу барысында қандай да бір физикалық шамалар өлшеніп, нәтижесінде нақтылы сандар алынады. Енді осы сұрақтарға жауап беріп көрелік.
Ол үшін алдымен ΔҒ = Ғ-Ғ шамасы енгізіледі. Бұл шамаға сәйкес келетін оператор ΔҒ = Ғ-Ғ түрінде анықталады. Мұндагы Ғ-берілеп Ғ шамасының ψ (£, t) толқындық функциясымен сипатталып күйдегі орташа мәпі. Бұл өрнектегі Ғ шамасы заттық сан болғандықтан, егер Ғ әріптті оператор болса, онда ΔF операторы да эрмитті оператор больш табылады. Енді осы Ғ шамасының орташа мәнінен орташа квадраттық ауытқуын, яғни дисперсиясын анықталық. Ол мынағап тең:
К лассикалық физикада дисперсия - әрқашан да оң шама. Мұндагы Ғ эрмиттік оператор болғандықтан, кванттық дисперсия да он, шама және ол өзінің классикалық физикадағы мағынасын сақтайды деп есептеуге болады. Шындығында,
Сонымен бұл өрнек кез келген физикалық шаманың ψ(ξ,t) толқындық функцнясымен сипатталатын күшіндей орташа мәнінен орташа квадраттық ауытқуын есептеуге мүмкіндік береді. Дисперсияның нолден өзгеше болуы, жалпы жағдайда, әрбір жекелеген өлшеу кезінде алынатын нәтижелердің, әр түрлі болып, бір-біріне сәйкее келмейтінін көрсетеді.Яғни
Miнe, осы орнекті қанататтандыратын ψ (£, t.) толқындық функцияларымен сипатталатын күйлерде ғана Ғ шамасы нактылы мәндерге ие бола алады. Осы (3.21) өрнегіне ΔҒ-тің шамасын қоя отырып, бұл күйлер үшін
теңдеуін аламыз. Бұл ψ (£, t) белгісін функциясына қатысты біртекті, сызықтық теңдеу. Бұл теңдеудің, шешімі болып табылатын толқындық функциялар нактылы физикалық күйлерді сипаттайтын болғандықтан олар бірмәнділік, үздіксіздік және шектілік шарттарын қанағаттандыруы тиіс. Жалпы жағдайда бұл шарттар орындала бермейді, олар осы теңдеудің параметрлері болып табылатын F шамасының кандай да бір белгілі мәндерінде ғана орындалуы мүмкін. Параметрдің, осы ерекше мәндерін берілген Ғ операторының, меншікті мәндері, ал Бұл меншікті мәндерге сәйкес келісіп теңдеудің шешімдерін осы операторлардың меншікті функциялары деп аталады.
Оператордың меншікті мәндерінің жиынын оның, спектрі деп атайды. Егер оператордың меншікті мәндері дискретті болса, онда спектр дискретті, ал ол үздіксіз тұтас. Әр түрлі меншікті мәндерге сәйкес келетін меншікті функцияларды бір-бірінен ажырату үшін ол функцияларды сәйкес меншікті мәндермен мына түрде номірлеп жазады ψ (£, t). Дискретті спектр үшін меншікті функцияларды ғана емес, сонымеи катар меншікті мәндерді де номірлеуге болады, яғни Ғ1, F2, Ғ3. Әдетте дискреті спектрін, меншікті функцияларының ішдексі ретінде сол спектрдің номірін жазады, яғни ψFn = ψn. Мұндағы меншікті мәндері мен меншікті функцияларды анықтайтын п бүтін саны, кванттық сан деп аталады.
Жоғарыда аталғандай F шамасы сәйкес Ғ операторының меншікті функциясы болып табылатын ψF(ξ,t) функциясымен меншікті функциясымен сипатталатын күйде өлшенсе, онда ол нақтылы анықталған мәнге ие болады. Бұл қорытындының кванттық механикалық, салдарларын саралаудағы маңызы өте зор. Ал егер жүйенің, күйін сипаттап тұрған толқындық функция F операторының бірде-бір меншікті функциясымен сәйкес келмесе, онда бұл күйде F шамасын өлшеу барысында әр жолы, әр түрлі, бірақ әйтеуір меншікті мәндердің бірақ тең болатын мәндер аламыз.
Егер әрбір меншікті мәнге тек бір ғана меншікті функция сәйкес келсе, онда меншікті мәндер спектрі айнымаған деп аталады. Кейбір жағдайларда бір ғана Ғп меншікті мәнге бір-бірінен сызықтық тәуелсіз бірнеше ψn1, ψn2,..., ψn меншікті функциялары сәйкес келуі мүмкін. Онда берілген шама бұл күйлердің әрқайсысында нақтылы мәнге ие болады да, сайкес меншікті мәндер спектрі айныған деп аталады. Ал а саны берілген п меншікті мәнінің айну еселігін береді.
Яғни операторлардың меншікті мәндері орташа мәндердің дербес жағдайы болып табылады екен. Ал орташа мән нақтылы сан болғандықтан, меншікті мәндер де нақтылы.
Достарыңызбен бөлісу: |
