Алдыңғы тақырыптарда қарастырған кванттық механиканың математикалық аппаратын нақты жүйелердің қасиеттерін қарастыруға қолданайық. Нақты жүйе ретінде сутегі атомын пайдаланамыз. Сутегі атомында электрон ядроның потенциалдық өрісінде қозғалады, яғни электронның ядромен өзара әрекеті тек аралық қашықтық -ге байланысты. Мұндағы - электронның радиус-векторы, - ядроның радиус-векторы. Осыған сәйкес электронның массасын , ядроның массасын деп белгілей отырып, екі бөлшекке арналған гамильтонианды жазайық
, (20.1)
мұндағы мен Лаплас операторлары мен координаталарға қатысты алынған. Бұл гамильтонианды ықшамды түрге келтіру үшін жаңа айнымалыларды енгізейік
, , (20.2)
- өзара қашықтық векторы, - бөлшектердің инерция центрінің радиус-векторы. Қарапайым, бірақ біраз ұзаққа созылатын түрлендірулердің нәтижесінде (20.1) гамильтонианды мына түрге келтіреміз
. (20.3)
Мұндағы мен Лаплас операторлары мен векторларының құраушыларына қатысты алынған, және жүйенің толық және келтірілген массасы
, . (20.4)
Сонымен гамильтониан бір-біріне тәуелсіз екі бөлікке бөлінеді, сондықтан жүйені сипаттайтын функциясын көбейтіндісі ретінде іздестіреміз. Шредингер теңдеуін жазайық:
.
(20.3) гамильтонианды бұл теңдеуге ауыстырайық және операторы тек , ал операторы функциясына әрекет жасайтынын ескерсек
, (20.5)
, (20.6)
. (20.7) (20.5) теңдеу инерция центрінің, яғни массасы бөлшектің еркін қозғалысын сипаттайды. Ол теңдеудің шешімі
, (20.8)
мұндағы жүйенің толық импульсі, жүйенің кинетикалық энергиясы. Сонымен, Шредингер теңдеуінің жалпы шешімі
. (20.9)
Алынған формулалар бойынша мынадай қорытынды жасауға болады: жүйенің ауырлық центрі кеңістікте еркін бөлшек сияқты қозғалады, ал бөлшектердің салыстырмалы қозғалысы ауырлық центрінің қозғалысына тәуелсіз болады және (20.6) теңдеуді қанағаттандыратын функциясымен сипатталады. Жүйенің толық энергиясы (20.7) салыстырмалы қозғалыстың және ауырлық центрінің энергияларының қосындысынан тұрады. Егер ядроның массасы электронның массасынан едәуір үлкен екенін ескерсек , онда (20.4) бойынша . Сонымен, классикалық физикадағы сияқты, кванттық механикада да өзара әрекеттің потенциалдық энергиясы тек өзара қашықтыққа байланысты болса, онда екі бөлшек туралы мәселе массасы болатын бір бөлшектің мәселесіне айналады. Егер протонның өлшемін еске алмасақ, онда сутегі атомын қозғалмайтын центрдің кулондық өрісінде қозғалатын электрон ретінде қарастыруға болады. Біздің қарастыратынымыз, центрлі – симметриялық өрістің жалпы түрі, кейіннен кулондық өріске көшеміз.
Центрлі – симметриялық потенциалдық өрісте (20.6) Шредингер теңдеуін сфералық координаталар арқылы түрлендіру өте қолайлы. Бұл жағдайда толқындық функцияны , , сфералық координаталардың функциясы ретінде қарастырамыз. Біздің алдағы қоятын мақсатымыз (20.6) Шредингер теңдеуінің , , аралықтарындағы үзіліссіз, бірмәнді және ақырлы шешімдерін табу. Сонымен, (20.6) теңдеуі мына түрге келеді
. (20.10)
Сфералық координаталардағы белгілі Лаплас операторын келтірейік:
. (20.11)
Бұл формулаға екі белгілеу енгізе отырып
, (20.12)
, (20.13)
Лаплас операторын өзінің радиалдық бөлігі және бұрыштық бөлігі арқылы өрнектейміз
. (20.14)
Центрлі – симметриялық өрісте үш сақталу заңы орындалады: энергияның сақталу заңы, импульс моменті квадратының сақталу заңы және моменттің өсіне проекциясының сақталу заңы. Осы сақталу заңдарын қарастырайық. Ол үшін декарттық координаталар мен сфералық координаталардың арасындағы байланыстарды көрсететін қатыстарды пайдалана отырып
;
;
импульс моменті проекцияларын табу үшін қолданылатын керекті өрнектер жинағын жазайық:
,
,
. (20.15)
Бұл қатыстарды пайдалана отырып, импульс моменті проекцияларын және импульс моментінің квадратын табамыз:
, (20.16)
, (20.17)
, (20.18)
. (20.19)
Мысал ретінде, операторды қалай табуға болатынын көрсетейік:
.
(20.19) қатысты пайдаланып, гамильтонианды былай жазайық:
. (20.20)
операторының құрамында тек айнымалылары және осы айнымалылар бойынша дифференциалдау операторлары бар. Сондықтан операторы құрамында координаты және осы координата бойынша дифференциалдау операторы бар оператормен әрқашанда коммутациялаушы болады
(20.21)
Осы сияқты, , , операторлары да оператормен коммутациялаушы болады
, . (20.22)
(8.13) қатыстар бойынша
, . (20.23)
Он үшінші параграфтағы анықтаманы еске түсірсек, (20.21), (20.22) бойынша және операторларының өзіндік мәндері қозғалыс интегралы болады. Егер операторлар өзара коммутациялаушы болса, онда олар өзіндік функциялардың ортақ жүйесіне ие болады.
Достарыңызбен бөлісу: |
