Алғашқы функция мен интегралды оқыту әдiстемесi

жүктеу 166,5 Kb.

бет	2/3
Дата	01.04.2022
өлшемі	166,5 Kb.
	#37997
түрі	Лекция

1 2 3

9-Лекция. Алғашқы функция мен интеграл

2.Қисық сызықты трапецияның ауданы S -тi S

1.Сатылы фигураны құрып, оның ауданын есептеу. Ол үшiн кесiндiсiн теңдей етiп n бөлiкке бөлемiз. Айталық х – осындай кесiндiнiң әрбiреуiнiң ұзындығы болсын. Бөлу нүктелерiн , мұндағы деп белгiлеймiз. кесiндiсiн табаны етiп, биiктiгi f(x₁) болатын, ал кесiндiсiнде – биiктiгi f(x₂) болатын тiктөртбұрыш саламыз. Дәл осы сияқты қалған кесiндiлерде де тiктөртбұрыштар саламыз. Сонда бұл тiктөртбұрыштардың барлығы бiрiгiп, «сатылы» фигураны құрады және оның ауданы мынаған тең болады:

.

2.Қисық сызықты трапецияның ауданы S-тi S_n арқылы өрнектеу. Ендi кесiндiсiн өте «ұсақ» бөлiктерге бөлудi қарастырайық. Ол үшiн жоғарыдағы тәсiлмен сатылы фигура құрамыз. Сондағы шыққан суреттердi салыстыру арқылы х неғұрлым аз болған сайын, яғни n үлкен болған сайын, S_n шамасы S–тен соғұрлым аз өзгеретiнiн көремiз. Сондықтан қисық сызықты трапецияның ауданы S_n-нiң шегi деп қарастыруға болады. Математикада бұл деректiң шынында да орындалатындығы дәлелденедi. Сонымен,

.

Шешiмi осындай қосындының шегiн табуға келiп тiрелетiн тағы бiр есептi қарастырамыз.

2-есеп. Айталық, материалдық нүкте кесiндiсiнде түзу сызықпен белгiлi бiр ( кесiндiсiндегi үздiксiз функция) лездiк жылдамдықпен қозғалсын. Осы материалдық нүктенiң Т₁ мен Т₂ уақыт аралығындағы жүрген жолын табу қажет болсын.

Қарапайым жағдайда, лездiк жылдамдық тұрақты шама болғанда, дененiң жүрген жолы оның жылдамдығы мен уақытының көбейтiндiсiне тең болады. Жалпы жағдайда, лездiк жылдамдық тұрақты болмаған кезде, бұл есептi былайша шешедi.

1. кесiндiсiн бөлу нүктелерi арқылы ұзындықтары бiрдей болатын n бөлiкке (кесiндiге) бөлемiз. Содан кейiн

қосындысын құрамыз.

2. S жолын S_n арқылы өрнектеймiз: S_n-дегi әрбiр қосылғыш дененiң сәйкес уақыты аралығында жүрген жолын жуық шамада көрсетедi.

Бұл жуықтаудың нәтижесi t неғұрлым аз, яғни, n бөлiк неғұрлым көп болған сайын, соғұрлым дәлiрек болатындығы айқын. Сондықтан, дененiң уақыт аралығында жүрген жолы шегi арқылы анықталады.

Осы екi есептi шешудiң нәтижелерiн салыстыра отырып, оларды шешудiң жалпы тәсiлiн тұжырымдауға болады: функцияны берiлген аралықта теңдей етiп бөлiктерге бөлу; iзделiндi шаманың жуық шамадағы мәнi болатын

қосындысын құру; шекке өту .

Осындай қосындылардың шегiн табу жаратылыстану ғылымы мен техниканың алуан түрлi салаларында жиi кездеседi, сондықтан олар « -дан b-ға дейiн f(x) функциясынан алынған интеграл» деп аталатын және

деп белгiленетiн анықталған интнеграл деген арнаулы атқа ие болған.

Сонымен, анықтама бойынша

.

f(x) –[ ,b] кесiндiсiнде үзiлісiз функция.

-[ ,b] кесiндiсiн теңдей етiп, n бөлiкке бөлетiн бөлу нүктелерi; x - әрбiр осындай бөлiктердiң ұзындығы.

Шығарылған есептердiң нәтижесiн жазайық. [ ,b] кесiндiсiнде үздiксiз f(x) функциясымен берiлген қисық сызықты трапецияның ауданы мынаған тең

Жылдамдығы -ға тең, мұндағы - кесiндiсiнде үзiлісiз функция, материалдық нүктенiң Т₁ ден Т₂ -ге дейiнгi уақыт аралығында жүрген жолы:

Ендi интеграл мен алғашқы функция ұғымдарын бiр-бірімен байланыстыру оңай. Қисық сызықты трапецияның ауданын және салыстырып, мынадай қорытындыға келемiз:

, (2)

мұндағы F – f функциясының [ ,b] кесiндiсiндегi алғашқы функциясы.

(2) формуланы Ньютон-Лейбниц формуласы деп атайды.

Бұл формула анықталған интегралды алғашқы функцияны табу арқылы есептейтiн ең негiзгi және тиiмдi формула болып табылады.

жүктеу 166,5 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3