Ақпараттар және кодтау теориясы

Дәріс 10 Сызықтық блоктық кодтар. Мінсіз кодтар және Хемминг шекарасы. Декодтау қатесінің ықтималдығы

жүктеу 1,27 Mb.

бет	15/28
Дата	04.03.2023
өлшемі	1,27 Mb.
	#41586

1 ... 11 12 13 14 15 16 17 18 ... 28

А параттар ж не кодтау теориясы

Декодтау қатесінің ықтималдығы

Дәріс 10 Сызықтық блоктық кодтар. Мінсіз кодтар және Хемминг шекарасы. Декодтау қатесінің ықтималдығы
10-суретте барлық ықтимал қабылданған R векторлары кодтық сөздерді декодтау аймақтарына жататын жағдай көрсетілген.

Анықтама. Бөлінбейтін сфералық декодтау аймақтары n өлшемінің барлық векторлық кеңістігін қамтитын кодтар мінсіз немесе тығыз оралған деп аталады.

Мінсіз кодтарды қолданған кезде қателерді түзету әрқашан мүмкін (міндетті түрде дұрыс емес). Хэмминг кодтарынан басқа, қазіргі уақытта өте жақсы кодтар аз.

Біз t қателерін түзете алатын екілік (n, k) кодтардың параметрлерінің арақатынасын табамыз. Мінсіз (n, k) кодтың декодтау аймағы n өлшемді векторлық кеңістіктегі t радиусының қиылыспайтын 2^k сферасын құрайды. Әрбір сферада тиісті кодтық сөзден l қашықтықта орналасқан барлық n-өлшемді векторлар болады, сонымен қатар 0 < l < t. осылайша, әрбір сфераға
. (10.1)
n-өлшемді векторлар.
Қиылыспайтын сфералардың жалпы көлемі n өлшемді векторлық кеңістіктің көлемінен аспауы мүмкін болғандықтан, екілік кодтар үшін бізде

. (10.2)
немесе
. (10.3)

Теңдік тек екілік кодтар үшін ғана орын алады. Өрнек (6.3) Хамминг шекарасы деп аталады. Хамминг шекарасы-t қателерін түзете алатын N ұзындығының екілік кодының сынақ таңбаларының қажетті санының төменгі бағасы.
(6.3)-дан шығатыны біз қарастырған (7,4)-Хамминг коды өте жақсы, өйткені

Декодтау қатесінің ықтималдығы

Алдыңғы пайымдауларға сүйене отырып, Анықталмайтын қателіктің ықтималдығын анықтай аламыз. Шын мәнінде, арнадағы жіберілген код сөзі басқа код сөзіне ауысса, қате анықталмайды. С кодын қосу операциясына қатысты жабық векторлық кеңістіктің қасиетінен бұл жағдайда қатенің өзі код сөзі болуы керек. Осылайша, Анықталмайтын қатенің ықтималдығы тәуелсіз оқиғалардың ықтималдығының қосындысымен анықталады е = v_i, мұндағы және 1 < i < 2. Біз DSK Р_e қате ықтималдығымен жадсыз қарастыратындықтан, оқиғаның ықтималдығы, мысалы, e = (0011010), мұндағы (0011010) - 1-кестедегі код сөзі, тең . А_i арқылы i салмақтағы С кодтық сөздердің санын (n, k)-кодты белгілейміз. Содан кейін С коды үшін Анықталмайтын қате ықтималдығы

. (10.4)
(7,4) - Хэмминг коды үшін А_i мәнін (салмақты үлестіру) 1-кестеден (9-дәріс) алуға болады. Егер Р_e екілік символының ықтималдығы белгілі болса, онда (6.4) көмегімен анықталмайтын қатенің ықтималдығын табуға болады.
Салмақты үлестіруді білмей, анықталмайтын қатенің ықтималдығын келесідей бағалауға болады
. (10.5)

Мысал: (7,4)-Хэмминг кодын пайдаланып деректерді беру.

Деректер (7,4)-Хэмминг кодымен кодталады және Аддитивті ақ Гаусс шуылы Аддитивті ақ Гаусс шуылы бар арна арқылы беріледі. Арнадағы сигнал / шу қатынасы 6 дБ құрайды, бұл екілік таңбаның қателік ықтималдығына тең - 0,023. Берілу жылдамдығы-16 кбит/сек. Егер декодтау кезінде қате табылса, онда қайта сұрау сигналы код сөзін қайта жібереді. Анықтау:
1. Код сөзінің қатесіз қабылдану ықтималдығы қандай?
2. Анықталмайтын қатенің ықтималдығы қандай?
3. Биттердегі орташа" тиімді " жылдамдықты анықтаңыз (яғни секундына берілетін ақпараттық биттердің орташа саны).
4. "Тиімді "жылдамдықты теориялық тұрғыдан қол жеткізуге болатын максимуммен салыстырыңыз.
Шешімі.

Егер барлық 7 екілік таңба дұрыс берілсе, код сөзі қатесіз беріледі. Р_е таңбасындағы қате ықтималдығымен жадсыз екілік симметриялы арна үшін код сөзінің қатесіз берілу ықтималдығы үшін код сөзінің қатесіз берілу ықтималдығы келесідей

(10.6)
АБГШ бар арна үшін (аддитивті ақ Гаусс шуы) ықтималдылық Р_е функциясы ретінде анықталады SNR (сигнал/шу қатынасы) және келесіге тең
(10.7)
(10.6) өрнекке Р_е қойып, келесі мәнді аламыз:

.(10.8)
2. (10.4) өрнектен анықталмайтын қатенің ықтималдығын аламыз

. (6.9)

Верхняя оценка Р_r (10.5) дает для сравнения

. (6.10)

Анықталмаған қатенің елеусіз ықтималдығын ескере отырып, кодтық сөздердің орташа 85% - ы қайта сұрамай-ақ дұрыс қабылданады деп санаймыз. Сондай-ақ, кодтық сөздегі ақпараттық биттердің үлесі k / n екенін ескере отырып, R_b беру жылдамдығымен тиімді жылдамдық келесіге тең болады

(10.11)

жүктеу 1,27 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 11 12 13 14 15 16 17 18 ... 28